《概率论》课程教学资源（教案讲义）第二章 随机变量及其概率分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量 2.3 Poisson过程

第二章随机变量及其概率分布 §1随机变量 定义设(9,F,P)是一概率空间,X(u)是定义在Ω2上的实值函数,如 果对任意实数x,都有 {u|X()≤x}∈F, 则称X(ω)是(g,,P)上的一个随机变量。也就是说,随机变量是从概率 空间到实数域R上的可测映射 有些事件本身就与数字有关,如身高、体重,有些则是为了方便处理而 赋值,如人口普查中男女的性别 下面给出几个例子 例1.1抛掷一枚硬币,则 X(w ,u=u1=“国徽朝上” 0,w=u1=“国徽朝下 是一个随机变量。 例1.2抛掷两枚硬币,则 X(ω)=“国徽朝上的硬币数 Y()=“国徽朝下的硬币数” 都是随机变量。 例1.3重复抛掷一枚硬币,直到第一次出现国徽朝上,则 X(u)=“所需抛掷次数” 是一个随机变量 例1.4某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车 站的时间是随机的,那么,他等车的时间X(u)是一个随机变量 对于具体的随机变量,通常分为两类进行具体讨论。如果一个随机变量 X(u)可能取的值是可数个,则称X(u)是离散型随机变量。非离散型的随机 变量范围很广,其中最重要的也是实际问题中最常见的是连续型随机变量 在这里,先讨论离散型的随机变量

Ch2 1 ￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌ §1 ☎✂✆✂✝✂✞ ✍✂✎✑✏ (Ω, F, P) ✒✂✓✂✔✂✕✂✖✘✗✚✙ X(ω) ✒✂✛✂✜✂✢ Ω ✣✂✤✂✥✂✦✂✧✂★✩✙✫✪ ✬✂✭✂✮✂✯✥✂★ x ✙✱✰✂✲ {ω|X(ω) 6 x} ∈ F, ✳✵✴ X(ω) ✒ (Ω, F, P) ✣✵✤✵✓✵✶✵✷✵✸✵✹✵✺✩✻✽✼✵✾✿✒✵❀❁✙❂✷✿✸✵✹✿✺✵✒✿❃✵✔✿✕ ✖✘✗❅❄✂✥✂★✂❆ R ✣✂✤✂❇✂❈✂❉✂❊❋✻ ✲✂●✂❍✂■✂❏✂❑✂✾✂▲✵★✵▼✂✲✵◆❁✙❖✪✵❑✵P✩◗❖❘✵❙❁✙❖✲✵●✳✒✵❚✵❯✵❱✵❲✵❳✂❨✵❩ ❬✦❋✙✱✪✂❭❫❪❂❴✂❵❜❛❞❝✂❡✵✤✂❢✵❣✩✻ ❤✂✐✂❥✘❦❅❧✶✂♠✂♥❋✻ ♦ 1.1 ♣✂q✂✓✂r✂s✂t❋✙ ✳ X(ω) = ( 1, ω = ω1 = ✉✇✈❅①✂②✂✣✩③ ; 0, ω = ω1 = ✉✇✈❅①✂②❤ ③ ✒✂✓✂✶✂✷✂✸✂✹✂✺❋✻ ♦ 1.2 ♣✂q✂④✂r✂s✂t❋✙ ✳ X(ω) = ✉✇✈❅①✂②✂✣✂✤✂s✂t✂★❁③ ; Y (ω) = ✉✇✈❅①✂②❤ ✤✂s✂t✂★❁③ ✰✂✒✂✷✂✸✂✹✂✺❋✻ ♦ 1.3 ❙✂⑤✂♣✂q✂✓✂r✂s✂t❋✙⑦⑥✵❄✂⑧✵✓✵⑨❦❞⑩ ✈❅①✵②✂✣✩✙ ✳ X(ω) = ✉❷❶✂❸✂♣✂q✂⑨✂★✩③ ✒✂✓✂✶✂✷✂✸✂✹✂✺❋✻ ♦ 1.4 ❹✂❺✂❻✂❼✂❽✂❾✂❿✵➀ 5 ➁✂➂✂✲✂✓✂➃✂❼✂❽✂➄✵➅❁✙✫✪✬ ❹✂❭✵❄✵➆✵➇✵❽ ❾✂✤✂➈✘✗❅✒✂✷✂✸✂✤❋✙⑦➉✵➊✩✙⑦➋✵➌✵❽✂✤✵➈❜✗ X(ω) ✒✂✓✂✶✂✷✂✸✂✹✂✺❋✻ ✭✂➍✂➎❘✂✤✂✷✂✸✂✹✂✺❋✙➏➄✂➐✵➁✂❚✵④✂➑✵➒✂➓➎ ❘✵➔✂→✩✻✱✪✬ ✓✵✶✂✷✵✸✂✹✵✺ X(ω) ❇↔➣↔↕↔✤↔✦↔✒↔❇↔★↔✶❋✙ ✳✂✴ X(ω) ✒↔➙↔➛↔➜↔✷↔✸↔✹↔✺➝✻➟➞✂➙✂➛↔➜✂✤✂✷✂✸ ✹✂✺✂➠✘➡❅➢✵➤❁✙✽➥➦❛❞➧✵❙✿➨✵✤✿✼✵✒✵✥✿➩❜➫❞➭➦❛❞➧✿➐✵➯✵✤✿✒✵➲✵➳✿➜✵✷✿✸✵✹✵✺❁✻ ✢✂➵✂➸❋✙✱➺✂➔✂→✂➙✵➛✵➜✂✤✵✷✂✸✵✹✵✺✩✻ 1

§2.离散型随机变量 离散型随机变量X(ω)只取可数个值,记为n1,x2,…,xn。相应的,它 取各个值的概率分别记为 D2=P(X(u)=x1)=P({u:X(u)=xk}),i=1,2, 称p1,P2,…为X的概率分布列,它完整的表示了X取值的概率分布情况 下面介绍几种常见的概率分布及其性质 (1)两点分布( Bernoulli分布) 如果随机变量X的分布如下 P(X=1)=p,P(X=0)=q, 其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为p的两点分布 两点分布是最简单的一个分布类。任何一个只有两种可能结果的随机变 量,比如人的性别,明天是否下雨等,都可以用两点分布来描述 (2)二项分布 如果随机变量X的分布如下 P(X=k)=Cnq-,k=0,1,2 其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为(n,p)的二项分布,或者用 记号 XNB(n, p) 来表示 显然,参数为p的两点分布,就是二项分布中的一个子类B(1,p) 来看一下下面的例子 例21某射击手击中10环的概率为0.4,现独立的射了5发,则他恰 有两次命中的10环的概率为 p=C2.0.42.0.63 结果刚好是二项分布的形式。现在给出一个比较一般的问题:

Ch2 2 §2. ➻✂➼✂➽☎✂✆✂✝✂✞ ➙✂➛✂➜✂✷✂✸✂✹✂✺ X(ω) ➾✂↕✂❇✂★✂✶✂✦✩✙✫➚✵❚ x1, x2, · · · , xn ✻❖➪✂➶✂✤✩✙❖➹ ↕✂➘✂✶✂✦✂✤✂✔✂✕✂➁✂❣✂➚✵❚ pi = P(X(ω) = xi) = P({ω : X(ω) = xk}), i = 1, 2, · · · . ✴ p1, p2, · · · ❚ X ✤↔✔↔✕↔➁↔➴↔➷❋✙➟➹↔➬✂➮✂✤✂➱✂✃↔❯ X ↕↔✦↔✤↔✔↔✕↔➁↔➴↔❐↔❒✩✻ ❤✂✐✂❮✂❰✂❧✂Ï➐✂➯✂✤✂✔✂✕✵➁✂➴✵Ð✵➥✂❢✵Ñ✩✻ (1) ④✂Ò✂➁✂➴ÔÓ Bernoulli ➁✂➴➦Õ ✪✬ ✷✂✸✂✹✂✺ X ✤✂➁✂➴✂✪❤✩Ö P(X = 1) = p, P(X = 0) = q, ➥✘❛ 0 < p < 1, q = 1 − p ✙ ✳✂✴ X ×✂❃✂Ø✂★✂❚ p ✤✂④✂Ò✂➁✂➴❋✻ ④↔Ò↔➁↔➴↔✒↔➧↔Ù✂Ú✂✤✂✓✂✶✂➁↔➴✂➑✩✻ ✮✂Û✓✂✶✂➾✂✲✂④Ï ❇✂➣✂Ü✬ ✤✂✷✂✸✂✹ ✺❋✙❂Ý❅✪✂❭✂✤✂❢✂❣✩✙ßÞ❞à✵✒✵á❤✵â➌✩✙ã✰✂❇✵ä✵å✂④✵Ò✵➁✂➴✵æ✂ç✵è✩✻ (2) é✂ê✂➁✂➴ ✪✬ ✷✂✸✂✹✂✺ X ✤✂➁✂➴✂✪❤✩Ö P(X = k) = C k n p k q n−k , k = 0, 1, 2, · · · , n, ➥✘❛ 0 < p < 1, q = 1 − p ✙ ✳✂✴ X ×✂❃✂Ø✂★✂❚ (n, p) ✤✂é✂ê✂➁✂➴✩✙❖ë✂ì✵å ➚✂í X ∼ B(n, p) æ✂➱✂✃❋✻ î✂ï✙✱Ø✂★✂❚ p ✤✂④✂Ò✂➁✂➴❋✙✱✾✂✒✂é✵ê✵➁✂➴❜❛❅✤✵✓✵✶✂♥✵➑ B(1, p) ✻ æ✂ð✂✓❤✂❤✂✐✤✂♠✂♥❋✻ ♦ 2.1 ❹✂❊✂ñ✂ò✂ñ✘❛ 10 ó✂✤✂✔✂✕✂❚ 0.4 ✙ ⑩✂ô✂õ✤✂❊✂❯ 5 ö✩✙ ✳➋✂÷ ✲✂④✂⑨✂ø✘❛❅✤ 10 ó✂✤✂✔✂✕✂❚ p = C 2 5 · 0.4 2 · 0.6 3 . Ü✬✂ù✂ú✒✂é✂ê✂➁✂➴✂✤✂û✵ü✩✻ ⑩✢❥❜❦ ✓✂✶❜Ý❞ý✂✓✵þ✂✤❜➫❞➭Ö 2

已知单次试验中事件A发生的概率是p,那么m次重复独立试验中事 件A恰好发生k次的概率就是 P(事件A恰发生k次)=Cpq=,k=0,1,2 因此,在n次重复独立试验中,记随机变量 X=A发生的次数 则X~B(mn,p) (3)泊松( Poisson)分布 如果随机变量X的概率分布如下 P(X=k_X -k k=0,1,2,…(A>0), 则称X服从参数为A的泊松分布,记作X~P(入 对于二项分布,我们考虑下面的极限情况: np=A,n→∞ 此时 ke! (n 1 k+1 n P(X=k 用类似的推导可以得到下面的结果 若np→X(A>0,n→∞),则有 kl

Ch2 3 ÿ✁￾Ú✂⑨✄✂✆☎❜❛❍✵■ A ö✄✝✂✤✂✔✂✕✵✒ p ✙ ➉✂➊ n ⑨✂❙✂⑤ô✂õ✂✆☎➦❛❞❍ ■ A ÷ú ö✄✝ k ⑨✂✤✂✔✂✕✂✾✂✒ P(❍✂■A÷✂ö✄✝ k⑨) = C k np k q n−k , k = 0, 1, 2, · · · , n. ✞✁✟✙✱✢ n ⑨✂❙✂⑤ô✂õ✂✄☎✘❛ ✙✱➚✵✷✵✸✵✹✂✺ X = Aö✄✝✂✤✂⑨✂★. ✳ X ∼ B(n, p) ✻ (3) ✠✄✡ÔÓ Poisson Õ ➁✂➴ ✪✬ ✷✂✸✂✹✂✺ X ✤✂✔✂✕✂➁✂➴✂✪❤✩Ö P(X = k) = λ k k! e −k , k = 0, 1, 2, · · ·(λ > 0), ✳✂✴ X ×✂❃✂Ø✂★✂❚ λ ✤✄✠✄✡✂➁✂➴❋✙✱➚✄☛ X ∼ P(λ) ✻ ✭✂➍é✂ê✂➁✂➴❋✙✌☞✄✍✆✎✄✏❤✵✐✤✆✑✄✒✵❐✵❒Ö np = λ, n → ∞. ✟➈❋✙ C k np k q n−k = n! k!(n − k)! ￾λ n
k￾ 1 − λ n
= λ k k! · n(n − 1)· · ·(n − k + 1) n k · ￾ 1 − λ n
n ￾ 1 − λ n
k → λ k k! · e −λ (n → ∞) , ✓ P(X = k) = λ k k! · e −k , k = 1, 1, 2, · · · . å✂➑✄✔✂✤✄✕✄✖✂❇✂ä✄✗✂❄❤✵✐✤✵Ü✬Ö ✘ np → λ(λ > 0, n → ∞) ✙ ✳✲ C k np k q n−k → λ k k! · e −k (n → ∞) , 3

即泊松分布是二项分布当mp→λ(mn→∞)情况下的极限分布 利用这个结果,可用泊松分布来作二项分布的近似计算 4)几何分布 在事件A在单次试验中发生的概率为p的独立重复试验中,记 X=A首次发生时的试验次数, 不难验证,X具有如下的概率分布: P(X=k)=q-1p,k=1,2 这个概率分布称为几何分布。 几何分布有无记忆性,也就是说,在前m次试验中A都一直没有发生 的条件下,等到A发生所需要的试验次数X*跟X分布相同。而且,可以证 明,在取值为正整数的离散型分布中,几何分布是唯一的无记忆性的分布 (5)超几何分布 设一堆同类产品共N个,其中有M个次品,现从中任取n个(为方便 记,假定n≤N-M),则这n个中所含的次品数X是一个离散型随机变 量,其概率分布如下: P(X=m) 其中l 这个概率分布称为超几何分布 下面看超几何分布的极限情况。对于任意给定的n,m(-≤m≤m),如 果当N→∞时,M/N→p>0,也就是说,产品总数趋向于无穷而次品占 的比例趋向于P,则有 CCM→cm?y-m(N→x) 证将左端三个组合数分别按组合公式展开,然后整理取极限即得 (6)负二项分布 在独立重复试验中,事件A发生的概率为P,对给定的r,考虑 X=A第r次发生时的试验次数

Ch2 4 ✓✠✄✡✂➁✂➴✂✒✂é✂ê✂➁✂➴✆✙ np → λ (n → ∞) ❐✂❒❤ ✤✄✑✄✒✂➁✂➴❋✻ ✚ å✂➵✂✶✂Ü✬ ✙✱❇✂å✆✠✄✡✵➁✵➴✂æ✆☛✂é✵ê✵➁✂➴✵✤✆✛✄✔✆✜✄✢✩✻ (4) ❧Û ➁✂➴ ✢✂❍✂■ A ✢✂Ú✂⑨✄✂✄☎✘❛❅ö✄✝✂✤✂✔✵✕✂❚ p ✤ô✂õ❙✂⑤✄✂✄☎✘❛ ✙⑦➚ X = A✣✂⑨✂ö✄✝✂➈✂✤✄✂✄☎✂⑨✂★, ✤✄✥☎✄✦❋✙ X ➎ ✲✂✪❤ ✤✂✔✂✕✂➁✂➴Ö P(X = k) = q k−1 p, k = 1, 2, · · · , ➵✂✶✂✔✂✕✂➁✂➴✴ ❚❧Û ➁✵➴❋✻ ❧Û ➁✂➴✂✲✄✧✂➚✄★✵❢❁✙ã✼✵✾✵✒✵❀❁✙ã✢✆✩ m ⑨✄✂✄☎✘❛ A ✰✂✓✂⑥✄✪✂✲✂ö✄✝ ✤✬✫↔■❤ ✙ ➌↔❄ A ö✬✝↔❶↔❸↔➨↔✤✬✂✄☎✂⑨✂★ X∗ ✭ X ➁↔➴↔➪✯✮ ✻ ❩✬✰✩✙ ❇✂ä✄✦ Þ ✙✱✢✂↕✂✦✂❚✄✱✂➮✵★✵✤✂➙✵➛✂➜✵➁✵➴✘❛✚✙ ❧Û ➁✵➴✂✒✆✲✂✓✵✤✆✧✂➚✆★✂❢✵✤✵➁✂➴✩✻ (5) ✳ ❧Û ➁✂➴ ✏✓✬✴✯✮➑✄✵✄✶✂❻ N ✶❋✙ ➥❛✲ M ✶↔⑨✬✶❋✙ ⑩❃✘❛✮↕ n ✶ Ó ❚↔❱↔❲ ➚✩✙✸✷✂✛ n 6 N − M Õ ✙ ✳➵ n ✶✘❛❅❶✄✹✂✤✂⑨✆✶✵★ X ✒✂✓✂✶✂➙✂➛✂➜✂✷✵✸✵✹ ✺❋✙✱➥✂✔✂✕✂➁✂➴✂✪❤❁Ö P(X = m) = C m MC n−m N−M C n N , m = 0, 1, 2, · · · , l, ➥✘❛ l = min(M, n) ✻ ➵✂✶✂✔✂✕✂➁✂➴✴ ❚✄✳❧Û ➁✂➴✩✻ ❤✂✐ð✄✳❧Û ➁✂➴✂✤✆✑✆✒✵❐✂❒❁✻ ✭✵➍✵✮✵✯❥ ✛✵✤ n, m(− 6 m 6 n) ✙⑦✪ ✬ ✙ N → ∞ ➈❋✙ M/N → p > 0 ✙✱✼✂✾✂✒✂❀❋✙✌✵✄✶✄✺✂★✄✻✽✼➍✧✄✾✵❩✵⑨✄✶✽✿ ✤✘Ý❅♠✄✻❀✼➍ p ✙ ✳✲ C m MC n−m N−M Cn N → C m n p mq n−m (N → ∞). ❁ ❂✄❃✄❄✄❅✶✄❆✄❇✂★✂➁✂❣✆❈✄❆✆❇✵❺✂ü✆❉✄❊✩✙ ï✆❋➮✵❨✂↕✆✑✆✒✓✗✩✻ (6) ●✂é✂ê✂➁✂➴ ✢ ô✂õ❙✂⑤✄✂✄☎✘❛ ✙✱❍✵■ A ö✄✝✂✤✂✔✂✕✂❚ p ✙ ✭❥ ✛✂✤ r ✙✌✎✄✏ X = A ⑧ r ⑨✂ö✄✝✂➈✂✤✄✂✄☎✂⑨✂★❋✙ 4

不难验证,X具有如下的概率分布: P(X=k)=Ckap, k=r,r+1, 现在我们规定 T, 考虑Y的概率分布,对于自然数k, P(Y=k)P(X=k+r)=Ck+_19p Y的分布称为参数为(r,p)的负二项分布 可以看出,上面的X的分布是r个独立的几何分布的和 考虑负二项式(1-x)的 Taylor展开式: (-r)(-r-1) kI (r+k-1)…(r+1) k 这也就是称为负二项分布的原因 3 Poisson过程 用X(t)表示从0开始,某特定事件发生的总次数,就可以称该过程为 计数过程.对于计数过程,有 (1)X(t)是非负整数; (2)任意0≤t1≤t2,有 X(t1)≤X(t2) 实际上,这里的X(t)应该写成X(t,u) 定义称计数过程X(t)为具有参数入的 Poisson过程,如果

Ch2 5 ✤✄✥☎✄✦❋✙ X ➎ ✲✂✪❤ ✤✂✔✂✕✂➁✂➴Ö P(X = k) = C r−1 k−1 q k−r p r , k = r, r + 1, · · · . ⑩✢✄☞✄✍✄❍✂✛ Y = X − r, ✎✄✏ Y ✤✂✔✂✕✂➁✂➴❋✙ ✭✂➍❏■ ï★ k ✙ P(Y = k)P(X = k + r) = C r−1 k+r−1 q k p r . Y ✤✂➁✂➴✴ ❚✂Ø✂★✂❚ (r, p) ✤✄●✂é✂ê✂➁✂➴❋✻ ❇✂ä✂ð❦ ✙✱✣✐ ✤ X ✤✂➁✂➴✂✒ r ✶ ô✂õ✤❧Û ➁✂➴✂✤✄❑✩✻ ✎✄✏✄●✂é✂ê✂ü (1 − x) r ✤ Taylor ❉✄❊✂üÖ (1 − x) r = X∞ k=0 (−r)(−r − 1)· · ·(−r − (k − 1)) k! (−x) k = X∞ k=0 (r + k − 1)· · ·(r + 1)r k! x k = X∞ k=0 C r−1 k+r−1x k , ➵✂✼✂✾✂✒✴ ❚✄●✂é✂ê✂➁✵➴✵✤✄▲✞ ✻ §3 Poisson ▼✄◆ å X(t) ➱✂✃✂❃ 0 ❊✄❖✩✙❖❹✄P✂✛✂❍✵■✵ö✆✝✵✤✆✺✵⑨✵★❁✙✫✾✵❇✵ä ✴ ➇✵➅✆◗✵❚ ✜✂★✂➅✄◗❋✻ ✭✂➍✜✵★✵➅✄◗✩✙⑦✲ (1) X(t) ✒✂➞✄●✂➮✂★❙❘ (2) ✮✂✯ 0 6 t1 6 t2 ✙✱✲ X(t1) 6 X(t2). ✥✂➩✂✣❋✙✱➵✂➸✂✤ X(t) ➶✂➇✄❚✄❯ X(t, ω). ✍✂✎ ✴ ✜✂★✂➅✄◗ X(t) ❚➎ ✲✂Ø✂★ λ ✤ Poisson ➅✄◗❋✙✱✪✬ 5

(1)X(0)=0 (2)对任意的0≤t≤t2…≤t X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),……,X(tn)-X(tn-1) 是相互独立的(独立增量性); (3)对任意的s,t≥0,有 (s+t)-X(s)~P(t) 即服从参数为Mt的 Poisson分布 Poisson过程有一个等价的定义如下 设计数过程{X(t),t≥0满足 (1)X(0)=0; (2)具有独立增量性; (3)对任意的s,t≥0,X(s+t)-X(s)的分布与s无关(时齐性); (4)对任意的st≥0,有 P(X(t+△t)-X(t)=1)=A△t+o(△t P(X(t+△t)-X(t)≥2)=o(△t) 则{X(t),t≥0}为一参数为λ的 Poisson过程 下面证明两个定义的等价性。从第一个定义推出第二个是显然的,只需 证明第二个能推出第一个 记pk(t)=P(X(t)=k),则对任意的△t>0,有 Pk(t+△t)=P(X(t+△t)=k) P(X(t)=k,X(t+△t)=k) +P(X(t)=k-1, X(t+At)=k) (X(t)≤k-2,X(t+△)=k) P(X(t)=k, X(t+At)-X(t=0) +P(X(t)=k-1,X(t+△t)-X()=1) +P(X(t+△)=k,X(t+△t)-X(t)≥2)

Ch2 6 (1) X(0) = 0; (2) ✭✂✮✂✯✤ 0 6 t1 6 t2 · · · 6 tn ✙ X(t2) − X(t1), X(t3) − X(t2), · · · , X(tn) − X(tn−1) ✒✂➪✄❱ô✂õ✤ÔÓ ô✂õ✆❲✺✵❢➦Õ❳❘ (3) ✭✂✮✂✯✤ s,t > 0 ✙✱✲ X(s + t) − X(s) ∼ P(λt), ✓×✂❃✂Ø✂★✂❚ λt ✤ Poisson ➁✂➴❋✻ Poisson ➅✄◗✂✲✂✓✂✶✂➌✄❨✂✤✂✛✂✜✂✪❤❁Ö ✏✜✂★✂➅✄◗ {X(t),t > 0 ❩✄❬ (1) X(0) = 0 ❘ (2) ➎ ✲ ô✂õ✄❲✺✂❢❙❘ (3) ✭✂✮✂✯✤ s,t > 0 ✙ X(s + t) − X(s) ✤✂➁✂➴✂▲ s ✧✂◆ÔÓ ➈✄❭✂❢➦Õ❪❘ (4) ✭✂✮✂✯✤ s,t > 0 ✙✱✲ P(X(t + 4t) − X(t) = 1) = λ4t + o(4t), P(X(t + 4t) − X(t) > 2) = o(4t), ✳ {X(t),t > 0} ❚✂✓✂Ø✂★✂❚ λ ✤ Poisson ➅✄◗❋✻ ❤✂✐✦✘Þ❅④✂✶✂✛✂✜✂✤✂➌✄❨✂❢❋✻✱❃✵⑧✂✓✵✶✂✛✵✜✄✕ ❦ ⑧✵é✂✶✵✒î✵ï✤✩✙✱➾✵❸ ✦✘Þ❅⑧✂é✂✶✂➣✄✕❦ ⑧✂✓✵✶✩✻ ➚ pk(t) = P(X(t) = k) ✙ ✳✭✂✮✂✯✤ 4t > 0 ✙✱✲ pk(t + 4t) = P(X(t + 4t) = k) = P(X(t) = k, X(t + 4t) = k) +P(X(t) = k − 1, X(t + 4t) = k) +P(X(t) 6 k − 2, X(t + 4t) = k) = P(X(t) = k, X(t + 4t) − X(t) = 0) +P(X(t) = k − 1, X(t + 4t) − X(t) = 1) +P(X(t + 4t) = k, X(t + 4t) − X(t) > 2). 6

由(2)(3)(4)可知 Pk(t)= P(X(t=k)P(X(t+At)-X(t)=0) +P(X(t)=k-1)P(X(t+△t)-X(t)=1 +P(X(t+△t)=k,X(t+△t)-X(t)≥2 pk(t)(1-A△t)+pk-1(t)·A△t+o(△t) 于是有 pk(t+△t)-pk(t)=-pk(t)入△t+pk-1(1)A△t+o(△t) Pk(t)=-入pk(t)+Apk-1(t),k≥1 当k=0时,同上分析有 o(t)=-入0(t) 可以解出 Po(t)=e-At 再用归纳法就可以推出pk(t) Pr(t) (A) k=0,1,2 容易验证,所求出的分布满足第一个定义。故两个定义是等价的

Ch2 7 ❫ (2)(3)(4) ❇ ￾ pk(t) = P(X(t) = k)P(X(t + 4t) − X(t) = 0) +P(X(t) = k − 1)P(X(t + 4t) − X(t) = 1) +P(X(t + 4t) = k, X(t + 4t) − X(t) > 2 = pk(t)(1 − λ4t) + pk−1(t) · λ4t + o(4t). ➍✒✂✲ pk(t + 4t) − pk(t) = −pk(t)λ4t + pk−1(t)λ4t + o(4t), p 0 k (t) = −λpk(t) + λpk−1(t), k > 1. ✙ k = 0 ➈❋✙❴✮❅✣✂➁✄❵✂✲ p 0 0 (t) = −λp0(t). ❇✂ä✄❛❦ p0(t) = e −λt . ❜ å✄❝✄❞✄❡✂✾✂❇✂ä✄✕❦ pk(t) Ö pk(t) = (λt) k k! e −λt , k = 0, 1, 2, · · · . ❢✄❣☎✄✦❋✙✱❶✄❤❦ ✤✵➁✂➴✆❩✆❬✂⑧✵✓✂✶✵✛✵✜✩✻❥✐✵④✂✶✵✛✵✜✂✒✵➌✄❨✵✤✩✻ 7