习题课 本章要点 二重积分 f(x, y)dxdy=lim 2f(5, m) Ao
习题课 本章要点 一、二重积分 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i D i f x y dxdy f λ ξ η σ → = = ∑ ∆ ∫∫
二重积分的计算 1直角坐标 x,yM,先y后xrb f(x, y)dy 01(x) 先x后y 2(y) f(x, y)d3 P1(y) y=2(x) v) OU) y=p(r
二重积分的计算 1.直角坐标 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . b x a x D d y c y f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ϕ ϕ φ φ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 先y 后x 先x 后y x=φ2(y) x y o b a y=ϕ2(x) y=ϕ1(x) x y o c d x=φ1(y)
2极坐标 x=rose ly=sine rB ) f(r, y)dxdy de f(rcos 0, rsin O)rdr (6) r=r2(6 a 0
2.极坐标 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) . r r D f x y dxdy d f r r rdr β θ α θ θ θ θ ∫∫ ∫ ∫ cos sin x r y r θ θ ⎧ = ⎨⎩ = r=r2(θ) x y o α β r=r1(θ)
重积分 f(x,y,) dxdyd==lim∑f(5,m,)△v 重积分的计算 e1.直角坐标 z=2(x,y) f(x, y, z)crac (x,y) dy f(r, 3, z)dt la Ja(x)J(x,y) =q2(x y=吗2(x)
二、三重积分 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z dxdyd z f v λ ξ η ζ → Ω = = ∑ ∆ ∫∫∫ 三重积分的计算 1.直角坐标 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . b x z x y a x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz ϕ ϕ Ω = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ y=ϕ2(x) x y z o a b y=ϕ1(x) z=z2(x,y) z=z1(x,y)
2柱面坐标 变换公式 x=rose,y=rsin0,2=2, f(x,y, z)dxdydz f(rcos e, rsin 0, z)rdedrdz
2.柱面坐标 变换公式 x r = cosθ, s y = = r z inθ, z, f (x, y, )z dxdydz f (r r cosθ θ , sin , )z rdθdrdz. Ω Ω = ∫∫∫ ∫∫∫
3球面坐标 变换公式 x=rcos sin 0, y=rsin o sin 0, z=rcos 6 ⑩ f(x, y, z)arcad SS(rsin@cos e, rsin sino, rose)/ ' sinedadedr
3.球面坐标 变换公式 x r = = cosϕ sinθ ϕ , sin y r sinθ, z = r cosθ, 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sin . f x y z dxdydz f r θ ϕ θ r ϕ r θ r θdϕdθdr Ω Ω = ∫∫∫ ∫∫∫
、应用 1曲面的面积 设空间曲面块∑,在xoy上的投影D为有界闭区域,曲 面方程乙=∫(x,y)有连续偏导,则曲面面积S ∫ 2- D
三、应用 1.曲面的面积 设空间曲面块Σ，在xoy上的投影D为有界闭区域，曲 面方程z=f (x, y)有连续偏导，则曲面面积S 2 2 1 . x y D S z = + ′ ′ + z dxdy ∫∫
2重心坐标 (1)平面薄片 设平面薄片所占区域D为有界闭区域,密度o(x,y)为 连续函数,则重心坐标郑,y) xp(x, yao, y 1小y(xyka 其中M为曲面块的质量。当为常数,相应的坐标称 为形心坐标
2.重心坐标 (1)平面薄片 设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x, y)为 连续函数，则重心坐标为( , x y) 1 1 ( , ) , ( , ) . D D x x x y d y y x y d M M = = ρ σ ρ σ ∫∫ ∫∫ 其中M为曲面块的质量。当ρ为常数， 相应的坐标称 为形心坐标
)空间立体 设平面薄片所占区域2为有界闭区域,密度p(x,y,z) 为连续函数,则重心坐标为(x,y,2)。 xp(x, y, z dv,y yp(x, y, z)di p(x,y, zd
(2)空间立体 设平面薄片所占区域Ω为有界闭区域，密度ρ(x, y, z) 为连续函数，则重心坐标为 ( , x y,z) 。 1 1 x x ( , x y,z)dv, y y ( , x y,z)dv M M ρ ρ Ω Ω = = ∫∫∫ ∫∫∫ 1 z z x( , y,z)dv. M ρ Ω = ∫∫∫
3转动惯量 (1)平面薄片 设平面薄片所占区域D为有界闭区域,密度o(x,y)为 连续函数,则转动惯量为 Tap(x,vdo I,=[xp(x, do
3.转动惯量 (1)平面薄片 设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x, y)为 连续函数，则转动惯量为 2 ( , ) x D I y = ρ x y dσ ∫∫ 2 ( , ) . y D I = x x ρ y dσ ∫∫