第一章古典概型与概率测度的公理化 81古典概型 随机事件和概率 随机事件是在试验中可能岀现乜可能不出现的结局,而概率就是用数量 来刻划随机事件发生的可能性的大小。事件A发生的概率记为P(A),习惯 上有0≤P(A)≤1。对于空集,P(0)=0. 基本事件,是不能再细分的事件。事件可以表示为某些基本事件组成的 集合。例如,投骰子,A1={出现訃},=1,2,3,4,5,6就是基本事件 样本,就是一次观察试验可能出现的结果。样本空间,为所有样本点全 体所组成的集合,记为9。显然的我们有P(92)=1。以下我们将随机事件定 义为样本点的某个集合,事件的运算就是集合的运算 对于概率P,应该满足以下几个条件 (1)P(A+B)=P(A)+P(B); (2)P(A)=1-P(A); (3)A∈B→P(A)≤P(B) 2.古典概型 最简单的样本空间是元素有限的集合。而对每一个基本事件,最简单的 情形就是它们发生的概率都相等。于是,我们得到了古典概型的数学描述 2)P(uk)=1/m,k=1,2 古典概型是离散样本空间的最常见的概率模型。 例1.1投掷一枚均匀的硬币,事件A={国徽朝上},求P(A) 解该试验的结果有两个:国徽朝上和国徽朝下,它们是等可能的。于 是, P(A)=1/2 例1.2检验100件产品,其中有5件是次品。任取50件,求其中恰有
Ch1 1 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✝✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✎✍✂✏ §1 ☎✂✆✂✝✂✞ 1 . ✑✂✒✂✓✂✔✂✕✝✂✠ ✖✘✗✘✙✘✚✘✛✘✜✘✢✂✣✥✤✧✦✂★✥✩✫✪✂✬✂✦✂★✂✭✥✩✧✪✂✮✂✯✂✰✲✱✴✳✂✵✂✶✂✷✂✛✂✸✂✹✂✺ ✻✂✼✂✽✂✖✂✗✂✙✂✚✂✾✎✿✂✮✎✦✎★✎❀✂✮✎❁✎❂✲❃❄✙✎✚ A ✾✂✿✂✮✂✵✂✶✂❅✂❆ P(A) ✱❈❇✧❉ ❊✂❋ 06 P(A) 6 1 ❃❍●✂■✂❏✂❑▲✱ P(∅)=0. ▼✂◆✂✙✂✚▲✱❖✛✂✭✂★✂P✂◗✂❘✂✮✎✙✂✚✲❃❍✙✎✚✂✦✎❙✂❚✎❯✂❆✎❱✂❲✎▼✂◆✎✙✂✚✎❳✂❨✎✮ ❑✂❩▲❃❍❬✂❭▲✱❍❪✎❫✎❴✲✱ Ai={✩✧✪ i} ✱ i =1 ✱ 2 ✱ 3 ✱ 4 ✱ 5 ✱ 6 ✷✂✛✂▼✂◆✂✙✂✚▲❃ ❵◆✲✱❄✷✂✛✂❛✂❜✂❝✎❞✂✢✎✣✎✦✎★❡✩❢✪✎✮✂✯✎❣❤❃ ❵◆✎❏❡✐❥✱❦❆✎❧❋✎❵◆✂♠✎♥ ♦✘❧✘❳✘❨✘✮✂❑✎❩✲✱♣❅✂❆ Ω ❃rq✘s✘✮✘t✂✉❋ P(Ω) = 1 ❃r❙✘✈✘t✘✉✘✇✎✖✂✗✎✙✂✚✂① ②❆❵◆✂♠✂✮✂❱✂③✂❑✂❩✲✱④✙✎✚✎✮✎⑤✂⑥✎✷✂✛✎❑✎❩✂✮✎⑤✎⑥✲❃ ●✂■✂✵✂✶ P ✱❍⑦✂⑧✂⑨✂⑩✂❙✂✈✂❶✂③✎❷✂✚❤❸ (1)P(A + B) = P(A) + P(B) ; (2)P(Ac ) = 1 − P(A); (3)A ⊆ B =⇒ P(A) 6 P(B); 2 . ☎✂✆✂✝✂✞ ❹✂❺✂❻✮❵◆✂❏✥✐✧✛✂❼✂❽❋✂❾✮✎❑✂❩✲❃❍✳✎●✂❿✎❛✂③✎▼✂◆✎✙✂✚✲✱ ❹✎❺✂❻✮ ➀✂➁✂✷✂✛✂➂✂✉✂✾✂✿✂✮✂✵✎✶✎➃✂➄✎➅✲❃④■✎✛✲✱④t✎✉✎➆✂➇✎➈✂➉✎➊✎✵✂➋✎✮✂✹✎➌✎➍✂➎❤❸ (1)Ω = {ω1, ω2, · · · , ωn}; (2)P(ωk) = 1/n, k = 1, 2, · · · , n; ➉✂➊✂✵✂➋✂✛✂➏✂➐❵◆✂❏✥✐❢✮❹✎➑✎➒✮✎✵✂✶✎➓✎➋✲❃ ➔ 1.1 ❪✂→✂❛✂➣✂↔✂↕✂✮✂➙✂➛▲✱④✙✎✚ A = { ➜✧➝✂➞❊ } ✱❍➟ P(A) ❃ ➠ ⑧✎✢✎✣✎✮✎✯✎❣❋➢➡③✥❸ ➜➤➝➥➞❊➥➦ ➜➤➝➥➞✈➧✱➨➂➥✉➥✛➥➅➢✦➥★➥✮➧❃➨■ ✛▲✱ P(A) = 1/2. ➔ 1.2 ➩ ✣ 100 ✚✂➫✂➭✲✱❦➯✥✤❋ 5 ✚✂✛✂❜✂➭✲❃❦➲✂➳ 50 ✚✲✱❦➟✂➯✥✤✧➵❋ 1
两件是次品的概率。 解从中取出50件共有C10种方法,其中恰有2件次品的取法共有 CC种,于是,取出50件恰有两件是次品的概率为 8 例13(生日问题)一个班上有n个学生,A={至少有两个人生日相 同},求事件A发生的概率。 解直接求A发生的概率并不容易,所以我们先考虑A的补集A°发生 的概率 P(A)=1-P(A)=1 当n=40,45,50,55时,以上概率分别等于0.89,0.94,0.97,0.99。这一结 果与直观的印象并不相符。 古典概型中有一类问题,就是摸球问题。简单的说,就是一个容器中有 a个红球,b个黑球,每次从容器中摸出一个球,求n次中恰好有k个红球 的概率pk。 对此,应该分为两种情况:有放回和无放回。 有放回时,每次的情况都相同,n次中有k次摸到红球,n-k次摸到 黑球。于是有 (a+bna+b a+b 无放回时,a个红球中取出k个,b个黑球中取出n-k个,于是 pk 上面的例1.2就属于无放回的摸球问题 §2几何概型 古典概型利用等概率,成功的计算了样本空间为有限的一些问题。但是 当样本空间为无限时,古典概型就不能解决了。于是,我们引进几何概型 作为古典概型在无限情形的推广
Ch1 2 ➡✚✂✛✂❜✂➭✂✮✂✵✂✶▲❃ ➠➺➸ ✤➤➳➻✩ 50 ✚➥➼❋ C 50 100 ➽➥➾➥➚✱❢➯➻✤➤➵❋ 2 ✚➥❜➥➭➥✮➥➳ ➚➼❋ C 48 95C 2 5 ➽ ✱❍■✂✛▲✱❍➳✥✩ 50 ✚✂➵❋✂➡✚✂✛✂❜✂➭✂✮✂✵✂✶✎❆ C 50 100 C48 95C2 5 = 8 25 . ➔ 1.3 ➪ ✿➹➶✧➘✧➴➻➷❖❛✎③✎➬❊✎❋ n ③✂➌✂✿✲✱ A = { ➮✂➱❋✂➡③✂✃✂✿❐➶❈➄ ❒ } ✱❍➟✂✙✂✚ A ✾✂✿✂✮✂✵✂✶▲❃ ➠❰❮✂Ï➟ A ✾✂✿✂✮✂✵✂✶✂Ð✂✭✂Ñ✎Ò❤✱❄❧✎❙✎t✎✉✎Ó✂Ô✎Õ A ✮✂Ö✂❑ Ac ✾✂✿ ✮✂✵✂✶▲❃ P(A) = 1 − P(A c ) = 1 − An 365 365n . × n=40 ✱ 45 ✱ 50 ✱ 55 Ø ✱❦❙❊✵✂✶✂❘✎Ù✎➅✎■ 0.89 ✱ 0.94 ✱ 0.97 ✱ 0.99 ❃❦Ú✂❛✂✯ ❣✂Û❮❝✂✮✂Ü✂Ý✂Ð✂✭✂➄✎Þ✲❃ ➉✂➊✂✵✂➋✥✤❋❛✂ß❡➘❢➴✲✱❦✷✎✛✎à✎á❡➘✧➴❤❃ ❺✎❻✮✎â❤✱❄✷✎✛✎❛✎③✎Ñ✎ã✥✤❋ a ③✂ä✂á✲✱ b ③✂å✂á✲✱❦❿✂❜➸Ñ✎ã❡✤❢à❡✩❢❛✎③✎á❤✱❦➟ n ❜✥✤✧➵✂æ❋ k ③✂ä✂á ✮✂✵✂✶ pk ❃ ●✂ç▲✱❍⑦✂⑧✂❘✂❆➡ ➽ ➀✂è❤❸ ❋✎é❡ê❢➦✂ë✎é❡ê ❃ ❋✂é✥êØ ✱ì❿✂❜➥✮✎➀✎è➥➃✎➄ ❒ ✱ n ❜✥✤❋ k ❜✂à✂➇✂ä✂á✲✱ n − k ❜✂à✂➇ å✂á▲❃❍■✂✛❋ pk = C k n a k b n−k (a + b) n = C k n a a + b k b a + b n−k . ë✂é✥êØ ✱ a ③✂ä✂á✥✤✧➳✥✩ k ③▲✱ b ③✂å✂á✥✤✧➳✥✩ n − k ③▲✱❍■✂✛ pk = C k aC n−k b C n a+b . ❊✂í✮✂❬ 1.2 ✷✂î✂■ë✂é✥ê✮✂à✂á✥➘✧➴✲❃ §2 ï✂ð✝✂✞ ➉✂➊✂✵✂➋✂ñ✂✸✂➅✂✵✂✶▲✱❖❨✂ò✎✮✂ó✎⑥✂➈❵◆✎❏✥✐❢❆❋✎❾✮✎❛✂❲❡➘✧➴✲❃❍ô✎✛ ×✎❵◆✎❏❡✐❢❆ë➥❾Ø ✱õ➉➥➊➥✵➥➋➥✷➥✭➥★➥ö➥÷➥➈➧❃õ■➥✛➧✱õt➥✉➥ø➥ù➥❶➥ú➥✵➥➋➧✱ û✂❆✂➉✂➊✂✵✂➋✂✜ë✂❾➀✎➁✎✮✂ü✎ý✲❃ 2
先看下面的一个例子 例21(约会问题)两人相约某天5点至6点在某地会面,先到者等候 另一人20分钟,过时就离去。求这两个人能会面的概率 解以x,y分别表示两人到达的时刻,则会面的充要条件是x-y≤20 G={(x,y)0≤x≤60,0≤y≤60}, g={(x,y)x-y≤20,(x,y)∈G} 参见图1-1,可知两人能会面的概率为 (4)、Sg)602-4025 图1.1 在这里,我们实际上假定了两人到达的时间在5点至6点之间的机会 均等,而且互不影响。对于一般的情形,我们都可以用图形表示出,若全体 试验结果的图形表示为G,且任何两点的机会均等,而有利于事件A的试验 结果的图形表示为9,则事件A发生的概率为 S(g P(A)=S(G) 这里的S()可以表示图形的面积,也可以表示长度,体积等 下面再给出一个例子 例22( Buffon问题)平面上划着一些平行线,它们之间的距离都等 于a,向此平面上任意的投掷一长度为≤a)的针,求此针与某一平行线 相交的概率
Ch1 3 Ó✂þ✂✈í✮✂❛✂③✂❬✂❴▲❃ ➔ 2.1 ➪ ÿ✁➘✫➴➻➷ ➡✃✂➄ÿ❱✄✂ 5 ♠➮ 6 ♠✘✜✘❱✆☎✁✎í✱❍Ó✂➇✞✝✎➅✞✟ ✠❛✂✃ 20 ❘✞✡▲✱☞☛Ø ✷✂➏✞✌✲❃④➟✎Ú➡③✎✃✎★✁✎í✮✎✵✎✶✲❃ ➠ ❙ x ✱ y ❘✘Ù✘❚✘❯➡✃✘➇✆✍✘✮Ø ✼▲✱✏✎✁✘í✮✞✑✆✒✂❷✂✚✘✛ |x−y| 6 20 ❃ ❅ G = {(x, y)|0 6 x 6 60, 0 6 y 6 60}, g = {(x, y)||x − y| 6 20,(x, y) ∈ G}. ✓➒✕✔ 1-1 ✱❍✦✞✖➡✃✂★✁✂í✮✂✵✂✶✎❆ P(A) = S(g) S(G) = 602 − 402 602 = 5 9 . y 60 20 g 20 60 x ✔ 1.1 ✜✎Ú✄✗✲✱ t✎✉✄✘✄✙❊✛✚①✎➈ ➡✃✎➇✛✍➥✮Ø ✐➤✜ 5 ♠➮ 6 ♠✄✜❡✐❢✮✎✗✁ ↔✂➅✲✱ ✳✞✢✞✣✎✭✄✤✄✥❤❃ ●➥■✎❛✄✦✎✮✎➀✎➁❤✱ t➥✉✎➃✎✦✎❙✎✸ ✔➁➥❚✎❯❡✩ ✱★✧✎♥✎♦ ✢✘✣✘✯✘❣✘✮ ✔➁✂❚✂❯✂❆ G ✱✩✢✘➲✘ú➡♠✘✮✘✗✁↔✂➅✲✱ ✳❋ñ✂■✂✙✂✚ A ✮✘✢✘✣ ✯✂❣✂✮ ✔➁✂❚✂❯✂❆ g ✱☞✎✂✙✂✚ A ✾✂✿✂✮✂✵✂✶✂❆ P(A) = S(g) S(G) . Ú✞✗✂✮ S(·) ✦✂❙✂❚✂❯ ✔➁✂✮í✞✪✱④✬✎✦✎❙✎❚✂❯✄✫✞✬✲✱❄♦✪➅✲❃ ✈íP✞✭✥✩✧❛✂③✂❬✂❴▲❃ ➔ 2.2 ➪ Buffon ➘✧➴➻➷✯✮í✂❊✽✄✰✎❛✎❲✄✮✄✱✄✲❤✱❦➂✎✉✄✜❡✐❢✮✄✳✂➏✎➃✎➅ ■ a ✱✵✴✧ç✞✮í✂❊➲✄✶✎✮✎❪✎→✎❛✄✫✄✬✎❆ l(l 6 a) ✮✞✷✲✱❦➟✂ç✞✷✂Û✎❱✎❛✄✮✄✱✄✲ ➄✞✸✂✮✂✵✂✶▲❃ 3
图1.2 解以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,y表示该平行线与 针的夹角(见图1-2),显然有 0≤x≤,0≤y≤ 因此, G={(9,x)0≤x≤5,0≤9≤丌 而当针与平行线相交时,有x≤sin,所以有 ={(,x)≤;siny,(9,x)∈G} 这样就可以得到 在看接下来的这个问题。 例33( Ber frand悖论)在半径为1的圆内随机的取一条弦,问其长 度超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率是多少 这是一个几何概型的问题,但是对“随机地”一词的含义的不同解释 可以得到不同的答案。下面给出其中的三种。 解1任何弦都和圆周交于两点。不失一般性,先固定其中一点在圆周 上,以此点为一顶点作圆的内接等边三角形,将圆周分为三段等长的弧。显 然,只有当弦的另一顶点落在与该顶点不相邻的一段弧上的时候,弦长才会 超过√3.故所求的概率为见图1-3
Ch1 4 a ϕ x l x a 2 g l 2 sin ϕ π ϕ ✔ 1.2 ➠ ❙ x ❚✂❯✞✷✂✮✥✤❢♠✎➇❹✄✹✮➥❛✎❷✄✮✛✱✄✲➥✮✄✳✎➏❤✱ ϕ ❚✂❯✂⑧✞✮✞✱✄✲✎Û ✷✂✮✞✺✞✻ ➪ ➒✕✔ 1-2 ➷ ✱❍q✂s❋ 0 6 x 6 a 2 , 0 6 ϕ 6 π, ✼ç▲✱ G = {(ϕ, x)|0 6 x 6 a 2 , 0 6 ϕ 6 π}, ✳×✷✂Û✞✮✞✱✞✲✂➄✞✸Ø ✱ ❋ x 6 l 2 sin ϕ ✱❍❧✂❙❋ g = {(ϕ, x)|x 6 l 2 sin ϕ,(ϕ, x) ∈ G}. Ú❵✷✂✦✂❙✂➆✂➇ P(A) = S(g) S(G) = R π 0 l 2 sin ϕdϕ a 2 π = 2 l a π . ✜✂þÏ✈✂✻✂✮✂Ú✂③✥➘✧➴▲❃ ➔ 3.3 ➪ Berfrand ✽✞✾➷♣✜✞✿✞❀✂❆ 1 ✮✕❁✞❂✧✖✂✗✂✮✎➳✎❛✎❷✄❃❤✱➨➘✧➯✄✫ ✬✞❄✞☛✂⑧✕❁✞❂Ï➅✞❅✞❆✄✻✎➁✂✮✄❅✞✫ √ 3 ✮✂✵✂✶✂✛✞❇➱❉❈ Ú✎✛✎❛✎③✎❶✎ú✎✵➥➋➥✮➻➘➤➴➧✱õô➥✛➥●❋❊ ✖➥✗✛☎✕●õ❛✄❍➥✮✛■②✮➢✭ ❒ö✛❏➧✱ ✦✂❙✂➆✂➇✂✭❒✮✞❑✞▲✲❃④✈í✭❡✩❢➯✥✤❢✮✞❆➽ ❃ ➠ 1 ➲✂ú✞❃✂➃➦ ❁◆▼✛✸✎■➡♠❤❃ì✭✄❖✎❛✛✦✎❀❤✱ìÓ❉P❢①✎➯❡✤❢❛➥♠✎✜❉❁◆▼ ❊✱❄❙✂ç✂♠✂❆✂❛✞◗✎♠✎û❉❁❢✮❉❂Ï➅✄❅✄❆✄✻✎➁❤✱❄✇❉❁◆▼✎❘✎❆✄❆✞❘✎➅✄✫✎✮✄❙❤❃❄q s▲✱❯❚❋✂×❃✂✮✠❛✞◗✎♠✞❱✎✜✂Û✎⑧✞◗✎♠✂✭✎➄✞❲✎✮✂❛✄❘✞❙❊✮Ø ✟✲✱☞❃✄✫✞❳✁ ❄✞☛ √ 3 ❃☞❨✂❧✂➟✂✮✂✵✂✶✂❆ 1 3 ❃ ➒✕✔ 1-3 ❃ 4
解2。长表合它的。例而有如,与方向无如,于是可以件投它骰直于 某一条直性对于这样的。,其长也大于√3当试子当它的。例而小于号刻 此所求的概率为 解3。样其中点一一决定,成当试子当其中点属于生性为是的同例大 时,。长组大于√,而此小大面现为大大面现的,成所求的概率为子 (a) (c) 1.3 同一问题得到为种不同的集案,观刻是采用了不同的等可能性。在解1 中,件定一端再定而率一端在大基上均匀分布间廨解2中件投。的中点在一再 定直性上均匀分布间而解3则件定。的中点在大小均匀分布。刻此,为种不 同的集案是就对为种不同的随机试验(,看起来相同),对于显自的随机 试验而我,它们都是们下的 点体 刻此在将用机双文垤取双文可能对义均匀对时,应该算下其于义 3概率应该与概率测度公理化 满两足不出了概率直观上的定义,接下来将几条下的描述概率:也和概 率空间 满面最简单度,事件就是某些样本点组成的集合,事件在间的运算也就 是集合运算。但是,并元有对集合进,限素。对于事件,一个限算显的"求 就是所有事件组成的集合对于并(AUB)义用(A∩B,记为AB)X形(A) 等为种运算它都满等得学概到了古典型学于1933在进既率基散概常见 模中,用例掷枚的方法与集合、的观点成功古解这个问题,均出了概 率空间的概常。 1概率应该匀硬币国徽 (1)样本空间9
Ch1 5 ➠ 2 ❃✞✫✞❚✞❩✂➂✂✮✄❃✛❬✄✳❋✄❭✱ìÛ➾ ✴ë✄❭✱ì■✎✛✎✦✎❙ ✚✄❪➂✄❫❮■ ❱✘❛✘❷❮❀▲❃ ●✘■✂Ú❵✮✆❃✲✱ ➯✞✫✞✬✘❁✂■ √ 3 ×✢✆❴×➂✘✮✆❃✆❬✞✳✂❂✂■ 1 2 ❃ ✼ ç✂❧✂➟✂✮✂✵✂✶✂❆ 1 2 ❃ ➠ 3 ❃✞❵✂➯✥✤✧♠✞❛✂❛✂÷✂①✲✱❜❨×✢✞❴×➯✥✤❢♠✎î✂■✄✿✄❀✂❆ 1 2 ✮ ❒❬✕❁ Ø ✱☞❃✞✫✞❳✂❁✂■ √ 3 ❃❍✳✂ç✂❂✕❁í✞✪❆✂❁❉❁í✄✪✮ 1 4 ✱☞❨✂❧✂➟✂✮✂✵✂✶✂❆ 1 4 ❃ (a) (b) (c) d ✔ 1.3 ❒❛✥➘✧➴✂➆✂➇✞❆➽ ✭ ❒✮✄❑✄▲❤✱❞❝✼✛✄❡✎✸✎➈✎✭ ❒✮✎➅✂✦✎★✎❀❤❃❦✜✎ö 1 ✤ ✱ ✚①✘❛✞❢✕P❢①✂✳✠❛✞❢✎✜✕❁❣▼❊↔✎↕✂❘✞❤❥✐♣ö 2 ✤✚✆❪❃✘✮✥✤✧♠✂✜✎❛✕P ①❮❀❊↔✂↕✂❘✞❤❦✐④✳✎ö 3 ✎✚①✞❃✂✮✥✤✧♠✂✜✕❁✄❂✧↔✎↕✎❘✄❤✲❃ ✼ç✲✱❧❆➽ ✭ ❒✮✄❑✄▲✎✛✄✷✎●✄❆➽ ✭ ❒ ✮✎✖➥✗➥✢✎✣ ➪♥♠✛♦þ✄♣➥✻➥➄ ❒ ➷ ✱ ●➥■✄qsr ✮✎✖➥✗ ✢✂✣✂✳✞t▲✱❍➂✂✉✂➃✎✛✄✉✞✈✎✮✲❃ ✼ç✂✜✞✇✂✸①❊✖✂✗❦●③②④❊ ➲✎➳❦●③②④❊ ➅✎✦✂★❥●⑤②④❊ ↔✎↕❥● Ø ✱④⑦✎⑧✕⑥◆✈✎➯✞■②❃ §3 ✝✂✠✞⑦✞⑧✂✟✂✝✂✠✂✡✂☛✂✌✎✍✂✏ ⑨➡✆⑩✭➧✩✫➈✘✵✂✶❮❝❊✮✘①②✱ Ï✈✂✻✂✇✞❶✞❷✞✈✂✮✂➍✂➎✂✵✂✶✞❸✞✬➦✵ ✶✂❏✥✐ ❃ ⑨í✕❹❣❺✞❻☛▲✱❖✙✂✚✂✷✂✛✂❱✎❲❵◆✂♠✎❳✂❨✎✮✂❑✎❩✲✱❍✙✂✚✄✜✥✐❢✮✂⑤✎⑥✂✬✎✷ ✛✘❑✘❩✘⑤✘⑥✲❃❍ô✂✛❤✱❖Ð✞❼❋●✎❑✂❩✎ù✞✱❾✞❽ ❃❍●✂■✎✙✂✚✲✱❍❛✂③✄❾✕⑥❢q✂✮✄✒✂➟✲✱ ✷✘✛✘❧❋✙✂✚✎❳✂❨✂✮✎❑✂❩✂●✎■✂Ð ➪ A ∪ B ➷❿②✯✸ ➪ A ∩ B ➀❅✘❆ AB ➷❿②✯➁ ➪ Ac ➷ ➅✆❆ ➽⑤✘⑥✆➂✕➃❥❃➄⑨✞➅✞➆✂➌✄✝✞➇✞➈✞➉✞➊✞➋✞➌✂■ 1933 ➍ ✜➏➎ ✵✘✶✾ ▼✞➐✂✵✞➑❦➒ ❛✞➓✥✤ ✱❖✸✞➔✞→✞➣✂✮➾✎➚ Û✎❑✂❩✾ ✮✎❝✂♠✎❨✂ò✄☎✂ö✎÷✂➈✎Ú✂③❡➘✧➴✲✱☞↔❡✩✧➈✎✵ ✶✂❏✥✐✧✮✂✵✞➑▲❃ 1 ✝✂✠✞⑦✞⑧✞↕✞➙✞➛✞➜✞➝ (1) ❵◆✂❏✥✐ Ω 5
9是一非空集合,为样本空间 (2)F与可测空间 F是由Ω的某些子集所构成的一个σ代数,即它满足: (1)!∈F; (2)若A∈F,则A°∈F; (3)若An∈F,n=1,2,…,则∪An∈F; 称(,F)为可测空间 (3)P与概率空间 概率P是定义在F上的函数,即它是一个从厂到0,1的映射 P:F→0.1],且它满足 (1)VA∈F,P(4)≥0 (2)P(9)=1; (3)若An∈,n=1,2,…,且An互不相交,则 P(∪A)=∑PAn) 称这样的P为可测空间(92,万)上的一个概率测度(简称为概率),称(92,,P) 为一概率空间 可以推出,概率测度P有以下性质 (1)P(0)=0 (2)若Ak∈F,k=1,2,…,n,且Ak互不相交,则 P(」Ak) P(Ak) k=1 (3)若P(A2)=1-P(A) (4)P(A-B)=P(4)-P(B) (5)若A∈B,则P(4)≤P(B) (6)P(AUB)<P(A)+P(B); (7)P(Uk=1Ak)≤∑k=1P(Ak)
Ch1 6 Ω ✛✂❛✞➞✂❏✂❑✂❩▲✱❍❆❵◆✂❏❡✐❥❃ (2) F Û✂✦✞❸✂❏✥✐ F ✛✕➟ Ω ✮✂❱✂❲✂❴✂❑✂❧✞➠✂❨✂✮✂❛✂③ σ ➡✹▲✱☞➢✂➂✂⑨✂⑩✲❸ (1) Ω ∈ F ; (2) ✧ A ∈ F ✱☞✎ Ac ∈ F; (3) ✧ An ∈ F ✱ n =1 ✱ 2 ✱ · · · ✱☞✎ [∞ n=1 An ∈ F; ➤ (Ω ✱ F) ❆✂✦✞❸✂❏✥✐ ❃ (3) P Û✂✵✂✶✂❏✥✐ ✵✂✶ P ✛✂①②✜ F ❊✮✞➥✂✹▲✱☞➢✂➂✂✛✎❛✂③➸ F ➇ [0, 1] ✮✞➦✞➧✲❸ P : F −→ [0, 1] ✱☞✢✂➂✂⑨✂⑩✲❸ (1) ∀A ∈ F ✱ P(A) > 0 ; (2) P(Ω) = 1; (3) ✧ An ∈ F ✱ n =1 ✱ 2 ✱ · · · ✱☞✢ An ✣✂✭✂➄✞✸▲✱☞✎ P( [∞ n=1 An) = X∞ n=1 P(An); ➤Ú❵✮ P ❆✦➨❸❏❤✐ (Ω, F) ❊✮❛③✵✶➨❸➨✬ ➪ ❺➤✘❆✘✵✶❡➷ ✱➩➤ (Ω, F, P) ❆✂❛✂✵✂✶✂❏✥✐ ❃ ✦✂❙✂ü✥✩ ✱❍✵✂✶✞❸✞✬ P ❋❙✂✈✂❀✞➫✲❸ (1) P(∅) = 0 ; (2) ✧ Ak ∈ F ✱ k =1 ✱ 2 ✱ · · · ✱ n ✱☞✢ Ak ✣✂✭✂➄✞✸▲✱☞✎ P( [n k=1 Ak) = Xn k=1 P(Ak); (3) ✧ P(Ac ) = 1 − P(A); (4) P(A − B) = P(A) − P(B) ; (5) ✧ A ∈ B ✱☞✎ P(A) 6 P(B) ; (6) P(A ∪ B) 6 P(A) + P(B) ; (7) P( Sn k=1 Ak) 6 Pn k=1 P(Ak) ; 6
(8)若A1∈A2 则 q)= lim P(An) 2加法公式 由以上概率的性质可以得到加法公式的简单情形:对任意两个事件A,B, 有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 简要证明如下:由A∪B=A∪BA,B=BA∪BA,且A与BA°不相 交,BA与BA°不相交,有 P(AUB)=P(A)+P(BA) P(BA)=P(B)-P(BA); 两式相加即得所要的公式 对于多个集合的情形,我们有下面的 Jordan公式 ∑P(A 1≤i1<2<…<ik≤ 用容斥原理或者数学归纳法均可给出证明 下面给出一个例子 例3.1(配对问题)n对夫妇随机入座坐在长桌的两侧,先生全部坐在 其中的一侧,问至少有一对夫妇面对面坐的概率是多少? 解记 B=至少有一对夫妇面对面坐, A=第i对夫妇面对面坐,i=1,2, 易知B=U=1A。对任意的1≤i1<i2<…<k≤n,有 P(A1Ai2)…A ni ∑P(A1A2…A)=C (n-k) 1≤i1<i2<…<i≤n
Ch1 7 (8) ✧ A1 ∈ A2 ∈ · · · ✱☞✎ P( [∞ n=1 ) = limn→∞ P(An); 2 ➭✞➯✌✞➲ ➟ ❙❊✵✶✮❀➨➫✦✘❙➆✘➇✆➳➚ ➔✆➵✘✮❺✘❻➀✘➁▲❸ ●➲✆✶➡③✘✙✘✚ A ✱ B ✱ ❋ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). ❺✒✞➸✕⑥✧❭✎✈➧❸➺➟ A ∪ B = A ∪ BAc ✱ B = BA ∪ BAc ✱★✢ A Û BAc ✭✂➄ ✸▲✱ BA Û BAc ✭✂➄✞✸▲✱ ❋ P(A ∪ B) = P(A) + P(BA c ); P(BA c ) = P(B) − P(BA); ➡➵✂➄✞➳✞➢✂➆✂❧✞✒✂✮✞➔✄➵✲❃ ●✂■✞❇✂③✂❑✂❩✂✮✂➀✂➁▲✱④t✎✉❋✈í✮ Jordan ➔✞➵✲❸ P( [n i=1 Ai) = Xn k=1 (−1)k+1 X 16i1<i2<···<ik6n P(Ai1Ai2 · · · Aik ). ✸✂Ñ✞➻✞❝✞→➀✝✂✹✂➌✞➼✄➽➚ ↔✎✦✞✭❡✩◆➸✕⑥❥❃ ✈í✭✥✩✧❛✂③✂❬✂❴▲❃ ➔ 3.1 ➪➚➾●✥➘✧➴➻➷ n ●✞➌✞➪✂✖✂✗✞➶✞➹✞➘✎✜✄✫✄➴✎✮➡✄➷ ✱❦Ó✎✿✎♥✞➬✄➘✎✜ ➯✥✤✧✮✂❛➷✱ ➘➮✎➱❋❛✎●✞➌✄➪í●í➘✎✮✎✵✂✶✎✛✄❇➱➏❈ ➠ ❅ B = ➮✂➱❋❛✂●✞➌✞➪í●í➘✲✱ Ai= ➮ i ●✞➌✞➪í●í➘▲✱ i =1 ✱ 2 ✱❣➱ ✱ n ❃ Ò✞✖ B = Sn i=1 Ai ❃❍●✂➲✞✶✂✮ 1 6 i1 < i2 < · · · < ik 6 n ✱ ❋ P(Ai1Ai2)· · · Aik = (n − k)! n! , X 16i1<i2<···<ik6n P(Ai1Ai2 · · ·Aik ) = C k n (n − k)! n! = 1 k! , 7
于是,由 Jordan公式可知 k! k=1 当 时,P(B k=1
Ch1 8 ■✂✛▲✱✃➟ Jordan ➔✞➵✂✦✞✖ P(B) = Xn k=1 (−1)k+1 1 k! . × n → ∞ Ø ✱ P(B) = Xn k=1 (−1)k+1 1 k! → 1 − e −1 ❃ 8