第三单元微分
第三单元 微分
本单元内容要点 微分的概念;可微的条件;微分的计算;应用 下
本单元内容要点 微分的概念；可微的条件；微分的计算；应用．
本单元教学要求 理解微分的概念;微分的几何意义:从几何上理解微 分是函数增量的主要部分;掌握利用微分去近似计算 下
本单元教学要求 理解微分的概念；微分的几何意义：从几何上理解微 分是函数增量的主要部分；掌握利用微分去近似计算．
微分的定义 1引例 首先我们来看一个具体的例子:一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响,其边长从 x变化到x+△x,问此薄片的 面积改变了多少? A=x 分析:当边长为x时,相应的面 积为S(x)=x2 下
一、微分的定义 1.引例 x Dx 2 A = x ( )2 ∆x x Dx 首先我们来看一个具体的例子：一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响，其边长从 变化到 ，问此薄片的 面积改变了多少？ x x x + ∆ 分析：当边长为 时，相应的面 积为 x 2 S x( ) = x
而当边长增加到x+A时,薄片面积的改变量为 △S=(x+△x)-x2=2xAx-(△x) 从中可以看出△S由两部分构成:第一部分2x^x是△ 的线性函数;第二部分(△x)当△x→>0是△x的高阶无 穷小.由此可见:如果边长的改变很微小,则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替.由于第一部分 是△的线性函数,而且当△x越小时,近似程度也越 好.这给近似计算带来了很大的方便 下
而当边长增加到 x x +∆ 时，薄片面积的改变量为 ( ) ( ) 2 2 2 ∆ = S x + ∆x − x = 2 , x∆x − ∆x 从中可以看出 由两部分构成：第一部分 是 的线性函数；第二部分 当 是 的高阶无 穷小．由此可见：如果边长的改变很微小，则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替．由于第一部分 是 的线性函数，而且当| | 越小时，近似程度也越 好．这给近似计算带来了很大的方便． ∆S 2x x∆ ∆x ( )2 ∆x ∆ →x 0 ∆x ∆x ∆x
还有其它几多具体问题中的出现的函数y=f(x)都 具有这样的特征:与自变量的增量△x相对应的函数的 增量Ay=f(x+Ax)-f(x)可以表达为△的线性函 数Nx与Ax的高阶无穷小0(△x)的两部分和.由此,我 们引入以下概念 下
还有其它几多具体问题中的出现的函数 都 具有这样的特征：与自变量的增量 相对应的函数的 增量 可以表达为 的线性函 数 与 的高阶无穷小 的两部分和．由此，我 们引入以下概念： y f = ( ) x ∆x ∆ = y f ( x x + ∆ ) − f ( ) x ∆x A∆x ∆x o x ( ∆ )
2微分的定义 定义设函数y=f(x)在x的某个领域内有定义,当 自变量在x0处取得增量△(点x+Ax仍在该领域)时, 如果相应的函数增量△y=f(x0+Ax)-f(x0)可以表 示为 △y=AAx+O(Ax) 其中A是与x有关的而与△无关的常数,o(x)是△的 高阶无穷小(当Ax→>0),那么称函数y=f(x)在点x0 是可微的,Ax称为函数y=f(x)在点x相应于自变量 下
2.微分的定义 定义 设函数 在 的某个领域内有定义，当 自变量在 处取得增量 (点 仍在该领域 ) 时， 如果相应的函数增量 可以表 示为 y f = ( ) x 0 x 0 x ∆x 0 x x +∆ 0 0 ∆y f = + ( ) x ∆x − f (x ) ∆y = ∆A x + o(∆x), 其中A是与 有关的而与 无关的常数， 是 的 高阶无穷小(当 )，那么称函数 在点 是可微的， 称为函数 在点 相应于自变量 0 x ∆x o x (∆ ) ∆x ∆x→0 y f = ( ) x 0 x A∆x y f = ( ) x 0 x
的增量△x微分,记为,即 dy=AAr
的增量 ∆x微分，记为dy，即 dy = A∆x
3可微的条件 定理函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是函数 y=f(x)在点x处可导且有 dy=f(x)△x 证必要性:设函数y=f(x)在点x处可微分,则 由定义,对给定的自变量的增量△相应函数的增量为 Ay=f(xo+Ax)-f(xo)=AAx+o(Ax), 即 △y A △x 下
3.可微的条件 定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数 在点 处可导且有 0 y f = ( ) x x 0 y f = ( ) x x 0 dy = f ′( ) x ∆x. 证 必要性： 设函数 在点 处可微分，则 由定义，对给定的自变量的增量 相应函数的增量为 y f = ( ) x 0 x ∆x ∆ = y f ( ) x x 0 0 + ∆ − f (x A ) = ∆x + o(∆x), 即： ( ) , y o x A x x ∆ ∆ = + ∆ ∆
注意到: △ f(xo)=lim==lim A+ △ Ax→>0 即有 力y=f(x0)Ax 充分性:设函数y=f(x)在x处可导,即有 △ lim=f(o) 由极限与无穷小的关系:得 下
注意到： ( ) 0 0 0 ( ) lim lim , x x y o x f x A A ∆ → x x ∆ → ∆ ⎛ ⎞ ∆ ′ = = + ⎜ ⎟ = ∆ ∆ ⎝ ⎠ 即有： 0 dy = f ′( ) x ∆x. 充分性：设函数 y f = ( ) x 在 x0处可导，即有 0 0 lim ( ), x y f x ∆ → x ∆ = ′ ∆ 由极限与无穷小的关系：得