第七章 定积分的应用 第一节定积分的几何应用 思考题: 1.什么叫微元法?用微元法解决实际问题的思路及步骤如何? 答:微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步骤解决实际问题的一种方法, 具体说来,即是对在区间[a,b上分布不均匀的量F,先将其无限细分,得其微元 dF=f(x)dx然后将微元dF在[a,b]上无限求和(累积),即得所求量 F(Fbf(x)dx,求微元时,一般是对a,b]的子区间[x,x+d对应的部分量, 采用以“常代变”,“均匀代替不均匀”,“直代曲”的思路. 2.求平面图形的面积一般分为几步? 答:一般分为(1)画图,(2)选定积分变量并给出积分区间,(3)确定被积函数并写出 积分表达式,(4)计算定积分求得面积四个步骤 习作题: 求曲线y=x2,y=(x-2)2与x轴围成的平面图形的面积 解:如图,由 得两曲线交点(1,1 取x为积分变量,x∈[0.,2] 所求面积 4=xdx+∫(x-2)dx=x+(x=2)2 3 2.用定积分求底圆半径为r,高为h的圆锥体的体积 解:建立如右图坐标系,则圆锥体可看成是由直线 y=x,x=h及x轴所围成三角形绕x轴旋转 周而成,故圆锥体体积 =-r2h 3.用定积分求由y=x2+1,y=0,x=1,x=0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转 体的体积
第七章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 思考题： 1. 什么叫微元法？用微元法解决实际问题的思路及步骤如何？ 答：微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步骤解决实际问题的一种方法， 具体说来，即是对在区间 [a ,b] 上分布不均匀的量 F ，先将其无限细分，得其微元 dF = f (x)dx 然后将微元 dF 在 [a ,b] 上无限求和（累积） , 即 得 所 求 量 = = b a b a F dF f (x)dx ，求微元时，一般是对 [a ,b] 的子区间 [x , x + dx] 对应的部分量， 采用以“常代变”，“均匀代替不均匀”，“直代曲”的思路. 2. 求平面图形的面积一般分为几步？ 答：一般分为（1）画图,（2）选定积分变量并给出积分区间,（3）确定被积函数并写出 积分表达式,（4）计算定积分求得面积四个步骤. 习作题： 1. 求曲线 2 2 y = x , y = (x − 2) 与 x 轴围成的平面图形的面积. 解：如图，由 = − = ( 2) , , 2 2 y x y x 得两曲线交点（1，1）. 取 x 为积分变量， x [0,2], 所求面积 3 2 3 ( 2) 3 d ( 2) d 2 1 3 1 0 3 2 1 2 1 0 2 = − = + − = + x x A x x x x . 2. 用定积分求底圆半径为 r ，高为 h 的圆锥体的体积. 解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 x, h r y = x = h 及 x 轴所围成三角形绕 x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积 r h x h r x x h r V h h 2 0 0 3 2 2 2 π 3 1 3 π = π ( ) d = = . 3. 用定积分求由 1, 0, 1, 0 2 y = x + y = x = x = 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转 体的体积. O x y 2 2 y = (x − 2) 2 y = x x y O (h, r)
解:如右图,所求体积 V=π(x2+1)2dx π(x+2x2+1)dx O 第二节定积分的物理应用与经济应用举例 思考题 1.设一物体受连续的变力F(x)作用,沿力的方向作直线运动,则物体从x=a运动到 x=b,变力所做的功为W= 其中 为变力F(x)使物体由[a,b内 的任一闭区间[x,x+dx]的左端点x到右端点x+dx所做功的近似值,也称其为 答:「F(x)dx,F(x)dx,功的微元 2.如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力? 答:以液体深度h作为积分变量,利用同一深度处压强相等这一物理学知识,考虑深度 层[h,h+dh]所对应的一层薄板所受压力的近似值,即得压力微元dF,将dF在曲边梯形 薄板所处深度区间[a,b]上积分,即得薄板所受侧压力 3.如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量,试举例说明 答:如右图,设直杆位于x轴上的区间[0,门],x∈[0, 对应的密度为p(x)(不为常数),取x为积分变量,任取子区 间[x,x+dx]c[0,门,对应直杆段的质量近似为 dm= p(x)dx 于是所求直杆质量m=∫。(x)dx 习作题: 1.一个底半径为Rm,高为Hm的圆柱形水桶装满了水,要把桶内的水全部吸出,需 要做多少功(水的密度为103kgm3,g取10ms2)?
解：如右图，所求体积 = + 1 0 2 2 V π (x 1) dx = + + 1 0 4 2 π (x 2x 1)dx = 1 0 5 3 ) 3 2 5 π ( x x x + + = π 15 28 . 第二节 定积分的物理应用与经济应用举例 思考题： 1. 设一物体受连续的变力 F(x) 作用, 沿力的方向作直线运动，则物体从 x = a 运动到 x = b, 变力所做的功为 W = ， 其中 为变力 F(x) 使物体由 [a,b] 内 的任一闭区间 [x , x + dx] 的左端点 x 到右端点 x + dx 所做功的近似值，也称其为 . 答： b a F(x)dx;F(x)dx; 功的微元. 2. 如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力？ 答：以液体深度 h 作为积分变量，利用同一深度处压强相等这一物理学知识，考虑深度 层 [h,h + dh] 所对应的一层薄板所受压力的近似值，即得压力微元 dF ，将 dF 在曲边梯形 薄板所处深度区间 [a,b] 上积分，即得薄板所受侧压力. 3. 如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量，试举例说明. 答：如右图，设直杆位于 x 轴上的区间[0, l ]， x [0, l] 对应的密度为 (x) （不为常数），取 x 为积分变量，任取子区 间 [x, x + dx] [0,l] ，对应直杆段的质量近似为 dm = (x)dx , 于是所求直杆质量 = l x x 0 m ( )d . 习作题： 1. 一个底半径为 Rm ，高为 Hm 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需 要做多少功（水的密度为 3 3 2 10 kg/m , g取10m/s ）？ O l x y y O 1 x 1 1 2 y = x +
解:建立如图坐标系.取x为积分变量 ∈[0,H],任取子区间[x,x+dx]c[0,H] (H, R 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 dH=Rdx·p水8·x 于是,把桶内的水全部吸出,需做功 W=Jo PkgtR'xdr=PagmRI-I 2-2P水8RH2=5000R2H(J) 2.一边长为am的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m,试求该薄板 的一侧所受的水的压力(水的密度为103kgm3,g取10ms2) 解:建立如图坐标系,取x为积分变量x∈[1a+1,任取子区间[x,x+dx]e[.a+1 相应一薄层薄板一侧所受的水的压力近似为 dF=p水8x·a·dx 于是,正方形薄板一侧所受的水的压力为 P水 garax =5000(a+2)N)
解：建立如图坐标系. 取 x 为积分变量, x [0, H ], 任取子区间 [x, x + dx] [0, H] ， 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 dW = π R dx 水 g x 2 , 于是，把桶内的水全部吸出，需做功 π 5000π (J) 2 1 2 π d π 2 2 2 2 0 2 2 0 2 g R H R H x W g R x x g R H H = = = = 水 水 水 . 2. 一边长为 am 的正方形薄板垂直放入水中，使该薄板的上边距水面 1 m ，试求该薄板 的一侧所受的水的压力（水的密度为 3 3 10 kg/m , g 取 2 10m/s ）. 解：建立如图坐标系，取 x 为积分变量 x [1, a +1],任取子区间 [x, x + dx] [1,a +1] 相应一薄层薄板一侧所受的水的压力近似为 dF = 水 gx a dx , 于是，正方形薄板一侧所受的水的压力为 + = 1 1 d a F 水 gax x = 1 1 2 2 a+ x 水 ga = 5000 ( 2)(N) 2 a a + . O x y x x + dx (H, R) O x y x x +d x a +1 1