第三单元三重积分
第三单元 三重积分
本单元的内容要点 三重积分的计算方法是将三重积分化为三次积分的计 算。主要内容有 利用直角坐标计算三重积分 o二、利用柱面坐标计算三重积分 、利用球面坐标计算三重积分
一、本单元的内容要点 三重积分的计算方法是将三重积分化为三次积分的计 算。主要内容有 一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分
本单元的教学要求 掌握三重积分的各种计算方法:直角坐标、柱面坐 标、球面坐标的三重积分的计算方法
二、本单元的教学要求 掌握三重积分的各种计算方法：直角坐标、柱面坐 标、球面坐标的三重积分的计算方法
利用直角坐标计算三重积分 1坐标面投影法 设空间闭区域2为一个有界闭区域, 函数(x为2上的连续函数。区域12 =2(x,y) 2在xOy平面上的投影区域D为xy型 区域,投影柱面将g2的边界分成上 下曲面∑和∑ =p,(x) 2:z=(xy)2∑2:z=5(xy(xy)∈Dx y=2(x)
利用直角坐标计算三重积分 1.坐标面投影法 设空间闭区域 Ω为一个有界闭区域， 函数f(x,y,z ) 为 Ω上的连续函数。区域 Ω在xoy 平面上的投影区域 D 为xy 型 区域，投影柱面将 Ω 的边界分成上 下曲面 Σ 1 和 Σ 2 1 1 2 2 Σ: ( z= Σ z x,y), :z =z (x,y), (x,y) ∈D. x y z o a b y=ϕ1 (x ) z=z 2 (x,y ) y=ϕ2 (x ) z=z 1 (x,y )
对(x,y)∈D,作积分 (x,y) Φ(x,y) f(x, y,2)d2 则 (x,y:2=t 2·7y、J(x,y,)dl 进一步地,将二重积分化为二次积分,则得 f(x, y, 2)dv= dxdy f(x,y, z)di 91
对 ( , x y)∈ D ，作积分 ( ) 2 ( ) 1 , , ( , ) ( , , ) z x y z x y Φ = x y f x y z dz ∫ 则 ( ) 2 ( ) 1 , , ( , , ) ( , , ) . xy z x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω = ∫∫∫ ∫∫ ∫ 进一步地，将二重积分化为二次积分，则得 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( ) , ( ) , ( , , ) ( , , ) . b x z x y a x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz ϕ ϕ Ω = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例1写出下面积分的三次积分 f(r, y, z)dv 其中2由二=x,x+y=1z=0围成的在第一卦限的部分 解当x>0,y>0时,有x=xy>0,投影区域如图所示 前/xy2h=a!(xy
例1 写出下面积分的三次积分： f x( , y,z)dv Ω ∫∫∫ 其中Ω由 z x = y, 1 x+ =y ,z =0围成的在第一卦限的部分 解 当x>0, y>0时，有z=xy >0，投影区域如图所示，则 x y o x+y=1 1 1 1 1 0 0 0 ( , , ) ( , , ) . x xy f x y z dv dx dy f x y z dz − Ω = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例2化下面三重积分为三次积分 f(x, y, z)di 其中g由3x2+y2=,x2=1-x围成。 解曲面z=3x2+y2为抛物面,z=1-x2为平行与轴的 柱面,两曲面的交线在xoy平面上的投影为 4x2+ 所以,相应的三次积分为
例2 化下面三重积分为三次积分 f x( , y, z)dv. Ω ∫∫∫ 其中Ω 由 3 , x2 2 + y = = z z 1−x2 围成。 解 曲面 为抛物面， 为平行与y轴的 柱面，两曲面的交线在xoy 平面上的投影为 2 2 z =3x y + 2 z =1−x 2 2 2 2 2 3 4 1 , . 1 0 z x y x y z x z ⎧⎪ = + ⎧ + = ⎨ ⎨ ⇒ ⎪ = − ⎩ = ⎩ 所以，相应的三次积分为
f(x, y, a=/iaf ri dy f(x,y2=) 3x+]
2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 1 4 3 2 ( , , ) ( , , ) . x x x x y f x y z dv dx dy f x y z dz − − − − − + Ω = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ x y z o
例3计算』“h,其中?由=x=1,=,a= z=x围成。 解积分区域如图所示 0 e dxo(eaxty-ety)dy e e e+e +e+
例3 计算 其中Ω 由 y=0, x=1, y=x, z=0, z=x围成。 , x y z e dv + + Ω ∫∫∫ ( ) 1 0 0 0 1 2 0 0 x x x y z x y z x x y x y e dv dx dy e dz dx e e dy + + + + Ω + + = = − ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x y z o z x = y x = 解 积分区域如图所示， ( ) 1 1 3 2 3 2 0 0 3 2 1 1 3 2 1 1 5 . 3 2 6 x x x x x x e e e dx e e e e e e ⎛ ⎞ = − + = ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ = − + + ∫
例4求「xydh其中2由x=0,y=0,=0,x+计z-1围成。 解积分区域如图所示, avaz dx| xy(1-x-y)dy So dxj(x(1-x) y-xy4dr x+y=1
例4 求 其 xydv 中Ω 由x=0, y=0, z=0, x+y+z=1围成。 Ω ∫∫∫ x y z o x+ y +z =1 x+y=1 解 积分区域如图所示， ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 (1 ) 1 x x y x x xydv dx dy xydz dx xy x y dy dx x x y xy dy − − − Ω − − = = − − = − − ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
