清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第一讲习题参考答案

1.设N为取值非负整数的随机变量,证 EN=∑P(N≥n)=P(N>n 设X是非负随机变量,具有分布函数F(x),证 n3 EX=L(1-F(x))dx, E(r")= nx"(1-F(x)Xdx(n21) P(N3=n3)P(N1+N2=n2) 证明 得证 EN=∑mP(N=n)=∑∑P(N=n) (4)求E(N|N+N2)及E(N+N2|N) E(N,N+N2 ∑∑P(N=n)=∑P(N≥n) kP(N,=k4 P(N>n+1)=>P(N>n (入1+元y2M-k-1)号号 得证 +2y E(x")=xf(x)dx(n≥1 E(M|M+N2)=(M+N2) +2 my"-dyf(x)dr E(N,+N2N f(x)dx 'my"dy E(N|N)+E(N2|N1) N1+E(N2) nx”(1-F(x)d N1+ 得证 5.设x1,X2…,Xn…独立同0-1分布,且有P(Xn=1)=P 3.设N1,N2,N3独立,N1是参数为2的 Poisson分布,i=1,2,3 1-P(Xn=0),0P(N,=m, N2=n2-n, N,=,) 恰有1个在(,y+△y中 (F(x+△x)-F(x)) P(M1=n1)P(N2=n2-n1)P(N3=n3) (F(y)-F(x+△x)y2(F(y+△y)-F(y)

1. 设 N 为取值非负整数的随机变量, 证 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = ≥ = > 1 0 ( ) ( ) n n EN P N n P N n 设 X 是非负随机变量, 具有分布函数 F(x), 证 (1 ( ))d , ( ) (1 ( ))d ( 1) 0 1 0 = − = − ≥ ∫ ∫ ∞ − ∞ EX F x x E X nx F x x n n n 证明： (1) 0 11 1 1 1 0 () () () () ( 1) ( ) n n nm n m nm n n n EN nP N n P N n PN n PN n PN n PN n ∞ ∞ = == ∞ ∞ == = ∞ ∞ = = = == = = == ≥ = >+ = > ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ 得证. (2) 0 1 0 0 1 0 1 0 ( ) ( )d ( 1) d ( )d ( )d d (1 ( ))d n n x n n y n EX xf x x n ny y f x x f x x ny y nx F x x ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ − = ≥   =       =     = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 得证. 3. 设 1 2 3 N , N , N 独立, Ni 是参数为 λi 的 Poisson 分布, i = 1,2,3. (1) 求 ( ), ; P N1 + N2 = n n∈ N 1 2 ( ) 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ! ( ) !( )! ( ) ( ) ( , ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ − + = − − − = = + = − = = = = − = = = − + = ∑ ∑ ∑ e n k n k e P N k P N n k P N k N n k P N N n n n k k n k n k n k 可见, N1 + N2 是参数为 λ1 + λ2 的 Poisson 分布. (2) 求 ( ), 0 ; 1 1 2 P N = k N + N = n ≤ k ≤ n 1 12 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (, ) ( ) ( )( ) ( ) ! !( )!( ) k nk n PN kN N n PN kN N n PN N n PN kPN n k PN N n n kn k λ λ λ λ − = += = += = + = = =− = + = = − + (3) 证明 N1 + N2 与 N3 独立. 证明: 2 1 2 1 1 2 23 3 1 12 2 13 3 0 1 1 2 21 3 3 0 ( ,) (, , ) ( )( )( ) n n n n PN N n N n PN n N n n N n PN n PN n n PN n = = += = = = =− = = = =− = ∑ ∑ 2 1 21 3 1 2 3 1 3 2 1 21 31 2 1 1 2 3 0 1 21 3 3 1 2 3 1 21 0 33 1 22 ! ( )! ! ! ! ( )! ( )( ) n n nn n n n n n nn n e ee n nn n ee e n n nn PN n PN N n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − = − − − − =   =⋅ ⋅   −     =⋅ ⋅   −   = = += ∑ ∑ 得证. (4) 求 11 2 E( ) NN N+ 及 1 21 E( ) N NN + . 11 2 1 12 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)! ( ) !( 1)! ( ) ( ) k n k nk n k n n EN N N n k PN kN N n n n kn k n n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ +∞ = − − − = − + = = ⋅ = += − = ⋅ + − − = ⋅+ = + + ∑ ∑ 11 2 11 2 1 2 ( ) ( )= N N EN N N λ λ λ + ∴ + + 1 21 11 21 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) EN N N E N N EN N N EN N λ + = + = + = + 5. 设 X1, X2 ,", Xn ,"独立同 0−1 分布, 且有 P X p ( n = 1) = = 1− P(X = 0), 0 < p < 1 n . N 是参数为 λ 的 Poisson 分布, 且与 { } Xn 独立. ∑= = N i Xi 1 ξ , 求ξ 的分布, Eξ 及 Dξ . 1 1 0 0 {}{ , }{ , } N n i i i i n n ξ k Nn X k Nn X k ∞ ∞ = = = = ∵∪ ∪ = = = == = = ∑ ∑ ( ) ( ) [ ] 1 0 1 1 1 0 0 () ( , ) () () ! (1 ) ! !( )! ( ) (1 ) ! ! ( ) ! n i i n k n n i i i i n nk n k nk n k n k n k p P k PN n X k PN nP X k PN nP X k n e pp n kn k p p e k n p e k λ λ λ ξ λ λ λ λ ∞ = = − ∞ = = = = ∞ − − = ∞ − = − ∴ == = = = = =+ = =   =⋅ −     − − = = ∑ ∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑ 可见ξ 是参数为 λ p 的 Poisson 分布, 所以 Eξ = λ ξλ pD p , . = 10. 设 X X Xn , , , 1 2 " 独立, Xi 是参数为 λi 的指数分布, (1) (2) ( ) 1 , X X X n ≤ i ≤ n ≤ ≤" ≤ 为相应的顺序统计量, (1) 求 λi = λ 时, ) ( , X(1) X(n) 的联合概率密度函数. (1) ( ) 1 2 (, ) ( , , 1 ( , ] 2 ( , ] 1 ( , ] ) ! ( ( ) ( )) 0!( 2)!1! ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) n x y n n- Px X x xy X y y PX X xx x n x xy yy y n Fx x Fx n - F y Fx x Fy y Fy < < ≤ +∆ < ≤ +∆ = +∆ − +∆ + ∆ = +∆ − ⋅ − +∆ ⋅ +∆ −  " 中恰有 个在 中， 恰有 个在 中， 恰有 个在 中

所以 P(x=x, r=y, 2==)P(=y ,Z==k) P(x<X(1)≤x+Ax,y<X(n)≤y+A Ax→0 P(Y=y,==) P(r=y,) ∑∑xP(x=x,z=1=y) n(n-D(F)-F(r))p(x)p(y) 得 ∑xP(x=x|y=y) x(1)x((x,y)=m(n-1)F(y)-F(x)”f(x)f(y)·lxsy 代入 E(XY=y,) f(x)=ne. 1(20 EIECX F(x)=he dt=1-e y,==k 得 EE(XY=y )Y=y, Z==I f(r,y)=n(n-1)2(e-e)e. Iosrcyt E(XY=y) (2)求=时,X的概率密度函数(1≤i≤m) 由y,-x的任意性,可得 同理 EIE(XY, Z]r]=E(x]Y)=EIE(X Ylr,z f(r) (k-1)!(n-K F(c F(x)"“·f(x) 得证 得 上式中第一个等式的直观意义为:分的较“粗”的区域上的 fr() A(e-1) 平均等于分的其更“细”的局部区域上的加权平均的加权平均 (k-1)(n-k)! 更准确地说,将∈o:Y(o)=y}=B,按照∈{o:Z(m) (3)求x1+X2的分布函数 }=Ck划分为若干个CB,在每个k上X(o)有均值,则在B 因为x和X2独立,所以X+X2的pdf满足如下卷积关系:上对这些均值再求加权平均,等于直接在B,上求X(a)的加权 f(X1+X2≤) 平均 fx,x, (x, y)dxdy 第一个等式可以看作是条件概率的全概率公式的推广 x+1s= 上式中第二个等式的直观意义为:在O∈{o:Y(o)=y,z(o) fx, (x)fx,(=-xjda k}=BC上,其中:Y(o)=y}=B,{:2()==Ck,则 B上X(a)的均值,与Ck无关 5设X~N(,2).求X在X≥0下的条件概率密度函数,及 (e一e),1≠2 当=2,σ=1时的E(xx≥0) A=A2= F(X1+X2≤=) P(X≤x0≤X SS.a(ydu P(0≤X≤x) P(0≤X (c-e)dnx≠2 IL.f(u)du/ f(udu. /12203 1=A2=元 所以条件概率密度函数为 f(xx2 0) A1≠A2 12-A1 f(x)/.f(a)dn{x≥0 1-c-x,.== ex-222 14.设X,Y,Z为三维离散型rv.E(X)<∞.证 EIE(XY, Z)Y] =E(XY)=EE(Xr,Z] (x-)212a2 说明其直观意义 =xd420 证明 E(x|x≥0) 对wy∈9∈9,设Y=y,Z=k,则 EIE(Y, zlY=y,I √2x(2) 2E(Y=y, Z==)P(Z==RY 0553 √2π·() x P(X y,)

所以 (1) ( ) 2 (, ) 0 0 ( 1)( ( ) ( )) ( ) ( ) n n- Px X x xy X y y x x y y nn Fy Fx px py < ≤ +∆ < ≤ +∆   ∆ →   ∆ ∆   ∆ → =− − , 得 2 (1), ( ) { } ( , ) ( 1)( ( ) ( )) ( ) ( ) n X Xn x y f xy nn F y F x f x f y I − =− − ⋅ < 代入 { 0} 0 ( ) () d 1 x x x t x fx e I F x et e λ λ λ λ λ − ≥ − − = ⋅ = =− ∫ 得 2 2 {0 } ( , ) ( 1) ( ) x yn x y x y f xy nn e e e I λ λ λλ λ − − − −− =− − ⋅ ≤ < (2) 求λi = λ 时, X(i) 的概率密度函数(1 ≤ i ≤ n) . 同理, 1 ! ( ) ( ( )) (1 ( )) ( ) ( 1)!( )! k nk k n f x Fx Fx f x k nk − − = −⋅ − − 得 1 { 0} ! ( ) ( 1) ( 1)!( )! x k nx k x n fx e e I k nk λ λ λ − − = −⋅ ≥ − − (3) 求 X1 + X2 的分布函数. 因为 X X 1 2 和 独立, 所以 X1 + X2 的 p.d.f.满足如下卷积关系: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ) 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( , )d d ( ) ( )d d ( ), , X X xyz X X z x zx z z z fX X z f xy xy f xf z x x ee x e e e z λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ + ≤ +∞ −∞ − −− − − − + ≤ = = − =   − ≠ =  −   = = ∫∫ ∫ ∫ ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) ( )d d , d , , 1 , z X X z u u z u z z z z FX X z f uu ee u euu e e e ze λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ + − − − − − − − ∴ +≤ =  −⋅ ≠   − =   ⋅ ==   −  ≠ =  −   − − == ∫ ∫ ∫ 14. 设 X, Y, Z 为三维离散型 r.v. E(X ) < ∞ . 证 E[E(X Y,Z)Y] = E(X Y ) = E[E(X Y )Y, Z] 并说明其直观意义. 证明: 对 , j k ∀ ∈Ω ∈Ω y z , 设 , Y yZ z = = j k , 则 [( ,) ] ( , )( ) ( , )( ) j jk k j k i ijk k j k i EEXY Z Y y EXY y Z z PZ z Y y xP X x Y y Z z P Z z Y y = = = = == = == = = = ∑ ∑∑ ( , , )( , ) (,) () (, ) ( ) ( ) i jk jk i k i jk j i ik j k i i ij i j P X x Y y Z z PY y Z z x PY y Z z PY y xP X x Z z Y y xP X x Y y EXY y = == == = ⋅ == = = === = == = = ∑∑ ∑∑ ∑ 和 [( ) , ] [( ) , ] ( ) j k j jk j EEXY Y y Z z E EXY y Y y Z z EXY y = = = = == = = 由 ,j k y z 的任意性, 可得 E[( ,) ] ( ) [( ) ,] EXY Z Y EXY EEXY Y Z = = 得证. 上式中第一个等式的直观意义为: 分的较“粗”的区域上的 平均等于分的其更“细”的局部区域上的加权平均的加权平均. 更准确地说，将ωω ω ∈ = { : ( ) }= Y yB j j 按照ωω ω ∈{: () Z = }k k z = C 划分为若干个C Bk j , 在每个Ck 上 X ( ) ω 有均值, 则在 Bj 上对这些均值再求加权平均, 等于直接在 Bj 上求 X ( ) ω 的加权 平均. 第一个等式可以看作是条件概率的全概率公式的推广. 上式中第二个等式的直观意义为: 在 {:() ,() ω ∈ = ωω ω Y yZ j }k jk = = z B C 上, 其中{ : ( ) }= ω ω Y yB = j j , { : ( ) }= Z k k ω ω = z C , 则 Bj 上 X ( ) ω 的均值, 与Ck 无关. 15. 设 ~ ( , ) 2 X N µ σ . 求 X 在 X ≥ 0 下的条件概率密度函数, 及 当 µ = 2,σ = 1时的 E(X X ≥ 0) . { 0} 0 0 ( 0) (0 ) (0 ) ( )d ( )d x x PX x X P Xx P X fu u fu u I +∞ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤   = ⋅     ∫ ∫ 所以条件概率密度函数为: 2 2 2 2 2 2 0 ( ) /2 ( ) /2 0 ( ) /2 ( 0) ( ) ( )d { 0} { 0} d { 0} 2π ( ) x u x f xx fx fu u Ix e I x e u e I x µ σ µ σ µ σ µ +∞ − − +∞ − − − − ≥   = ⋅ ≥     = ⋅≥ = ⋅≥ ⋅ Φ ∫ ∫ 2 ( 2) / 2 2, 1 0 2 ( 0) d 2π (2) 2 2.0553 2π (2) x EXX xe x e µ σ +∞ − − = = − ∴ ≥ ⋅ = ⋅ Φ =+ = ⋅ Φ ∫