第九章向量与空间解析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节向量的点积与叉积 第三节平面与直线 第四节曲面与空间曲线 *第五节矢量函数的微积分 司冈凶
第九章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 第四节 曲面与空间曲线 *第五节 矢量函数的微积分
第一节空间直角坐标系与向量的概念 、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示 司冈凶
第一节 空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示
、空间直角坐标系 空间直角坐标系:过空间一个定点O,作三 条相互垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具 有相同单位长度,这三条数轴分别叫做x轴(横 轴)、y轴(纵轴)和轴(竖轴).一般是将x轴 和轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面; 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴,此时大拇指 的方向即为轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系,O称为坐标原点 冈
空间直角坐标系:过空间一个定点 O，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然 后 让四指沿握拳方向旋转 90 指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系 ，O称为坐标原点. 一、空间直角坐标系
yO平面 zOx平面 xOy平面 坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平 面称为坐标平面,简称坐标面.即xOy坐标面、yO坐标 面和zOx坐标面 司冈凶
坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平 面称为坐标平面,简称坐标面.即xOy坐标面、yOz坐 标 面 和zOx坐标面. O z x y zOx平面 yOz平面 xOy 平面
卦限:在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个 部分,每一个部分称为一个卦限在xOy坐标面上方有四 个卦限,下方有四个卦限.含x轴,y轴和z轴正向的卦限 称为第I卦限,然后逆着轴z正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第V,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限 □冈四
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个 部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy坐标面上方有四 个卦限,下方有四个卦限.含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限. O x y Ⅳ Ⅰ Ⅴ Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅲ Ⅱ z
点的坐标:设P为空间的任意一点,过点P作垂直 于坐标面xOy的直线得垂足P,过P分别与x轴,y轴垂 直且相交的直线,过P作与轴垂直且相交的直线,依次 得x,y,z轴上的三个垂足M,N,R.设x,y,2分别是 M,N,R点在数轴上的坐标.这样空间内任一点P就确 定了惟一的一组有序的数组xy2,用(x,y2)表示 反之,任给出一组有序 R 数组x,y和z,也能确定了 P(x,1z 空间内惟一的一个点P,而 N xy和z恰恰是点P的坐 标
点的坐标：设P 为空间的任意一点,过点 P 作垂直 于坐标面xOy的直线得垂足 P,过 P分别与x轴,y轴垂 直且相交的直线,过 P 作与z轴垂直且相交的直线,依次 得 x y z , , 轴 上 的 三 个 垂 足 M ,N,R. 设 x y z , , 分别是 M ,N,R点在数轴上的坐标.这样空间内任一点 P 就确 定了惟一的一组有序的数组 x y z , , ,用 ( , , ) x y z 表示. 反 之,任给出一组有序 数 组x y, 和 z ,也能确定了 空间内惟一的一个点 P ,而 x y, 和 z 恰恰是点 P 的 坐 标. z x O y N M P(x, y,z) P' y R z x
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数 (x,y,z)之间的一一对应关系有序数组(x,y,=)称为点 P的坐标,x,y,z分别称为x坐标,y坐标和坐标 二、向量的基本概念及线性运算 向量的基本概念 向量:既有大小又有方向的量称为向量(或矢量) 向量一般用黑体小写字母表 示,如a,b,c等.有时也用a,b,c等 表示向量.几何上,也常用有向线 段来表示向量,起点为M,终点为 N的向量记为M M 司冈凶
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数 （x,y ,z）之间的一一对应关系.有序数组( , , ) x y z 称为点 P的坐标,x,y ,z 分别称为x坐标, y 坐标和z坐标. 1.向量的基本概念 向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）. 向量一般用黑体小写字母表 示,如a,b,c等.有时也用a b c , , 等 表示向量.几何上,也常用有向线 段来表示向量,起点为M ,终点为 N 的向量记为 MN . N M 二、向量的基本概念及线性运算
向量的模:向量的大小称为向量的模.用|a b,|c,或AB表示向量的模 单位向量:模为1的向量称为单位向量 零向量:模为0的向量称为零向量,记为0.规定 零向量的方向为任意方向 定义1如果向量a和b的大小相等且方向相同, 则称向量a与b相等,记为a=b 2.向量的线性运算 (1)加法(平行四边形法则)将向量a与b的 起点放在一起,并以a和b为邻边作平行四边形,则 从起点到对角顶点的向量称为向量a和b的和向 量,记为a+b □冈四
向量的模：向量的大小称为向量的模.用 | a | ， | b |，| c |，或 AB 表示向量的模. 单位向量：模为1的向量称为单位向量. 零向量：模为0的向量称为零向量,记为0.规定 零向量的方向为任意方向. 定义1 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同, 则称向量 a 与 b相等，记为 a b = . 2. 向量的线性运算 (1) 加法（平行四边形法则） 将向量 a 与 b 的 起点放在一起,并以 a 和 b 为邻边作平行四边形,则 从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向 量,记为 a +b
b a+ b a+b b 向量加法的三角形法则:把b的起点放到向量a 的终点上,把自a的起点的到向量b的终点的向量为 a+b 向量加法运算规律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (2)向量与数的乘法 定义2设A为一实数,向量a与数的乘积是 个向量,记为^a,并且规定:(1)a=a;(2)当λ>0 时,a与a同向;当<0时,a与a反向;(3)当A=0 时,a=0(零向量) □冈四
向量加法的三角形法则：把 b 的起点放到向量 a 的终点上,把 自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为 a b + . 向量加法运算规律： 交换律：a + b = b + a； 结合律：(a + b) + c = a + (b + c). （2）向量与数的乘法 定 义2 设 为一实数,向量 a与 数 的乘积是一 个向量,记为 a,并且规定：(1)| a |=| || a |；(2)当 0 时 , a与a同向；当 0时, a与 a反向；(3)当 =0 时,a = 0（零向量）. a a + b b a a +b b
向量与数的乘法运算规律: 结合律:(a)=()=(λa); 分配律:(+)a=a+ua,(a+b)=a+b 交换律:a=a入 同向的单位向量:设a是一个非零向量,则向量 a=“为与向量a同向的单位向量 定义34=-1时,记(-1)a=-a,则-a与a的方向 相反,模相等,称-a为a的负向量(也称其为a的逆 向量) 向量的减法: 向量a的b的差规定为a-b=a+(-b) 司冈凶
向量与数的乘法运算规律： 结合律：(a) = ()a = (a) ; 分配律：( + )a =a + a,(a + b) = a + b; 交换律：a = a. 同向的单位向量：设 a 是一个非零向量,则向量 | | = a a a 为与向量 a同向的单位向量. 定义 3 =-1 时,记(−1)a = −a,则 −a与 a的方向 相反,模相等,称 −a为 a的负向量（也称其为 a的逆 向量）. 向量的减法： 向量 a的 b的差规定为 a − b = a + (−b)