第三章导数与微分 第一节导数的概念 思考题 1.思考下列命题是否正确?如不正确举出反例 )若函数y=f(x)在点x0处不可导,则f(x)在点x。处一定不连续 答:命题错误如y=在x=0处不可导,但在此点连续 (2)若曲线y=f(x)处处有切线,则y=f(x)必处处可导 答:命题错误如:y2=2x处处有切线,但在x=0处不可导 2.若lmf(x)-f(a)=A(A为常数),试判断下列命题是否正确 (1)f(x)在点x=a处可导 (2)f(x)在点x=a处连续, (3)f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a) 答:命题(1),(2),(3)全正确 3.试举出至少5个能用导数描述变化率的有实际意义的变量(写成小短文) 答:导数f(x0)表示函数y=f(x)的因变量y在x0处相对于自变量x的变化率.在实 际生活中,如 (1)物体的密度是物体的质量对体积的变化率; (2)电流强度是单位时间内流过电路某一截面的电量,即电量对时间的变化率; (3)边际成本是产品的总成本对产量的变化率; (4)在化学反应中某物质的反应速度是其浓度对时间的变化率 (5)加速度是速度对时间的变化率 习作题: 1.利用幂函数的求导公式(x“y=x分别求出下列函数的导数 (1)x100 (2)x (3)x3x 解:(1)(x10y=100x”9 (2)(x8)==x
第三章 导数与微分 第一节 导数的概念 思考题： 1. 思考下列命题是否正确？如不正确举出反例. （1）若函数 y = f (x) 在点 0 x 处不可导，则 f (x) 在点 0 x 处一定不连续. 答：命题错误. 如 y = x 在 x0 = 0 处不可导，但在此点连续. （2）若曲线 y = f (x) 处处有切线，则 y = f (x) 必处处可导. 答：命题错误. 如： y 2x 2 = 处处有切线，但在 x = 0 处不可导. 2. 若 A x a f x f a x a = − − → ( ) ( ) lim （ A 为常数），试判断下列命题是否正确. （1） f (x) 在点 x = a 处可导, （2） f (x) 在点 x = a 处连续, （3） f (x) − f (a) = A(x − a) + o(x − a) . 答：命题⑴, ⑵, ⑶全正确. 3. 试举出至少 5 个能用导数描述变化率的有实际意义的变量（写成小短文）. 答: 导数 0 f x ( ) 表示函数 y f x = ( ) 的因变量 y 在 0 x 处相对于自变量 x 的变化率. 在实 际生活中, 如: (1)物体的密度是物体的质量对体积的变化率; (2)电流强度是单位时间内流过电路某一截面的电量, 即电量对时间的变化率; (3)边际成本是产品的总成本对产量的变化率; (4)在化学反应中某物质的反应速度是其浓度对时间的变化率; (5)加速度是速度对时间的变化率. 习作题： 1. 利用幂函数的求导公式 1 ( )' − = x x 分别求出下列函数的导数: （1） 100 x , （2） 8 3 x , （3） x x 3 . 解：(1) ( )' 100 x =100 99 x , (2) ( )' 8 3 x = 5 8 3 8 x −
2.若曲线y=x3在(x0,y0)处切线斜率等于3,求点(x0,y)的坐标 解:由题意得:(x2)=x=3 即3x=3,解之得x=±1 把x=1代入y=x3,得y=1 1代入 得 综上得:点(x0,y0)的坐标为(1,1)和(-1,-1) 3.抛物线y=x2在何处切线与Ox轴正向夹角为,并且求该处切线的方程 解:由题意得:(x2yl 即2x。=1,解之得x。= x。 代入 得 .=x在()点处切线与Ox轴正向夹角为x ,此 切线为 即y=x- 4.已知(snxy=cosx,利用导数定义求极限lm n(x+x)-1 sin(=+x) 第二节求导法则 思考题 1.思考下列命题是否成立? (1)若f(x),g(x)在点x处都不可导,则f(x)+g(x)点x0处也一定不可导
(3) ( )' 3 x x = ( )' 2 7 x = 2 5 2 7 x . 2. 若曲线 y = 3 x 在 ( , ) 0 0 x y 处切线斜率等于 3 ，求点 ( , ) 0 0 x y 的坐标. 解：由题意得： 0 ( )'| 3 x x x = = 3, 即 3 3 2 x0 = , 解之得 x = 1. 把 x = 1 代入 y = 3 x , 得 y = 1 . 把 x = − 1 代入 y = 3 x , 得 y = − 1, 综上得：点 ( , ) 0 0 x y 的坐标为（1，1）和（ − 1， − 1 ）. 3. 抛物线 y = 2 x 在何处切线与 Ox 轴正向夹角为 4 π ，并且求该处切线的方程. 解: 由题意得： 0 ( )' | 2 x x x = =tan 4 π , 即 2 0 x = 1, 解之得 0 x = 2 1 . 把 0 x = 2 1 代入 y = 2 x , 得 y = 4 1 , y = 2 x 在（ 2 1 ， 4 1 ）点处切线与 Ox 轴正向夹角为 4 π , 此处切线为 2 1 4 1 y − = x − , 即 4 1 y = x − . 4. 已知 (sin x)'= cos x ，利用导数定义求极限 x x x ) 1 2 π sin( lim 0 + − → . 解： x x x ) 1 2 π sin( lim 0 + − → = x x x 2 ) sin 2 π sin( lim 0 + − → = 2 π (sin )'| x= x = 2 π cos =0. 第二节 求导法则 思考题： 1. 思考下列命题是否成立？ (1)若 f (x) ， g(x) 在点 0 x 处都不可导，则 f (x) + g(x) 点 0 x 处也一定不可导
答:命题不成立 0.x≤0 ≤0, 0 0.x>0 f(x),g(x)在x=0处均不可导,但其和函数f(x)+g(x)=x在x=0处可导 (2)若f(x)在点x0处可导,g(x)在点x处不可导,则f(x)+g(x)在点x0处一定 不可导 答:命题成立 原因:若∫(x)+g(x)在x0处可导,由f(x)在x。处点可导知 g(x)=[f(x)+g(x)]-f(x)在x0点处也可导,矛盾 2.f(x)与[f(x0)有无区别?为什么? 答:f(x0)与[f(x)有区别 因为∫(x0)表示f(x)在x=x处的导数;[f(x0表示对f(x)在x=x0处的函数值 求导,且结果为0 3.给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数吗?为什么 答:一定能求出其导函数 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数,而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成,据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数 习作题: 求下列函数的导数 (1)y=4x2+3x+1, (2)y=4e+3e+1, 解: 解: (3)y=x+hx+1 (4 )y =sn x+x+I 解:y=cosx+1 (5)y=2cOSx +3x (6)y 解: 2sin x +3 :y=2h2+32ln3 (7)y=log,x+x
答：命题不成立. 如： f (x) = , 0, 0, 0, x x x g(x) = 0, 0, , 0, x x x f (x) ， g(x) 在 x = 0 处均不可导，但其和函数 f (x) + g(x) = x 在 x = 0 处可导. （2）若 f (x) 在点 0 x 处可导， g(x) 在点 0 x 处不可导，则 f (x) + g(x) 在点 0 x 处一定 不可导. 答：命题成立. 原因：若 f (x) + g(x) 在 0 x 处可导，由 f (x) 在 0 x 处点可导知 g(x) =[ f (x) + g(x) ] − f (x) 在 0 x 点处也可导，矛盾. 2. '( ) 0 f x 与 [ ( )]' 0 f x 有无区别？为什么？ 答： '( ) 0 f x 与 [ ( )]' 0 f x 有区别. 因为 '( ) 0 f x 表示 0 f (x)在x = x 处的导数; [ ( )]' 0 f x 表示对 0 f (x)在x = x 处的函数值 求导，且结果为 0. 3. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？ 答：一定能求出其导函数. 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数. 习作题： 1. 求下列函数的导数 （1） y = 4 2 x +3 x + 1, (2) y = 4 x e +3 e +1, 解： y' = 8 x + 3. 解： y' = 4 x e . (3) y = x + ln x + 1, (4) y =sin x + x + 1, 解： y' = 1+ x 1 . 解： y' = cos x + 1. (5) y = 2cos x + 3 x , (6) y = x x 2 + 3 , 解： y' = − 2sin x +3. 解： y' = 2 ln 2 3 ln 3 x x + . (7) y = 2 2 log x + x
x In 2 2.求下列函数的导数 )y=4(x+1)2+(3x+1)2, (2)y= 解:y=4·2(x+1)+2(3x+1)·3 解:y=e2+xex 8(x+1)+6(3x+1)=26x+1 (3)y=sn x cosx (4)y= arctan 2x Af: y'=(sin x)'cos x +sin x(cos x) 解:y1+(2x) =cos x-SIn x 1+4x (5)y=cos 8x, 解:y’=(-Sn8x)(8x Af: y=(e)sin 2x+e(sin 2x) 8sn &x =e sin 2x+2e cos 2x 3.求 (x+1)(x+2)(x+3) 的导数 dt 4 解:两边取对数: hy=3x+)+x+2)+x+3)-3hx-(x+4) 两边关于x求导: 2 3xx+4 4.求曲线 在点(1,1)处切线的斜率 解:由题意知: =, t=1
解： y' = x x 2 ln 2 1 + . 2. 求下列函数的导数: （1） y = 4 2 2 (x +1) + (3x +1) , (2) y = x xe +10 解： y' = 4 2(x +1) + 2(3x +1)3 解： x x y' = e + xe . = 8(x +1) + 6(3x +1) = 26x +14. (3) y = sin x cos x , (4) y = arctan 2x , 解： y' = (sin x)' cos x + sin x(cos x)' 解： y' = 2 1 (2 ) 1 2 + x = x x 2 2 cos − sin = 2 1 4 2 + x . = cos2x . (5) y = cos8x , (6) y = x x e sin 2 . 解： y' = (−sin 8x)(8x)' 解： y' (e ) sin 2x e (sin 2x)' x x = + = −8sin 8x . = x x x x e sin 2 + 2e cos 2 . 3. 求 y = 3 2 3 ( 4) ( 1)( 2)( 3) + + + + x x x x x 的导数 x y d d 解：两边取对数： ln y = [ln( 1) ln( 2) ln( 3) 3ln ln( 4)] 3 2 x + + x + + x + − x − x + , 两边关于 x 求导： ] 4 3 1 3 1 2 1 1 1 [ 3 2 ' 1 + − − + + + + + = x x x x x y y , ) 4 3 1 3 1 2 1 1 1 ( 3 2 d d + − − + + + + + = x x x x x y x y . 4. 求曲线 = = , , 3 y t x t 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知： = = 1 , 1 , 3 t t t =1, 3 3 ( ) ( ) d d 1 2 1 3 1 = = t= = t= t= t t t x y
曲线在点(1,1)处切线的斜率为3 5.求由方程x+y-2+e”=0所确定的隐函数的导数少 解:对方程两边关于x求导得: y=0 设f(x)=mn(1+x),y=f(f(x),求 dy 解:y=f(f(x))=h ,,[l+l(1+x) dx 1+In( 1 [+l(1+x)] 7.设 f(x)=x2,求f(x) 解:令y=x°,两边取对数得:lny=ehx 两边关于x求导数得: In+ = 设y=f(u),u 解: f"(u)·2 d f"(l),4x2(cosx2)2+f()( 4x2 求y 解:两边取对数得:hy=yhx 两边关于x求导数得 x+
曲线在点（1，1）处切线的斜率为 3 5. 求由方程 e e 0 2 + − + = x y x y 所确定的隐函数的导数 x y d d . 解：对方程两边关于 x 求导得： 1 ' 2e e ' 0 2 + y − + y = x y , y x y 1 e 2e 1 ' 2 + − = . 6.设 f (x) = ln(1+ x), y = f ( f (x)) ，求 dx dy 解： y = f ( f (x)) = ln[1+ ln(1+ x)], [1 ln(1 )]' 1 ln(1 ) 1 d d x x x y + + + + = [1 ln(1 )](1 ) 1 + + x + x = . 7. 设 x f x x e ( ) = ，求 f '(x) . 解：令 x y x e = , 两边取对数得： y x x ln = e ln , 两边关于 x 求导数得： x y x y x x e ' e ln 1 = + ) e ' (e ln x y y x x x = + 即 ) e ' (e ln e x y x x x x x = + . 8. 设 ( ), sin , 2 y = f u u = x 求 x y d d 和 2 2 d d x y . 解： x y d d = 2 f (u) 2x cos x , 2 2 d d x y = ( ) 4 (cos ) ( )(2cos 4 sin ) 2 2 2 2 2 2 f u x x + f u x − x x . 9. 若 y y = x ，求 y' . 解：两边取对数得： ln y = y ln x , 两边关于 x 求导数得： x y y y x y ' = 'ln + 1
整理得:y= x-xvIn x 求 解:y'=4x3+e y"=12x2+e y4)=24+ex 第三节微分及其在近似计算中的应用 思考 1设y=f(x)在点x0的某邻域有定义,且f(x0+△x)-f(x0)=a△x+b(△x)2,其中 a,b为常数,下列命题哪个正确? (1)f(x)在点x处可导,且f(x0)=a (2)∫(x)在点x处可微,且d(x)l-x=adx (3)f(x0+△x)≈f(x0)+a△x(|Ax很小时 答:(1),(2),(3)三个命题全正确 2可导与可微有何关系?其几何意义分别表示什么?有何区别? 答:对于一元函数来说,f(x)在x0处可导与可微均表示曲线y=f(x)在x0处存在切 线,f(x)表示切线的斜率,d(x)表示切线纵坐标的改变量 3.用微分进行近似计算的理论依据是什么? 答:理论依据为:当y=f(x)在x处可微时,Ay=dy+o(△x) 当△x很小时,有△y≈d 4.f(x)在一点可微,可导,连续间有何关系? 答:关系如图所示
整理得： x xy x y y ln ' 2 − = . 10. x y x e 4 = + , 求 y (4) . 解： x y 4x e 3 = + , x y 12x e 2 = + , x y = 24x + e , x y 24 e (4) = + . 第三节 微分及其在近似计算中的应用 思考题： 1.设 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域有定义，且 f (x0 + x) − ( ) 0 f x = 2 ax + b(x) ，其中 a , b 为常数，下列命题哪个正确？ （1） f (x) 在点 0 x 处可导，且 f (x0 ) = a , （2） f (x) 在点 0 x 处可微，且 f (x) a x d | x x d 0 = = , （3） f (x + x) f (x )+ ax 0 0 （ | x | 很小时）. 答：（1）,（2）,（3）三个命题全正确. 2.可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？ 答：对于一元函数来说， f (x) 在 0 x 处可导与可微均表示曲线 y = f (x) 在 0 x 处存在切 线， ( ) 0 f x 表示切线的斜率， 0 d ( ) x x f x = 表示切线纵坐标的改变量. 3. 用微分进行近似计算的理论依据是什么？ 答：理论依据为：当 y = f (x) 在 0 x 处可微时， y = dy + o(x), 当 x 很小时，有 y dy . 4. f (x) 在一点可微，可导，连续间有何关系？ 答：关系如图所示
可微 可导 连续 习作题: 1.d(e2) d(n(1+x) 2.求√102,sn29°的近似值 解:据f(x0+△x)≈f(x0)+f(x0Ax 得:02=5+x3×02=1+2×02 151 150 Sn29sin30°+ox;:180=2+2i 3.求下列函数的微分 (1)y=x+sin x (2)y=tanx (3)y=xe (4)y=(3x-1) 解:(1) dy =2x+cos x (2x + cos x)dx (2)dy= sec xd (3)dy=e(1+ x)dx (4)dy=1003x-1)(3x-1)dx,即dy=300(3x-)ydx 设(x)=h(1+x),求( 解:d(x)-23=f(2)×001 r/x=2x001=1
可微 可导 连续 习作题： 1. x x x e ) e d 2 1 d( 2 2 = ; ( ( )) x x x + + = 1 d d ln 1 ; x x x x d ln ln ) 2 1 d( 2 = . 2. 求 3 1.02 ，sin 29 的近似值. 解：据 f (x + x) f (x )+ f (x )x 0 0 0 , 得： 0.02 3 1 1.02 1 1 3 2 3 3 + = − x x =1+ 0.02 3 1 = 150 151 , 同理： 180 π sin 29 sin 30 cos | 6 + π x= x = 180 π 2 3 2 1 + . 3. 求下列函数的微分: （1） y x sin x 2 = + , （2） y = tan x , （3） x y = xe , （4） ( ) 100 y = 3x −1 . 解：(1) x x x y 2 cos d d = + , dy = (2x + cos x)dx , (2) dy sec xdx 2 = , (3) y x x x d = e (1+ )d , (4) dy 100(3x 1) (3x 1)'dx 99 = − − , 即 dy 300(3x 1) dx 99 = − . 4. 设 f (x) = ln(1+ x) ，求 0.01 d ( ) 2 = = x f x x . 解： 0.01 d ( ) 2 = = x f x x = f (2)0.01= 0.01 1 1 2 + x= x = 300 1
