第二单元 洛必达法则与泰勒公式
第二单元 洛必达法则与泰勒公式
本单元的内容要点 1用洛必达法则求与一型的极限; 2泰勒中值定理 3泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺 型余项 下
一、本单元的内容要点 1.用洛必达法则求 与 型的极限； 0 0 ∞ ∞ 2.泰勒中值定理 3.泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺 型余项
本单元的教学要求 1会用洛必达法则求未定式极限,其中 1)对0∞0,∞o型未定式,可通过变换化为型或一型; (2)对0,1∞等幂指型未定式,可取对数化为或 型 2理解泰勒中值定理,并会用泰勒定理证明一些相关的 命题 下
二、本单元的教学要求 1.会用洛必达法则求未定式极限，其中 ⑴对0· ∞，∞±∞型未定式，可通过变换化为 型或 型； 0 0 ∞ ∞ ⑵对 0 0，1 ∞等幂指型未定式，可取对数化为 或 型． 0 0 ∞ ∞ 2.理解泰勒中值定理，并会用泰勒定理证明一些相关的 命题 ．
本单元教学的重点与难点 1用洛必达法则式求型与—型未定式极限,是求极限 0 的一种特殊方法,并非一般方法尤其注意,只有满 足条件1m(x存在或为(这时称1m/(x)有 x→aF x→a F'(x) 确定意义),用洛必达法则求得的极限才是正确的 2要正确理解:洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件,换言之,当1m(x)不存在或也 F'(x) 不为∞时,lim f(x) 仍然可能是确定的 x→aF(x) 下
三、本单元教学的重点与难点 1.用洛必达法则式求型 与 型未定式极限，是求极限 的一种特殊方法，并非一般方法.．尤其注意，只有满 足条件—— 存在或为 ∞ (这时称 有 确定意义 )，用洛必达法则求得的极限才是正确的. 0 0 ∞ ∞ ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ 2.要正确理解：洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件，换言之，当 不存在或也 不为 ∞时， 仍然可能是确定的． ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ ( ) li m ( ) x a f x → F x
3应注意,洛必达法则不是求型与一型未定式的唯 方法读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法,以使计算简便、准 确 δ4要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广,即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当=0时的特例;并懂得函数在一点x的泰勒多项 式是该函数在x附近的近似表达式,比起函数的一次近 似,高阶泰勒多项式有更好的近似精度 下
3.应注意，洛必达法则不是求 型与 型未定式的唯 一方法.读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准 确． 0 0 ∞ ∞ 4.要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广，即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当n=0时的特例；并懂得函数在一点x0的泰勒多项 式是该函数在x0附近的近似表达式，比起函数的一次近 似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度．
5要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克 劳林公式: e=1+x+-x2+…+-x"+0(x") n (-1) SInx=x m+o(x) (2m-1) 2m COSX x-+—x x-m+o(x (2m)! 下
5.要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克 劳林公式： 1 1 2 1 ( ); 2! ! x n n e x x x o x n = + + +"+ + 1 1 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) sin ( ); 3! 5! (2 1)! m m m x x x x x o x m − − − − = − + − + + − " 1 1 2 4 2 2 ( 1) cos 1 ( ); 2! 4! (2 )!m m m x x x x o x m− = − + −"+ +
ln(1+x)=x--x2 23 +o(x"); (1+x)2=1+x+(c-1) ala (a-n+1) +0(x 特别 =1+x+x2+…+x"+o(x") 下
1 1 1 2 3 ( 1) ln(1 ) ( ); 2 3 n n n x x x x x o x n − − + = − + −"+ + 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 2! ! ( ); n n n x x x x n o x α α α α α α α − − − + + = + + + + + " " 1 2 1 ( ). 1 n n x x x o x x = + + + + + − " 特别
本单元课时数:4课时 下
本单元课时数： 4课时．
洛必达法则 如果当x-xa(或x->∞)时,函数∫(x)与F(x)都趋于零或 都趋于无穷大,那么极限1mx)可能存在,也可能不 F(x 存在.通常称这种类型的极限为未定式,为了叙述方便, o习惯上用记号或—来表示这两种类型的未定式在 本节中,我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限 的一种简便而重要的方法,并着重讨论xa时的未定式 的情形 下
洛必达法则 如果当x→a(或x→∞)时，函数 f (x)与F(x)都趋于零或 都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不 存在. 通常称这种类型的极限为未定式，为了叙述方便， 习惯上用记号 或 来表示这两种类型的未定式.在 本节中，我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限 的一种简便而重要的方法，并着重讨论x→a 时的未定式 的情形． ( ) ( ) lim ( ) x a x f x → F x →∞ 0 0 ∞ ∞ 0 0
定理1设∫(x),F(x)在点a的某去心领域内可导,F(x)≠0 并且满足条件 (1)lim f(x)=lim F(x)=0; 0(2)极限im< x→a 或为 x→aF(x 那么,极限im f(x) 存在,并且 x→aF(x) f(x lin x少0F(x)x→aF(x) 下
定理1 设 f (x),F (x)在点a的某去心领域内可导， 并且满足条件： F x ′( ) ≠ 0 ⑴ lim ( ) lim ( ) 0; x a x a f x F x → → = = ⑵极限 或为∞, ( ) lim ( ) x a f x → F x ′′ 那么,极限 存在，并且 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x ′ = ′ ( ) lim ( ) x a f x → F x
