第二单元 隐函数和参数方程的导数
第二单元 隐函数和参数方程的导数
本单元内容要点 了解隐函数的概念,掌握隐函数的求导方法;掌握参 数方程所确定的函数的导数 下
本单元内容要点 了解隐函数的概念，掌握隐函数的求导方法；掌握参 数方程所确定的函数的导数
本单元教学要求 掌握隐函数的求导方法;参数方程所确定的函数的导 数 下
本单元教学要求 掌握隐函数的求导方法；参数方程所确定的函数的导 数．
本单元的重点与难点 重点:两类非显函数的求导方法 难点:由参数方程所确定的函数的高阶导数 ⊙教学时数:2课时 下
本单元的重点与难点 重点：两类非显函数的求导方法． 难点：由参数方程所确定的函数的高阶导数． 教学时数： 2课时．
隐函数的导数 隐函数的概念 所谓函数y=f(x)表示的是两个变量x和y之间的 ⊙关系.这种对应关系在某种情况下,可以用一个较为 明确的关系式来表示.例如y=x,y=sinx都反映 了这种对应关系.这类关系的特点是:对自变量x的 每一个取值,都可以通过表达式确定一个唯一的因变量 y的取值.用这种方式表达的函数称为显函数 下
隐函数的导数 隐函数的概念 所谓函数 表示的是两个变量 和 之间的 关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为 明确的关系式来表示．例如 都反映 了这种对应关系．这类关系的特点是：对自变量 的 每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量 的取值．用这种方式表达的函数称为显函数． x y , sin n y x = = y x x y y f = ( ) x
但某种情况下,这种对应关系是通过一个方程 F(x,y)=0来确定的.通过方程可以确定x和y的对应 关系,但这个关系不能象显函数那样用一个显蚀方程来 表示.例如方程 x+y3-1=0 就在区间(-O,+∞0)上确定了一个隐函数y=y(x)又 如方程 +y 当限定y>0,则在区间(1,1)内确定了一个隐函数 下
但某种情况下，这种对应关系是 通过一个方程 来确定的．通过方程可以确定 和 的对应 关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显蚀方程来 表示．例如方程 F x( , y ) = 0 x y 3 x y + − =1 0 就在区间 上确定了一个隐函数 又 如方程 ( −∞ +, ∞ ) y y = ( ) x ; 2 2 x y + = 1 当限定 y > 0，则在区间(-1, 1)内确定了一个隐函数．
在某些情况下,隐函数能转化成显函数,例如在例1 中,相应的函数关系可转化成 但在某些情况下,并不能把隐函数转化成显函数.例如 由 +3x2y2+5x=12 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式 下
在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如在例 1 中，相应的函数关系可转化成 3 y x = 1 . − 但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如 由 5 2 2 4 y x + + 3 5 y x = 1 2, 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．
对给定的方程F(x,y)=0,在什么条件可以确定隐 函数y=y(x),并且y关于x可导,这个问题在下册 中将会详细讨论.在这里通过具体的例子来说明如何 求出隐函数的导数 下
对给定的方程 ，在什么条件可以确定隐 函数 ，并且 关于 可导，这个问题在下册 中将会详细讨论．在这里通过具体的例子来说明如何 求出隐函数的导数． F x( , y) = 0 y y = ( ) x y x
4例1求由方程e+xy-e所确定的隐函数y的导数 中—山 解方程两边对x求导,并注意到y是x的函数,利用 复合函数的求导法则,有 e+r-e )=,(0) dx 即有: ey+y+xy=0, 从而得: x+e"≠0 x+e 下
例1 求由方程 所确定的隐函数 0 的导数 y e x + y − =e y . dy dx 解 方程两边对 求导，并注意到 是 的函数，利用 复合函数的求导法则，有 x y x ( ) ( ) 0 , d d y y e x e dx dx + − = 0, y x x 即有： e y′ ′ + y + = xy ( ) 0 . y x y y y x e x e ′ = − + ≠ + 从而得：
例2求由方程y=x+6siny(0<6<1)所确定的隐函数 y的导数 解方程两边对x求导,并注意到y是x的函数,利用 复合函数的求导法则,有 y'=1+Ecos y y 即有: 1-8cos y 下
例2 求由方程 所确定的隐函数 的导数． y x = + < ε ε sin y (0 <1) y 解 方程两边对 求导，并注意到 是 的函数，利用 复合函数的求导法则，有 x y x y y ′ =1 c + ⋅ ε os y′ 即有： 1 1 cos y ε y ′ = − ．