Ch3 §3独立性 在第一章里面讨论了事件的相互独立性,现在要在这个基础上,进一步 讨论随机变量的相互独立性。 定义设X1,…,Xn是概率空间(Ω,,P)上的n个随机变量,称它们 是相互独立的如果对任意n个实数x1,……,xn都有 P(X1≤ Xn≤xn)=P(X1)…P(Xn 实际上,随机变量的独立性也是事件的独立性,上式等价于事件{ r1},……,{Xn≤xn}相互独立 关于随机变量的相互独立有下面的性质: 如果X1,…,Xn相互独立,f1(x),…,fn(x)都是一元 Borel可测函数, 则f1(X1),…,fn(Xn)也是相互独立的 对于连续型随机变量X1,……,Xn,设其密度函数分别p1(x1),…,pn(xn), Xn相互独立 →1(x)是(x1,…,X)的联合密度 上一节给出了二元正态分布的边缘分布,现在来看它的两个分量何时独 例31设(X,Y)~N(1,2,02,02,p,则X,Y相互独立的充要条件 是p=0 证X,Y的边缘密度函数分别为 Px(a) },B(y) 当p=0时,有 (, y)=px(r)pr(y) 可知X,Y相互独立,充分性得证
Ch3 1 §3 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✂✏✂✑✓✒✂✔✓✕✗✖✙✘✂☎✓✚✂☎✓✛✂✜✓✢✂✣✓✤✗✖✙✥✂✝✓✦ ✡✂☛✂✧✂★✂✩✂✪✂✎✂✏✂✑✂✒✓✔✓✕✬✫ ✭✂✮ ✯ X1, · · · , Xn ✰✂✱✂✲✂✳✵✴ (Ω, F, P) ✤✂✎ n ✜✂✧✂★✂✩✂✪✬✖✷✶✂✸✂✹ ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✂✺✂✻✂✼✂✽✓✾ n ✜✂✿✂❀ x1, · · · , xn ❁✂❂ P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) = P(X1)· · ·P(Xn). ✿❄❃❄✤✬✖❅✧❄★✂✩✂✪✓✎✂✒✂✔✓✕✂❆✰ ✌✓✍✂✎✂✒✓✔✂✕✗✖❇✤✂❈✓❉✂❊✂❋✓✌✂✍ {X1 6 x1}, · · · , {Xn 6 xn} ✏✂✑✂✒✂✔✬✫ ●✂❋✂✧✂★✂✩✂✪✂✎✂✏✂✑✂✒✂✔❂✂❍✠✓✎✂✕✓■❑❏ ✺❄✻ X1, · · · , Xn ✏❄✑❄✒❄✔✬✖ f1(x), · · · , fn(x) ❁❄✰✝❄▲ Borel ▼❄◆❄❖❀✬✖ P f1(X1), · · · , fn(Xn) ❆ ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✬✫ ✼◗❋◗❘◗❙◗❚◗✧◗★◗✩◗✪ X1, · · · , Xn ✖❯✯◗❱◗❲◗❳❖❀◗❨❄❩ p1(x1), · · · , pn(xn) ✖ P X1, · · · , Xn✏✂✑✂✒✂✔ ⇐⇒ Yn i=1 pi(xi)✰(X1, · · · , Xn)✎✂❬✂❭✂❲✂❳. ✤❄✝❄❪❄❫❵❴❛☞❄❜✂▲✂❝✂❞✂❨✂❡❄✎✂❢✂❣✂❨✂❡✗✖❤✘✂☎✂✐✂❥✂✸✂✎✂❦✂✜✂❨✂✪✂❧✂♠✂✒ ✔✬✫ ♥ 3.1 ✯ (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ ✖♦P X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✂♣✂✚✓q✓✍ ✰ ρ = 0 ✫ r X, Y ✎✂❢✂❣✂❲✂❳❖❀✂❨✂❩✂s PX (x) = 1 √ 2πσ1 · exp − (x − µ1) 2 2σ 2 1 , PY (y) = 1 √ 2πσ2 · exp − (y − µ2) 2 2σ 2 2 . t ρ = 0 ♠✬✖ ❂ p(x, y) = pX(x)pY (y). ▼✂✉ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✬✖✙♣✂❨✂✕✓✈✂✇✗✫ 1
若X,Y相互独立,由于p(x,y),px(x),py(y)都是连续函数,故对任意 的(x,y)都有 (x)·p(y)=p(x,y) 特别的取(X,Y)=(1,p2),有 2丌a1022mo1o2V1-p2 由此推出p=0,必要性得证 这里用到了密度函数一个性质:如果p1(x,y),p2(x,y)都是(X,Y)的密 度函数,且它们都在(xo,o)处连续,则必有 P1(xo,3o)=p2(x0,30) 84随机向量函数及其分布 设n维随机向量X=(X1,……,Xn)的联合分布函数为Fx(x1,…,xn) Y1=91(X1 X Y2=g2(X1, Xn) 其中9(x1,…,xn),i=1,……,m都是m元Bore可测函数,现在要求出m 维随机向量Y=(Y1,…,Ym)的联合分布函数F(1,……,m) 一般的解法如下:记C={(x1,…,xn)9(x1,…,xn)≤,i=1,……,}, 则 Fy(1,……,wm)=P(1(X1,…,Xn)≤,…,9m(X1,…,Xn)≤m) P(X1,…,Xn)∈C) 当X有联合密度p(x1,…,xn)时,有 F p(an
Ch3 2 ① X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖③②④❋ p(x, y), pX(x), pY (y) ❁✂✰❘✂❙❖❀✗✖♦⑤✂✼✓✽✓✾ ✎ (x, y) ❁✂❂ pX(x) · pY (y) = p(x, y) ⑥❩✂✎✂⑦ (X, Y ) = (µ1, µ2) ✖ ❂ 1 2πσ1σ2 = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 . ②④⑧✂⑨✵❴ ρ = 0 ✫✙⑩✂✚✂✕✂✈✂✇✬✫ ✛✂✟✂❶✂❷✂☞✂❲✂❳❖❀✂✝✂✜✂✕✓■❑❏✙✺✂✻ p1(x, y), p2(x, y) ❁✂✰ (X, Y ) ✎✂❲ ❳ ❖❀✬✖✙❸✂✸✂✹❁ ☎ (x0, y0) ❹❘✂❙✬✖✙P✂⑩❂ p1(x0, y0) = p2(x0, y0). §4 ❺✂❻✂❼✂❽✂❾✂❿✂➀✂➁✂➂✂➃ ✯ n ➄ ✧❄★❵➅❛✪ X = (X1, · · · , Xn) ✎❄❬❄❭❄❨❄❡❖❀✂s FX (x1, · · · , xn) ✖ ➆ Y1 = g1(X1, · · · , Xn), Y2 = g2(X1, · · · , Xn), · · · Ym = gm(X1, · · · , Xn), ❱✵➇ gi(x1, · · · , xn), i = 1, · · · , m ❁✂✰ n ▲ Borel ▼✂◆✂❖❀✬✖✙✘✂☎✂✚✓➈➉❴ m ➄ ✧✂★✵➅④✪ Y = (Y1, · · · , Ym) ✎✂❬✂❭✂❨✂❡❖❀ FY (y1, · · · , ym) ✫ ✝◗➊◗✎◗➋◗➌◗✺❍ ❏❯➍ C = {(x1, · · · , xn)|gi(x1, · · · , xn) 6 yi , i = 1, · · · , } ✖ P FY (y1, · · · , ym) = P(g1(X1, · · · , Xn) 6 y1, · · · , gm(X1, · · · , Xn) 6 ym) = P((X1, · · · , Xn) ∈ C). t X ❂❬✂❭✂❲✂❳ p(x1, · · · , xn) ♠✬✖ ❂ FY (y1, · · · , ym) = Z · · · Z C p(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn. 2
Ch3 下面给出几个例子 例41设(X,Y)的联合密度为p(x,y),求Z=X+Y的分布 解直接计算Z的分布函数 Fz(2)=P(X+Y≤2) p(a, y)d xdy ar/ P(a, y)dy p(a, u-a)du 这表明Z具有密度函数 Pz(2) p(a, 2-a)dz 由对称性可知n2(2)=/p(2-,y)y 例42设X,Y相互独立,且都服从分布N(,a2),求X+Y的分布 密度函数g(2) 解由上例直接计算可得 √2r2a 这表明X+Y~N(24,2a2) 例43设X,Y相互独立且都服从分布N(0,1),求Z=√X2+Y2的 分布密度 解用极坐标变化 r=rcos e ≥0,0≤6≤26 y=rsin g
Ch3 3 ❍ ✠✂❫✵❴④➎✂✜✂➏✂➐✬✫ ♥ 4.1 ✯ (X, Y ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳✂s p(x, y) ✖✙➈ Z = X + Y ✎✂❨✂❡✬✫ ➑ ➒✂➓✂➔✂→ Z ✎✂❨✂❡❖❀ FZ(z) = P(X + Y 6 z) = ZZ x+y6z p(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ dx Z z−x −∞ p(x, y)dy = Z ∞ −∞ dx Z z −∞ p(x, u − x)du = Z z −∞ du Z ∞ −∞ p(x, u − x)dx ✛✂➣✵↔ Z ↕❂ ❲✂❳❖❀ pZ(z) = Z ∞ −∞ p(x, z − x)dx. ②④✼✂✶✂✕▼✂✉✖ pZ (z) = Z ∞ −∞ p(z − y, y)dy ✫ ♥ 4.2 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖♦❸❁✓➙✓➛❨✓❡ N(µ, σ 2 ) ✖♦➈ X + Y ✎✂❨✂❡ ❲✂❳❖❀ g(z) ✫ ➑ ②④✤✂➏✂➒✂➓✂➔✂→▼ ✈ g(z) = 1 √ 2π √ 2σ · exp − (z − 2µ) 2 4σ 2 . ✛✂➣✵↔ X + Y ∼ N(2µ, 2σ 2 ) ✫ ♥ 4.3 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✂❸❁✂➙✂➛❨✂❡ N(0, 1) ✖➜➈ Z = √ X2 + Y 2 ✎ ❨✂❡✂❲✂❳✬✫ ➑ ❶✂➝✂➞✂➟✂✩✂➠ ( x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, 0 6 θ 6 2θ. 3
Ch3 Fz(2)=P(√x2+Y2≤2) 1 +y2)dcdy dr 因此 0. 其它 这个分布称为 Rayleigh分布。 上面的都是2→1的情形,下面要讨论n→n的情形,以n=2为例 设(X,Y)有联合密度p(x,y),且区域A(可以使全平面)满足P(X,Y)∈ A)=1;对变换(△) u=f(a, y), 当(x,y)∈A时,(u,v)的值域为G,且(△)满足 (1)A→G是一一对应的; (2)f,g在A中有连续偏导数; 在A中处处不为0; 则U(=f(X,Y),V(=9(X,Y)具有联合密度函数: (un,v)∈G; qu, u) p(a(u, u),y(u, u)) 其它 其中,x(u,v),y(u,)是由(△)决定的反函数,而 为相应的雅可比行 列式 例44设X,Y相互独立,且都服从N(0,1),(R,)是平面上随机点 (X,Y)相应的极径、极角,即有 X=Rcos e R≥0,0≤日≤2 Y=Rsin e
Ch3 4 FZ(z) = P( √ X2 + Y 2 6 z) = ZZ √ X2+Y 26z 1 2π · exp − 1 2 (x 2 + y 2 ) dxdy. = Z 2π 0 Z z 0 1 2π e − r 2 2 rdr = Z z 0 re − r 2 2 dr ➡⑧✬✖ pZ(z) = ( ze − z 2 2 , z > 0; 0, ❱✂✸. ✛✂✜✂❨✂❡✂✶✂s Rayleigh ❨✂❡✬✫ ✤❄✠❄✎❁❄✰ 2 → 1 ✎❄➢❄➤✬✖ ❍ ✠✂✚✂✡✂☛ n → n ✎❄➢❄➤✬✖➦➥ n = 2 s❄➏✬✫ ✯ (X, Y ) ❂❬◗❭◗❲◗❳ p(x, y) ✖❯❸❑➧➩➨ A ➫➭▼➥◗➯◗➲◗➳◗✠✵➵➺➸❄➻ P((X, Y ) ∈ A) = 1 ➼ ✼✂✩✂➽ (∆) ➼ ( u = f(x, y), v = g(x, y), t (x, y) ∈ A ♠✬✖ (u, v) ✎✂➾✂➨✂s G ✖✙❸ (∆) ➸✂➻✗❏ (1) A (∆) −→ G ✰ ✝✂✝✂✼✂➚✂✎ ➼ (2) f, g ☎ A ➇❂❘✂❙✂➪✂➶✂❀➼ (3) ∂(u, v) ∂(x, y) ☎ A ➇❹✂❹✂➹s 0 ➼ P U(= f(X, Y )), V (= g(X, Y )) ↕❂❬✂❭✂❲✂❳❖❀✗❏ q(u, v) = p(x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) , (u, v) ∈ G; 0, ❱✂✸. ❱❵➇➘✖ x(u, v), y(u, v) ✰ ② (∆) ➴❄➷✎❄➬❖❀✗✖ ➆ ∂(u, v) ∂(x, y) s❄✏❄➚❄✎❄➮▼✵➱④✃ ❐❈✬✫ ♥ 4.4 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖❒❸❁❮➙✓➛ N(0, 1) ✖ (R, Θ) ✰➳✂✠✂✤✂✧✓★✓❰ (X, Y ) ✏✂➚✂✎✂➝✂Ï✬Ð✙➝✂Ñ✗✖➜Ò❂ ( X = R cos Θ, Y = R sin Θ, R > 0, 0 6 Θ 6 2π. 4
求(R,O)的联合密度。 解(X,Y)到(R,O)的变换(△)为 R=√X2+Y2, e= arctan 相应的雅可比行列式 0(u,v)1 d(a, y) 0(u,v) 于是,(R,)的联合密度函数为 d(a, y) 0(u,v) >0,0<6 还可以看出,R和是相互独立的,R服从 Rayleigh分布,而6服从(0,2丌) 上的均匀分布。 这个例子的结果还可以用来产生独立的两个正态随机数,具体方法如 下:先产生两个相互独立的(0,1)的均匀分布的随机数U1,U2,然后取 X=(2InU1)2 cos 2TU Y=(-2InU12 sin 2 则X,Y是相互独立的N(0,1)随机数。 接下来高维正态分布的线性函数的分布 定理设X~N(μ,∑),B是任一n阶非退化矩阵,则 Y=BX~N(B1,B∑B) 证明直接计算Y的分布函数可得 再给出一个关于高维正态分布的边缘分布函数的定理 定理设X~N(μ,∑),若 ∑10
Ch3 5 ➈ (R, Θ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳✬✫ ➑ (X, Y ) ❷ (R, Θ) ✎✂✩✂➽ (∆) s R = √ X2 + Y 2 , Θ = arctan Y X , ✏✂➚✂✎✂➮▼✵➱④✃❐❈ ∂(u, v) ∂(x, y) = 1 r . ∂(x, y) ∂(u, v) = r. ❋✰ ✖ (R, Θ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳❖❀✂s q(r, θ) = 1 2π · e − 1 2 (x 2+y 2 ) ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2π · e − 1 2 r 2 · r, r > 0, 0 < θ < 2π. Ó ▼ ➥◗❥❑❴➘✖ R Ô Θ ✰ ✏◗✑◗✒◗✔❄✎✬✖ R ➙◗➛ Rayleigh ❨◗❡Õ✖ ➆ Θ ➙◗➛ (0, 2π) ✤✂✎✂Ö✂×✂❨✂❡✬✫ ✛❮✜❮➏❮➐❮✎❮Ø❮✻Ó ▼ ➥Õ❶Õ✐❮ÙÕÚÕ✒❮✔Õ✎Õ❦Õ✜❮❝Õ❞Õ✧❮★Õ❀❵✖ ↕ÕÛÕÜ➌Õ✺ ❍ ❏✷Ý✂Ù✂Ú✂❦✂✜✂✏✓✑✓✒✂✔✓✎ (0, 1) ✎✂Ö✂×✂❨✂❡✂✎✂✧✂★✂❀ U1, U2 ✖✙Þ✂ß✂⑦ X = (−2lnU1) 1 2 cos 2πU2, Y = (−2lnU1) 1 2 sin 2πU2, P X, Y ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎ N(0, 1) ✧✂★✂❀✬✫ ➓ ❍ ✐✂à➄ ❝✂❞✂❨✂❡✂✎✂á✓✕❖❀✓✎✂❨✓❡✗✫ ✭✂â ✯ X ∼ N(µ, Σ) ✖ B ✰ ✽✂✝ n ã✂ä✂å➠✂æ✵ç➘✖✙P Y = BX ∼ N(Bµ, BΣB 0 ). ✇✵↔④➒✂➓✂➔✂→ Y ✎✂❨✂❡❖❀ ▼ ✈✬✫ è✂❫✵❴④✝✂✜✂●✂❋✂à➄ ❝✂❞✓❨✂❡✓✎✓❢✂❣✓❨✂❡❖❀✂✎➷✓é✫ ✭✂â ✯ X ∼ N(µ, Σ) ✖ ① Σ = Σ1 0 0 Σ2 ! , 5
Ch3 其中,∑1是m阶方阵,∑2是n-m阶方阵,而X1,X2,p1,p2是相应的列 向量 由上面的两个定理就可以退出一般情形的高维正态分布的边缘分布了。 定理设X~N(μ,∑),对∑进行分块 x1~N(1,∑1),X2~N(p2,∑2) 其中,∑1是m阶方阵,∑2是m-m阶方阵,而X1,X2,p1,/2是相应的列 向量。利用矩阵的变换就可以证明 对于n个独立同分布的服从N(0,1)的随机变量,它们的平方和服从的 分布在统计里面应用很广。下面来计算这个分布 设X1,…,Xn相互独立且同分布,服从N(0,1),求Y=X2+…+X2 的分布密度函数。 解记D={(x1.…,xn)+…+m2≤y},则 P(Y≤y)=P(X2+……X2≤y) r2 +ar d 进行n维球坐标变换 C=r COS U1, 2=rsin 0, cos 02 n-1=rsin g, sin 82.sin 0n-2 cos 0n-1 n= rsin @1 sin B2. sin 0n_2 sin 0n_ 其中,r>0,0≤61,02,…,n-2<丌,0≤n-1<2丌。于是上面的积分区域 就化为 D={(r,61,…,6n-1)10<r≤v5,0≤61,6,…,6n-2<丌,0≤6n-1<2x
Ch3 6 P X1 ∼ N(µ1, Σ1), X2 ∼ N(µ2, Σ2). ❱✵➇➘✖ Σ1 ✰ m ã✂Üç➘✖ Σ2 ✰ n − m ã✂Üç➘✖ ➆ X1, X2, µ1, µ2 ✰ ✏✂➚✂✎❐ ➅④✪✬✫ ②❛✤❄✠❄✎❄❦❄✜➷✂é✂ê✂▼➥å ❴④✝✂➊✂➢✂➤✂✎✂à➄ ❝✂❞✂❨✂❡✂✎✂❢✂❣✂❨✂❡✂☞✗✫ ✭✂â ✯ X ∼ N(µ, Σ) ✖✙✼ Σ ✥ ✃ ❨✂ë Σ = Σ11 Σ12 Σ21 Σ22 ! , P X1 ∼ N(µ1, Σ1), X2 ∼ N(µ2, Σ2). ❱✵➇➘✖ Σ1 ✰ m ã✂Üç➘✖ Σ2 ✰ n − m ã✂Üç➘✖ ➆ X1, X2, µ1, µ2 ✰ ✏✂➚✂✎❐ ➅④✪✬✫✙ì✂❶✂æ✵ç④✎✓✩✓➽ê✓▼➥✓✇➉↔í✫ ✼❄❋ n ✜❄✒❄✔❵î❛❨✓❡✂✎➙✓➛ N(0, 1) ✎❄✧❄★❄✩❄✪✬✖✙✸✂✹✓✎✂➳Ü✓Ô➙✓➛✎ ❨✂❡✂☎✂ï✂➔✂✟✂✠✂➚✂❶✂ð✓ñ✗✫ ❍ ✠✓✐✂➔✓→✂✛✓✜✓❨✂❡✗✫ ✯ X1, · · · , Xn ✏❄✑❄✒❄✔❄❸❵î④❨✂❡✗✖ ➙✂➛ N(0, 1) ✖ò➈ Y = X2 1 + · · ·+ X2 n ✎✂❨✂❡✂❲✂❳❖❀✬✫ ➑ ➍ Dy = {(x1. · · · , xn)|x 2 1 + · · · + x 2 n 6 y} ✖✙P P(Y 6 y) = P(X2 1 + · · · X2 n 6 y) = Z · · · Z Dy 1 ( √ 2π) n · exp − x 2 1 + · · · + x 2 n 2 dx1 · · · dxn ✥ ✃ n ➄✂ó➞✂➟✂✩✂➽ x1 = r cos θ1, x2 = r sin θ1 cos θ2, · · · xn−1 = r sin θ1 sin θ2 · · ·sin θn−2 cos θn−1, xn = r sin θ1 sin θ2 · · ·sin θn−2 sin θn−1, ❱✵➇í✖ r > 0, 0 6 θ1, θ2, · · · , θn−2 < π, 0 6 θn−1 < 2π ✫ô❋✰ ✤✂✠✂✎✓õ✓❨➉➧ö➨ ê ➠✂s D ∗ y = {(r, θ1, · · · , θn−1)|0 < r 6 √ y, 0 6 θ1, θ2, · · · , θn−2 < π, 0 6 θn−1 < 2π}. 6
于是上面的积分式变为 P(Y≤ n-lf(1,…,On-1)drd61…d ∫s-e-ds 于是,Y有密度函数 其中c为归一化常数,比较以上密度与T()的密度函数,可知Y I(盘,) 上面得到的分布称为自由度为n的卡方分布,记作x2(n) 然后,给出一个有关卡方分布的定理 定理设X1,……,Xn独立同分布N(0,1),则 (1)X=-(X1+……+Xn)~N(0.,1) (3)与∑(X1-x)2相互独立 85顺序统计量 定义设X1,……,Xn独立同分布F(),对每个心∈,将X1(u),…,Xn(u) 从小到大排序 X ≤X (u), 这样我们得到n个新的随机变量X((u),……,X(m){u),称它们为X1,…,Xn 的顺序统计量 接下来的问题就是,顺序统计量的分布是什么。对于X(,X(n),分布比 较容易求。利用 X lin X X
Ch3 7 ❋✰ ✤✂✠✂✎✂õ✂❨✂❈✂✩✂s P(Y 6 y) = Z · · · Z D∗ y 1 ( √ 2π) n · e − r 2 2 r n−1 f(θ1, · · · , θn−1)drdθ1 · · · dθn−1 = c · Z √y 0 r n−1 e − r 2 2 dr = c · R y 0 s n 2 −1 e − s 2 ds. ❋✰ ✖ Y ❂ ❲✂❳❖❀ pY (y) = cy n 2 −1 e − y 2 , ❱÷➇ c sÕøÕ✝Õ➠ÕùÕ❀❵✫ ➱ûú➥✬✤Õ❲✬❳✬ü Γ(n 2 , 1 2 ) ✎Õ❲Õ❳❖ ❀❵✖ ▼Õ✉ Y ∼ Γ(n 2 , 1 2 ) ✫ ✤✂✠✂✈✂❷✂✎✂❨✂❡✂✶✂sþý④②ö❳✂s n ✎✂ÿÜ ❨✂❡✬✖✙➍✁ χ 2 (n) ✫ Þ✂ß✬✖✙❫✵❴④✝✂✜❂●✓ÿÜ ❨✓❡✂✎➷✂é✫ ✭✂â ✯ X1, · · · , Xn ✒✂✔✵î④❨✂❡ N(0, 1) ✖✙P (1) X¯ = 1 n (X1 + · · · + Xn) ∼ N(0, 1); (2) Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ∼ χ 2 (n − 1); (3) X¯ ü Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ✏✂✑✂✒✂✔✬✫ §5 ✂✁✄✁☎✁✆✂❽ ✭◗✮ ✯ X1, · · · , Xn ✒◗✔❑î➩❨◗❡ F(·) ✖❯✼✞✝◗✜ ω ∈ Ω ✖✠✟ X1(ω), · · · , Xn(ω) ➛✁✡❷✁☛✁☞✁✌✗❏ X(1)(ω) 6 X(2)(ω) 6 · · · X(n)(ω), ✛✞✍✞✎◗✹◗✈◗❷ n ✜✞✏◗✎◗✧◗★◗✩❄✪ X(1)(ω), · · · , X(n)(ω) ✖ ✶◗✸◗✹◗s X1, · · · , Xn ✎✁✑✁✌✂ï✂➔✂✪✬✫ ➓ ❍ ✐❄✎✓✒✕✔ê✰ ✖✖✑✁✌✂ï✓➔✂✪✂✎✓❨✂❡✰✘✗✁✙ ✫❇✼✂❋ X(1), X(n) ✖❅❨❄❡➱ ú✁✚✁✛➈✬✫✙ì✂❶ X(1) = min X1, · · · , Xn, 7
maxAm 可知 Fxo(x)=P(X(n)≤x) P(X1≤x,……,Xn≤x) F(n 类似我可求出X(1)我分布函数 对于每般我k,也可以跟上面我类似我计算分布函数,只是分析复杂 每些,可求得 Fx(x)=∑Cm(F(x)(1-F(x)y-1,k=1,2…,n 用分步积分公式可以验证下面我恒等式: ∑ni=kCp(1-p)-1 k-1)!(n-k)! 1-1(1-t)n-dt, 因此,X()我分布函数可以改写为 F(r Fx、(x)= (k-1)!(n-k)! 当F(x)有密度函数p(x)时,Fx()也有新应我密度函数 4(x)“-1)(n-)(F(x)4-1(1-F()=k,(x) 然后再看X(1),…,X(n)我联合分布。当F(x)有密度函数p(x)时,用 微元密度法可以求得Xa),…,X(我联合密度为 其它
Ch3 8 X(n) = max X1, · · · , Xn, ▼✂✉ FX(n) (x) = P(X(n) 6 x) = P(X1 6 x, · · · , Xn 6 x) = [F(x)]n . ✜✁✢✎▼ ➈✵❴ X(1) ✎✂❨✂❡❖❀✬✫ ✼✂❋✂✝✂➊✂✎ k ✖ ❆ ▼ ➥✁✣✂✤✂✠✂✎✜✘✢✎✓➔✓→✓❨✓❡❖❀❑✖✥✤✰ ❨✘✦✓✚✁✧✘★ ✝✁✩✬✖ ▼ ➈✂✈ FX(k) (x) = X N i=k C i n (F(x))i (1 − F(x))n−i , k = 1, 2, · · · , n. ❶✂❨✂✦✂õ✂❨✁✪✂❈▼ ➥✁✫✓✇ ❍ ✠✓✎✁✬✓❉✓❈❑❏ Xni = kC n i p i (1 − p) n−i = n! (k − 1)!(n − k)! Z p 0 t k−1 (1 − t) n−k dt, ➡⑧✬✖ X(k) ✎✂❨✂❡❖❀ ▼ ➥✁✭✁✮✂s FX(k) (x) = n! (k − 1)!(n − k)! Z F(x) 0 t k−1 (1 − t) n−k dt. t F(x) ❂ ❲✂❳❖❀ p(x) ♠✬✖ FX(k) ❆ ❂ ✏✂➚✂✎✂❲✂❳❖❀✗❏ p(k)(x) = n! (k − 1)!(n − k)!(F(x))k−1 (1 − F(x))n−k · p(x). Þ✂ß✂è✂❥ X(1), · · · , X(n) ✎✂❬✂❭✂❨✂❡✗✫♦t F(x) ❂ ❲✂❳❖❀ p(x) ♠✗✖♦❶ ✯✂▲✂❲✂❳✂➌▼ ➥✂➈✂✈ X(1), · · · , X(n) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳✂s g(x1, · · · , xn) = ( n!p(x1)· · · p(xn), x1 < · · · < xn; 0, ❱✂✸. 8