§4局部极限定理与积分极限定理 局部极限定理 设0<p<1,q=1-p,记xk 则对满足|xk≤A的k一致 npq 的有 证易知 k k 由斯特林( Stirling)公式 于是 m! P V2Tnp q kke-kv2Tk(n-k)n-ke-(n-k)v2(n-k) nq、n-k √2zVkm-6 现在来看上式的估计 n k(n=k)1- (np+ kvnp)(nq 1+ pg
Ch5 1 §4 ✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✄✡☎✂✆✡✝ ✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝ ☛ 0 < p < 1 ☞ q = 1 − p ☞✍✌ xk = k − np √npq ☞✍✎✑✏✑✒✑✓ |xk| 6 A ✔ k ✕✑✖ ✔✂✗ C k n p k q n−k ∼ 1 √ 2πnpq e − x 2 k 2 (n → ∞). ✘ ✙✂✚ k ∼ np, n − k ∼ nq. ✛✢✜✂✣✂✤ (Stirling) ✥✂✦ n! ∼ n n e −n √ 2πn. ✧✂★ C k np k q n−k = n! k!(n − k)!p k q n−k = n n e −n √ 2πnpk q n−k k ke −k √ 2πk(n − k) n−ke −(n−k) p 2π(n − k) = 1 √ 2π r n k(n − k) · np k k nq n − k n−k . ✩✂✪✂✫✂✬✂✭✦✂✔✂✮✂✯✱✰ r n k(n − k) = k(n − k) n − 1 2 = (np + xk √npq)(nq − xk √npq) n − 1 2 = 1 √npq 1 + xk q − p √npq + O 1 n − 1 2 ∼ 1 √npq . 1
又h(1+x)=-2+(x),x2)≤|rc,故 npk nq n-k (n-k)In ng Vnpq. )-(n-k)n(1 (m+m(10-5+0() (mq-xk√m)ln P 即对|k≤A的k,一致的有 k Ne 从而可知原命题成立 由局部极限定理很容易推出下面的积分极限定理 设Xn~B(m,p),则对任意的-∞0,Sn=1+…+Xn,则对任意的x都 有 ≤x)=(x)
Ch5 2 ✲ ln(1 + x) = x − x 2 2 + θ(x 3 ) ☞ |θ(x 3 )| 6 |x 3 | · c ☞✴✳ lnnp k k nq n − k n−k = −klnnp k − (n − k)lnn − k nq = −kln 1 + √npqxk np − (n − k)ln 1 − √npq nq = −(np + xk √npq)ln xk r q np − 1 2 x 2 k q np + o 1 n −(nq − xk √npq)ln − xk r p nq − 1 2 x 2 k p nq + o 1 n ∼ − 1 2 x 2 k . ✵✏ |xk| 6 A ✔ k ☞✴✕✂✖✂✔✂✗ np k k nq n − k n−k ∼ e − x 2 k 2 . ✶✂✷✂✸✚✂✹✂✺✂✻✂✼✂✽✰ ✛✢✾✂✿✂❀✂❁✂❂✂❃✂❄✂❅✙✂❆❈❇✢❉✡❊✔✂❋✡●❀✡❁✡❂✂❃■❍ ☛ Xn ∼ B(n, p) ☞✴✎✂✏✂❏✂❑✂✔ −∞ 0 ☞ Sn = X1 + · · · + Xn ☞❻✎✂✏✂❏✂❑✂✔ x ▲ ✗ limn→∞ P Sn − nµ √ nσ2 6 x = Φ(x). 2
其中,(x)是标准正态分布的分布函数,也就是说,>严依分布收敛到 标准正态分布 则原命题就是要证明Zn依分布收敛到正态分布,也就是要证明Zn的 特征函数收敛到标准正态分布的特征函数。 令 1- 记它的特征函数为f(t).由X1,…,Xn独立同分布知Zn的特征函数为 由于EX1=p,VarX1=a2,故EY=0,VarY=1.于是就有 Y=0,f(0)=2 由 Taylor公式 2) 于是就有 t2,t2 Infn(t) aIn(1 fn(t)→e-2 中心极限定理中独立同分布的条件是很强的要求,下面给出另一个定 理 定理( Lindeberg- Feller)设X1,X2,…是相互独立的随机变量,记 ak=EXk,=VarX,B2=∑h
Ch5 3 ❼ ❥❽☞ Φ(x) ★✑❾✑❿✑➀✑➁●✡❬✂✔✡●✂❬✈✂✇✰✴❫✂❵★✡➂☞ Sn − nµ √ nσ2 ➃ ●✑❬✑➄✑➅③ ❾✂❿✂➀✂➁●✂❬✱✰ ✘ ✌ Zn = Sn − nµ √ nσ2 , ✎✹✂✺✂✻❵ ★✂➆✡➇➉➈ Zn ➃ ●✂❬✂➄✂➅③➀✡➁●✡❬■☞➊❫✡❵★✡➆➋➇❈➈ Zn ✔ ✣✂✉✂✈✂✇➄✂➅③❾✂❿✂➀✡➁●✂❬✡✔✣✡✉✡✈✂✇✰ ➌ Y = X1 − µ σ , ✌✂➍✂✔✣✂✉✂✈✂✇✂⑥ f(t) ✰ ✛ X1, · · · , Xn ⑨✽❪⑩●✂❬✚ Zn ✔✣✂✉✂✈✂✇✂⑥ fn(t) = f t √ n n . ✛ ✧ EX1 = µ ☞ VarX1 = σ 2 ☞✴✳ EY = 0 ☞ VarY = 1 ✰ ✧✂★❵✂✗ f 0 (0) = iEY = 0, f ” (0) = i 2EY 2 = −1. ✛ Taylor ✥✂✦ f(t) = 1 − t 2 2 + o(t 2 ), ✧✂★❵✂✗ lnfn(t) = nln 1 − t 2 2n + o t 2 n → − t 2 2 (n → ∞), ✵ fn(t) → e − t 2 2 . ❥➎⑦❀➋❁➋❂➋❃ ❥⑨✽➉⑩ ●➏❬➋✔➏➐➏➑★❄➏➒✔➆➏➓☞ ❉➏❊❧ ❇➎➔✕➏❛❂ ❃ ✰ ✆✂✝ (Lindeberg − Feller) ☛ X1, X2, · · · ★✂→✂➣✂⑨✽ ✔✂❶✂❷❸✂❹☞❻✌ ak = EXk, b 2 k = VarXk, B 2 n = Xn k=1 b 2 k , 3
如果 Lindeberg条件成立,即对任意的e>0,都有 B∑ (a-ak)2dFk(a)=0 k=1 r-ak>eBn 则对任意的x,有 imP(∑(X=a)≤x)=业() k=1 在Xn为相互独立的随机变量列的前提下, Lindeberg条件不仅仅是中 心极限定理成立的充分条件,也差不多是必要条件。确切的说,要加上下面 两个条件 lim B n→ B
Ch5 4 ↔✂↕ Lindeberg ➐✂➑✼✂✽☞ ✵✏✂❏✡❑✡✔ ε > 0 ☞✴▲✂✗ limn→∞ 1 B2 n Xn k=1 Z |x−ak|>εBn (x − ak) 2 dFk(x) = 0, ✎✂✏✂❏✂❑✂✔ x ☞✴✗ limn→∞ P 1 Bn Xn k=1 (Xk − ak) 6 x = Φ(x). ✪ Xn ⑥→✂➣✂⑨✽ ✔✂❶✡❷❸➋❹✡❺✔✡➙✡➛❉ ☞ Lindeberg ➐✂➑✂➜✂➝✂➝★ ❥ ⑦❀✂❁✂❂✂❃✼✂✽✔✂➞✡●✡➐✡➑■☞➟❫✡➠✡➜✡➡★✡➢✡➆➐✡➑■✰➥➤✡➦✡✔➂ ☞ ➆✡➧✭❉✂❊ ❜ ❛✂➐✂➑❍ limn→∞ Bn = ∞, limn→ bn Bn = 0. 4
