第二单元 重积分的应用
第二单元 重积分的应用
本单元的内容要点 本单元讨论重积分在几何、物理中应用。 主要内容有: e1曲面的面积 2重心坐标 3转动惯量 4引力
一、本单元的内容要点 本单元讨论重积分在几何、物理中应用。 主要内容有： 1.曲面的面积 2.重心坐标 3.转动惯量 4.引力
本单元的教学要求 掌握重积分的各种应用
二、本单元的教学要求 掌握重积分的各种应用
曲面的面积 例设一底面为矩形的柱体被一平面所截,如果截面 的法向量为e=(B08y),底面位于xoy平面,则 截面的面积A与底面面积G有如下的关系: 0 证不妨设截面MPRQ与底面 MNOL的关系如图所示,点M N (ro yo 0)
曲面的面积 例 设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面 的法向量为 ，底面位于xoy平面，则 截面的面积A与底面面积σ 有如下的关系： e=(cosα,cosβ γ ,cos ) G x o z 1 . cos A σ γ = y N P Q R L M(x0,y0,0) 证 不妨设截面MPRQ与底面 MNOL的关系如图所示，点M
在xoy平面上,坐标为M(xamy,0),则平面方程为 cosa(x-x)+cos B(-Do)+COS y(2-0)=0 将点P的x,y坐标,y代入上式,得 cos d cosr 即点P的坐标为0 cos C 6,同样 cOS y 点R的坐标为(03),所以 N (ro yo 0)
在xoy平面上，坐标为M(x0,y0,0)，则平面方程为 0 0 cosα(x x − )+ − cosβ γ (y y )+cos (z −0) = 0. 将点P 的x, y坐标0, y0代入上式，得 0 cos . cos z x α γ = 即点P的坐标为 ，同样 x o z y N P Q R L M(x0,y0,0) 0 0 cos 0, , cos y x α γ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 点R的坐标为 0 0 ，所以 cos ,0, cos x y β γ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
MP 1,0, CoSaL. MR=yo o-1 cosB cosy cosr k MPXMR=xoVo1-1 cosa cos a COS B x030 coSr cosy cosr COS 0-1 cos r 所以,截面面积为 A=×M= cos a cOS B cosr cosr COS
0 0 cos cos 1, 0, , 0, 1, co s c o s MP x MR y α β γ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JJJG JJJG 0 0 0 0 co s c o s co s 1 0 , ,1 co s c o s co s cos 0 1 co s i j k MP MR x y x y α α β γ γ γ β γ ⎛ ⎞ × = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − G G G JJJG JJJG 所以，截面面积为 0 0 cos cos 1 , , 1 . cos cos cos A MP MR x y α β σ γ γ γ ⎛ ⎞ = × = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJG JJJG
设空间有界曲面块∑,显式方程为z=(xy),D为在 xOy平面上的投影,在xoy平面上用曲线网将D分成若干 个小区域△Dp,△D2,…△Dn。在曲面上有相应的小 曲面块△∑,V(,m)∈△D,在曲面∑ e上有相应的点(5,n,(5,n),在该 点作切平面T,所对应的小块切平面 记作△T;,对应的面积分别记为△S; 及△T,则当分割很小时,可用△T; 近似代替△S;
设空间有界曲面块Σ，显式方程为z=z(x,y)，D为Σ在 xoy平面上的投影，在xoy平面上用曲线网将D分成若干 个小区域∆D1，∆D2，… ∆Dn。在曲面上有相应的小 曲面块∆Σi， ，在曲面Σ 上有相应的点 ，在该 点作切平面T，所对应的小块切平面 记作∆Ti，对应的面积分别记为∆Si， 及∆Ti，则当分割很小时，可用∆Ti 近似代替∆Si， ( , ) i i Di ∀ ξ η ∈ ∆ (ξi i , , η ξ z( i i ,η )) x o z y
因而,曲面块的面积为 ∑ 设S在点P处的法向量为c=(cosa,CosB2cos),则由 上例的结果,得 △T 而 COS 1+:)+[:(5,x
因而，曲面块的面积为 ,i i A ≈ ∑ ∆ T 设 S在点 P处的法向量为 ，则由 上例的结果，得 ei i = (co s α ,co s β γ i ,co s i) G 1 , cos i i i T σ γ ∆ = ∆ 而 [ ] 2 2 1 co s , 1 ( , ) ( , ) i x i i y i i z z γ ξ η ξ η = + + ′ ′ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
由此得 A=∑+[:(5,m)+[(,n)Aa 当分割越来越细,曲面的面积即为右式的极限,即 A=lm>+(5n)+[(5,n)A 由二重积分的定义 ∫y4E:x+[=(x,yd
由此得 [ ]2 2 1 ( , ) ( , ) x i i y i i i i A z ≈ + ′ ′ ξ η ξ + ⎡ ⎤ z η ∆σ ∑ ⎣ ⎦ 当分割越来越细，曲面的面积即为右式的极限，即 [ ]2 2 0 lim 1 ( , ) ( , ) , x i i y i i i i A z z λ ξ η ξ η σ → = + ′ ′ + ⎡ ⎤ ∆ ∑ ⎣ ⎦ 由二重积分的定义 [ ]2 2 1 ( , ) ( , ) . x y D A = + z x ′ ′ y + ⎡ ⎤ z x y dσ ∫∫ ⎣ ⎦
由此得到曲面面积的计算公式: 设空间有界曲面块方程2=xy)(xy∈D,D为∑ 在xoy平面上的投影,z=zxy)在D上有连续偏导,则曲 面面积A A=∫+=(x+[=(x,y)A0
由此得到曲面面积的计算公式： 设空间有界曲面块 Σ，方程 ，D 为 Σ 在xoy平面上的投影， z = z (x,y ) 在 D上有连续偏导，则曲 面面积A z= ∈ zxy ( , ),( x, y) D [ ] 2 2 1 ( , ) ( , ) . x y D A z = + + ′ ′ x y ⎡ ⎤ z x y ∆ σ ∫∫ ⎣ ⎦
