第五章大数定律及中心极限定理 §1.大数定律 §1大数定律 在实践中,不仅事件发生的频率具有稳定性, 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 定义1: 设H 2 n2 是随机变量序列,a是一个常数; 若对任意E>0,有 lim P(Yn-ak8=1 n→0 刂称Y12…,Fn2…依概率收敛于a,记为Yn>a 定义2: 设x1,…X…是随机变量序列,令y=∑X, 若存在常数序列a12…,an…使对任意>0,有 lim PilY-anke}=1,或mPY-an≥}=0 n->∞ 则称{Xn}服从大数定律 备]返回主目录
§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 §1.大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 设X1 ,, Xn , 是随机变量序列，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 若存在常数序列a1 ,,an , 使对任意 0 ，有 lim {| − | } = 1 − n n n P Y a ，或lim {| − | } = 0 − n n n P Y a ， 定义1： 设 是随机变量序列， 是一个常数； 若对任意 ，有: 则称 依概率收敛于 ，记为 。 Y1 , ,Yn , 0 lim {| − | } = 1 → P Y a n n Y1 , ,Yn , Y a P n ⎯→ a a 定义2： 则称{ } Xn 服从大数定律。 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理1:若xnP→a,n→b,g(xy)在点(ab)连续, 则:g(Xn,n)>g(a,b)。 定理2(切比晓夫定理的特殊情况) 设随机变量x1…,Xn…相互独立,且具有相同的数学 期望及方差,EK=DY=02,k=12…,令=∑Xk, 则:对任意的E>0,有 Im Pir-uk e=lim Pi X-k00 或mP∑Xk=Pe}=0 n k 备]返回主目录
§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理 2（切比晓夫定理的特殊情况） 设随机变量 X1 ,, Xn , 相互独立，且具有相同的数学 期望及方差， E Xk = ，DXk = 2 ，k = 1,2,，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 则：对任意的 0 ，有: | } 1 1 lim {| | } lim {| 1 − = − = = − − n k k n n n X n P Y P 或 | } 0 1 lim {| 1 − = = − n k k n X n P 若 a P Xn ⎯⎯→ ， b P Yn ⎯⎯→ ， 在点 连续， 则： ( , ) g(a,b) P g Xn Yn ⎯⎯→ 。 定理1： g(x, y) (a,b) 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 证:E(∑X)=∑EX=∑ k D(∑Xk)=∑ DX n k=1 由切比晓夫不等式得:P∑Xk-k}21 k=1 当n->∞o时,P{ ∑ Xk-uka k=1 奋]返回主目录
证： = = = = = = n k n k k n k k n EX n X n E 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( n n n DX n X n D n k k n k k = = = = = | } 1 1 {| 1 → − = = n k X k n 当n 时，P 。 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {| n X n P n k k − − = 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 定理3(贝努里大数定律) 大数定律 设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数, p是事件A发生的概率, 则:对任意的>0,有 lim Pi n->0 n Pka= 或imP{"-p|s}=0 证:令X 0,在第k次试验中A不发生 k=12.….n l,在第次试验中A发生 则n1=∑X,且X…Xn相互独立同服从于(0-1分布 故EXk=p,DX=p(1-p),k=1,2.…,n, 由定理2有mP∑X-pke}=1 n->0 即mP"4-pke}=1。此定理说明了频率的稳定性 1->∞
证：令 k n k A k A Xk 1,2, , 1 0 = = ， ，在第 次试验中 发生 ，在第 次试验中 不发生 定理 3（贝努里大数定律） 设nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 发生的概率， 则：对任意的 0，有 lim {| − | } = 1 − p n n P A n 或 lim {| − | } = 0 − p n n P A n 故 EXk = p，DXk = p(1− p)，k = 1,2, ,n, | } 1 1 lim {| 1 − = = − X p n P n i i n , §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 即 lim {| − | } = 1 − p n n P A n 。此定理说明了频率的稳定性。 则 = = n k nA Xk 1 ，且X Xn , , 1 相互独立同服从于( 0 −1)分布
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理4(辛钦大数定律) 设X1…,Xn…相互独立同分布,且具有 数学期望EX=,k=12 则:对任意的ε>0,有 lim Pil ∑X1-Ak}=1 n->00 注:贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况 备]返回主目录
定理 4（辛钦大数定律） 设 X1 ,, Xn , 相互独立同分布，且具有 数学期望EXk = ，k = 1,2,,n,， 则：对任意的 0，有 | } 1 1 lim {| 1 − = = − n i i n X n P §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 §2中心极限定理 定义: 设X1…,Xn…是独立的随机变量序列 EX,DX存在,令:=CX∑EX)1∑DXk, 若对任意x∈R1,有mP{Zn≤x} e 2 dt n->0 2丌 则称{Xn}服从中心极限定理 备]返回主目录
§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 §2.中心极限定理 定义： 设 X1 ,, Xn , 是独立的随机变量序列， EX k ，DX k 存在，令： = = = = − n k k n k k n k Zn Xk E X DX 1 1 1 ( )/ ， 若对任意 R1 x ，有 − − − = x t n n P Z x e dt 2 2 2 1 lim { } 。 则称{Xn }服从中心极限定理。 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 定理1(独立同分布的中心极限定理) 设X1…,Xn…是独立同分布的随机变量序 列,且EX=A,DX=a2≠0,(k=1,2,…) 则{Xn}服从中心极限定理,即: ∑Kk lim P(- X e 2 dt √no 2丌 备]返回主目录
§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 （独立同分布的中心极限定理） 设 X1 ,, Xn , 是独立同分布的随机变量序 列，且 0,( 1,2, ) E Xk = ，DXk = 2 k = 则{ } Xn 服从中心极限定理，即： − − = − = − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim { } 定理1 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 定理2(李雅普诺夫定理)( Liapunov定理)s2中心极限定理 设X1…Xn2…相互独立,且EY=,DYk=ak2≠0, (k=1.2,…),设B2=∑2,若存在正数, k=1 使得当n→>∞时 ∑ E{Xk-1k°}→>0 k=1 则{Xn}服从中心极限定理,即 ∑(Xk-k) lim p ≤x dt 丌 DX k 奋]返回主目录
则{ } Xn 服从中心极限定理，即： − − = = − = − x t n k k k n k k n x e dt DX X P 2 1 1 2 2 1 } ( ) lim { §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 定理2 （李雅普诺夫定理） ，设 若存在正数 ， 设 相互独立，且 ， ( 1,2, ) , , , , 0, 1 2 2 2 1 = = = = = n k n k n k k k k k B X X EX DX {| | } 0 1 1 2 → 2 − → = + + n k k k n E X B n 使得当 时， (Liapunov定理) 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 定理3(德莫佛-拉普拉斯定理)( De moivre- Laplace) 设随机变量7n(m=12,…)服从参数为n,p(0p00 √nO 2 丌
证： = = n k n Xk 1 ， 第五章 大数定律及中心极限定理 则对于任意 ，恒有： − − → = − x t n n x e dt npq np P 2 2 2 1 lim { } x (q =1− p) 由定理1有结论成立。 其中X Xn , , 1 相互独立且都服从于 分布。 EXk = p，DXk = pq。 (0-1) 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (n = 1,2, ) 设随机变量 n 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ~ B(n, p). ，即 n − − = − = − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim { } (De Moivre--Laplace)
第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 推论: 设随机变量m(=12,…)服从参数为n,p(0<p<1)的 二项分布,即mn~B(n,p)当n充分大时有: P{a<mn≤b}=P a-np nm-np b-np npg npg npg ≈Φ( b-np a-r )-Φ( npq npg 说明:这个公式给出了n较大时二项分布的概率 计算方法 备]返回主目录
§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 推论： (n = 1,2, ) 设随机变量 n 服从参数为 n , p (0<p<1) 的 二项分布, 当 n 充分大时有： ( ) ( ) { } { } npq a np npq b np npq b np npq np npq a np P a b P n n − − − − − − = 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。 ~ B(n, p). 即n 返回主目录