§6亲件分布 在这里以二维的随机向量为例。先看离散型随机向量的情况 设(X,Y)是二维离散型随机向量,其分布列为 P(X Uj)=pi j=1,2 则其边缘分布列为 PX=x)=∑ ∑ P=P.,了 设p;>0,考虑在{Y=y}发生的情况下{X=r}发生的概率。由条件 概率公式得 P(X=TilY= yi P(X=Mi,Y=yi) P(r=yi 称这个概率为在Y=9的条件下随机变量X的条件分布列。 例61一射手进行射击,单发命中目标的概率为p(0<p<1),射击进 行到击中目标两次为止。X,Y分别表示第一次和第二次击中目标时射击的 次数,求X,Y的联合分布及条件分布 解显然有 PLX )=p2q =1 1;n=2,3, 于是边缘分布列为 P(X=m)=2P(X=m, Y=n)=pqm-l, m=1, 2 PY=n)=∑P(X=m,Y=n)=(n-1)py2,n=2,3,…
Ch3 1 §6 ✂✁✂✄✂☎ ✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✎✍✑✏✓✒✂✔✖✕✘✗✓✙✓✚✓✛✂✜✓☞✓✌✎✍✢✏✂☛✓✣✓✤✖✕ ✥ (X, Y ) ✦ ✠✂✡✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✎✍✑✏✖✧✘★✓✩✂✪✓✫✓✒ P(X = xi , Y = yj) = pij , i, j = 1, 2, · · · , ✬✂★✂✭✂✮✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = xi) = X j pij = pi· , i = 1, 2, · · · , P(Y = yj ) = X i pij = p·j , j = 1, 2, · · · . ✥ p·j > 0 ✧✰✯✂✱✂✆ {Y = yj} ✲✂✳☛✂✣✂✤✂✴ {X = xi} ✲✂✳☛✂✵✂✶✖✕✸✷✢✹✓✺ ✵✂✶✂✻✂✼✂✽ P(X = xi |Y = yj) = P(X = xi , Y = yj) P(Y = yj ) = pij p·j , i = 1, 2, · · · , ✾✝✂✿✂✵✂✶✂✒✂✆ Y = yj ☛✂✹✂✺✂✴✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛✂✹✂✺✂✩✂✪✂✫❁✕ ❂ 6.1 ❃❅❄❅❆❅❇❅❈✂❄✂❉✧❋❊✲✂●■❍✎❏▲❑☛✂✵✓✶✂✒ p(0 < p < 1) ✧ ❄❅❉❅❇ ❈✓▼✓❉■❍■❏▲❑✓◆✓❖✒◗P❘✕ X, Y ✩✓❙✓❚✓❯✓❱❃✓❖✓❲❱✓✠❖◗❉❳❍■❏❨❑◗❩✓❄◗❉☛ ❖✂❬✧❪❭ X, Y ☛✂❫✂❴✂✩✂✪✂❵✂✹✂✺✂✩✂✪✖✕ ❛ ❜✂❝✂❞ P(X = m, Y = n) = p 2 q n−2 , m = 1, · · · , n − 1; n = 2, 3, · · · , ❡✦✭✂✮✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = m) = X∞ n=m+1 P(X = m, Y = n) = pqm−1 , m = 1, 2, · · · , P(Y = n) = Xn−1 m=1 P(X = m, Y = n) = (n − 1)p 2 q n−2 , n = 2, 3, · · · . 1
Ch3 相应的条件分布为 P(X=mY=n pgn (n-1)p2qn P(Y=nX=m) pq n-m-1 在看连续型的情况。设(X,Y)是连续型随机变量,这是对任意的x,y 都有 PLX 故不能用条件概率公式来直接计算 为此,改为计算下面的条件概率的极限: limP(X≤x|y-c<Y≤y+e) P(X≤x,y-E<Y≤y+e) P(ve<Y≤y+E) F(a,y+e)-F(a, y-E 2-0+ Fr(y +e)-Fr(y-e oF(x F p(u, y)da 称此极限为在Y=y下X的条件分布函数,记作P(X≤xY=y)或 Fxy(x|y)于是就有 将此式与密度函数公式比较,就自然系以∥手 PY P()为条件Y=y下X的条件 密度函数,记作pxy(xly),即 Pair(aly
Ch3 2 ❢✂❣✂☛✂✹✂✺✂✩✂✪✂✒ P(X = m|Y = n) = p 2 q n−2 (n − 1)p 2q n−2 = 1 n − 1 , P(Y = n|X = m) = p 2 q n−2 pqm−1 = pqn−m−1 . ✆✓✙✓❤✓✐✓✜✓☛✓✣✓✤❥✕❨✥ (X, Y ) ✦❤✓✐✓✜✓☞✓✌✓❀✓✏❥✧❦✝✦◗❧✓♠◗♥☛ x, y ♦❞ P(X = x) = P(Y = y) = 0, ♣✂q✂r✂s✹✂✺✂✵✂✶✂✻✂✼✓t✓✉✂✈✓✇✂①✖✕ ✒✂②❁✧❪③✂✒✂✇✂①✂✴✂④✓☛✂✹✓✺✓✵✂✶✓☛✂⑤✓⑥❘⑦ lim ε→0+ P(X 6 x|y − ε < Y 6 y + ε) = lim ε→0+ P(X 6 x, y − ε < Y 6 y + ε) P(yε < Y 6 y + ε) = lim ε→0+ F(x, y + ε) − F(x, y − ε) FY (y + ε) − FY (y − ε) = ∂F(x, y) ∂y d dy FY (y) = Z x −∞ p(u, y)du pY (y) . ✾②◗⑤◗⑥◗✒◗✆ Y = y ✴ X ☛◗✹◗✺◗✩◗✪◗⑧❬ ✧⑩⑨❷❶ P(X 6 x|Y = y) ❸ FX|Y (x|y) ✕ ❡✦✂❹❞ FX|Y (x|y) = Z x −∞ p(u, y) pY (y) du. ❺②✂✼✂❻✂❼✂❽◗⑧❬ ✻✓✼❳❾✢❿❘✧ ❹➁➀ ❝✾ p(x, y) pY (y) ✒✂✹✂✺ Y = y ✴ X ☛✂✹✂✺ ❼✂❽✂⑧❬ ✧❪⑨✂❶ pX|Y (x|y) ✧❪➂ pX|Y (x|y) = p(x, y) pY (y) . 2
Ch3 例6.1考虑云雾室中粒子的衰变。设任一特定粒子到达衰变所需要的 时间是一随机变量,服从参数为y的指数分布(对不同类型的粒子,其参数 y是不同的)。再设对于云雾室中随机选取的粒子,其参数y是另一随机变 量Y的一个值,而Y服从r(a,B),其中参数a,B是由观察粒子的实验条件 所决定的正的常数。求从云室中随机选取的粒子到达衰变所需时间X的概 率密度函数 解由题目条件可知X的条件概率密度为 ≤ (X,Y)的联合密度为p(x,y)=px(xly)p(y),于是X的概率密度为 PX (a, y)dy Pxjy(aly)py(y)dy (a) dy y r(a)(6+x)+1 +ra 即X的密度函数为 Px(a 7a+,x>0 例62设(X,Y)~N(1,p2,02,02,p),求mx(ylr) 解已经知道X~N(p1,2),代入条件概率公式计算整理可知P1x(y) 是正态分布N(2+p-(x-1),、(1-p2)2)的密度函数。也就是说,二元正 态分布的条件密度还是正态分布
Ch3 3 ❂ 6.1 ✯✂✱✂➃✂➄✂➅ ❍✢➆✓➇☛✓➈✓❀❘✕➉✥♠✓❃✓➊✓➋◗➆✓➇✓▼✓➌➈◗❀✓➍✓➎✓➏✓☛ ❩✎➐✑✦✂❃☞✂✌✂❀✂✏❁✧➒➑✓➓✂➔❬ ✒ y ☛✂→❬ ✩✂✪↔➣ ❧ q✎↕✑➙✜✂☛➆✓➇✧✘★✓➔❬ y ✦ q✎↕☛❳➛➜✕➞➝✓✥❧ ❡➃◗➄✓➅ ❍☞◗✌✓➟✓➠◗☛➆◗➇✧➞★✓➔❬ y ✦✂➡✂❃☞✂✌✓❀ ✏ Y ☛❃ ✿❅➢❁✧➥➤ Y ➑❅➓ Γ(α, β) ✧➥★❍➔❬ α, β ✦ ✷⑩➦❅➧➆❅➇☛✂➨✂➩✂✹✂✺ ➍✂➫➋ ☛✂➭✂☛✓➯❬ ✕➲❭✓➓✓➃✓➅ ❍☞✓✌✓➟✓➠✓☛➆◗➇✓▼✓➌➈✓❀✓➍◗➎❩■➐ X ☛✂✵ ✶✂❼✂❽✂⑧❬ ✕ ❛ ✷✑➳ ❏ ✹✂✺✂➵✂➸ X ☛✂✹✂✺✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX|Y (x|y) = ( ye −yx , x > 0, x 6 . (X, Y ) ☛✂❫✂❴✂❼✂❽✂✒ p(x, y) = pX|Y (x|y)pY (y) ✧ ❡✦ X ☛✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX (x) = Z ∞ −∞ p(x, y)dy = Z ∞ −∞ pX|Y (x|y)pY (y)dy = Z ∞ −∞ ye −yx β α Γ(α) y α−1 e −βy dy = β α Γ(α) Z ∞ −∞ y α e (β+x)u dy = β α Γ(α) Γ(α + 1) (β + x) α+1 = αβ α (β + x) α+1 . ➂ X ☛✂❼✂❽✂⑧❬ ✒ pX(x) = αβ α (β + x) α+1 , x > 0 0, x 6 0. ❂ 6.2 ✥ (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ) ✧❪❭ pY |X(y|x) ✕ ❛➻➺➽➼➾➸➾➚ X ∼ N(µ1, σ 2 1 ) ✧➶➪➾➹➾✹➾✺➾✵➾✶➾✻❅✼❅✇➾①❅➘❅➴❅➵➾➸ PY |X(y|x) ✦ ➭❅➷❅✩❅✪ N(µ2 + ρ σ2 σ1 (x − µ1),(1 − ρ 2 )σ 2 2 ) ☛❅❼❅❽❅⑧❬ ✕➮➬❹✂✦✂➱✧➮✠✂✃✂➭ ➷✂✩✂✪✂☛✂✹✂✺✂❼✂❽✂❐✦ ➭✓➷✂✩✓✪✖✕ 3
Ch4 第四章随机变量的数字特征 §1随机变量的数学期望 对于一个随机变量,我们希望找到一个数值来体现它的取值的平均大 小。在考虑平均的时候,不仅仅要看它的取值,还要考虑到它取那些值的相 应的概率。为此,我们定义了数学期望 先看离散型随机变量。 定义设离散型随机变量X的概率分布列为 P(X=Ik)=Pk, k=1, 2 则称和数 LkPk P(X=Tk) 为随机变量X的数学期望,记作E(X) 在这里,还要要求上面的级数绝对收敛,这样才能保证该和数不会受求 和次序的影响。下面给出几个常用的离散型分布的期望。 (1)两点分布 设X服从参数为P的两点分布,容易计算 E(X)=0·q+1·p=p. (2)二项分布 设X~B(n,p),即 P(X=k)=Cmpq-k,k=0,1,……,n E(X)=∑kCh^qn k=0
Ch4 4 ❒✎❮✑❰ Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Õ✂Ö✂× §1 Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Ø✂Ù✂Ú ❧ ❡❃ ✿◗☞◗✌◗❀◗✏❘✧✢Û❷Ü❷Ý◗Þ❷ß▼❷❃✿❬ ➢◗t❷à❷á❷â◗☛❷➠❷➢◗☛❷ã❷ä❷å æ✕➒✆✂✯✂✱✂ã✂ä✂☛❩✓ç✧ q✓è✓è➏✓✙✓â✓☛✓➠✂➢❘✧é❐✓➏✓✯✂✱▼â✓➠✓ê✓ë✓➢✓☛✂❢ ❣✂☛✂✵✂✶❁✕❪✒✂②✖✧✘Û✓Ü➋✓ì✓í✂❬✓î✂ïÞ✖✕ ✗✂✙✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏❁✕ ð✂ñ ✥✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛✂✵✂✶✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = xk) = pk, k = 1, 2, · · · , ✬✾ ❲✂❬ X k xkpk = X k xkP(X = xk) ✒✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛❬✂î✂ïÞ❁✧❪⑨✂❶ E(X) ✕ ✆✂✝✂✞❁✧❋❐✂➏✂➏✂❭✂ò✂④✂☛✂ó❬✂ô✓❧✂õ✓ö✧❪✝✂÷✓ør✓ù✂ú✓û❲✓❬q✓ü✂ý❭ ❲✂❖✂þ☛✂ÿ✁❁✕❪✴✓④✄✂✆☎✞✝✂✿✓➯s☛✓✚✂✛✓✜✓✩✂✪✓☛ïÞ✖✕ (1) ◆✁✟✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ p ☛◆✁✟✩✂✪❁✧✡✠✁☛✂✇✓① E(X) = 0 · q + 1 · p = p. (2) ✠✁☞✂✩✂✪ ✥ X ∼ B(n, p) ✧❪➂ P(X = k) = C k n p k q n−k , k = 0, 1, · · · , n ✬ E(X) = Xn k=0 kC k np k q n−k = Xn k=1 nCn−1k − 1p k q n−k = npXn−1 k=0 C k n−1 p k q n−1−k = np. 4
Ch4 在定义二项分布的时候,提到过它实际上就是n个两点分布的和的分布,这 里又说明了二项分布的数学期望也等于n个两点分布的数学期望的和 (3) Poisson分布 设X服从参数为入的 Poisson分布,则 E(X)=ke k (4)几何分布 设X服从参数为P的几何分布,则 P k=1 接下来是连续型随机变量的期望。 定义设X具有密度p(x),如果/|lp(x)dx<∞,则称 rp rdr 为X的期望,记作E(X)。 接下来是几个常用的连续型随机变量的期望。 (1)均匀分布 设X服从(a,b)上的均匀分布,则 E(X)= bo-2dz a+b 也就是说,均匀分布的期望刚好是区间的中点 (2)指数分布 设X服从参数为入的指数分布,则 E(X) (3)正态分布
Ch4 5 ✆ ➋❅ì✠✌☞❅✩✓✪✂☛❩✂ç✧✎✍▼✄✏â✂➨✁✑✂ò❹✂✦ n ✿ ◆✌✟✩❅✪❅☛❲☛✂✩✓✪✖✧ ✝ ✞✁✒➱✆✓✑í✠✁☞✂✩✂✪✂☛❬✓î✂ïÞ✂➬✄✔❡ n ✿ ◆✁✟✩✂✪✂☛❬✂î✂ïÞ✂☛❲ ✕ (3) Poisson ✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ λ ☛ Poisson ✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = X∞ i=0 k · e −k λ k k! = X∞ k=1 λe −k λ k−1 (k − 1)! = λ (4) ✝✁✕✂✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ p ☛✁✝✁✕✂✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = X∞ k=1 k · pqk−1 = p · 1 (1 − q) 2 = 1 p . ✈✂✴✂t✦❤✂✐✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏✓☛ïÞ✖✕ ð✂ñ ✥ X ✖ ❞✂❼✂❽ p(x) ✧✡✗✁✘ Z ∞ −∞ |x| p(x)dx < ∞ ✧❪✬✾ Z ∞ −∞ xp(x)dx ✒ X ☛ïÞ❁✧❪⑨✂❶ E(X) ✕ ✈✂✴✂t✦ ✝✂✿✂➯s☛✂❤✂✐✓✜✂☞✓✌✓❀✂✏✓☛ïÞ✖✕ (1) ä✁✙✂✩✂✪ ✥ X ➑✂➓ (a, b) ò✂☛✂ä✁✙✂✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = Z b a 1 b − a xdx = a + b 2 . ➬ ❹✂✦✂➱✧❪ä✁✙✂✩✓✪✓☛ïÞ✁✚✄✛✦✆✜✓➐☛ ❍✞✟ ✕ (2) →❬ ✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ λ ☛✂→❬ ✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = Z ∞ 0 x · λe −λxdx = 1 λ . (3) ➭✂➷✂✩✂✪ 5
Ch4 设X~N(,a2),则 E(X) (ot +ue Idt (4)伽玛分布 设X~r(a,B),则 E T(a) ( §2随机变量函数的期望与期望的性质 定理设X=(X1,X2…,Xn)有联合密度p(x1,…,xn),Y=f(X1,…,Xn), E(Y)= / f(x1,…,xn)p(x1,…,xn)dm1…dxn 这个定理的意义在于,不用求出Y的分布,直接根据X的分布就可以 求出Y的期望。当X为离散型的时候,相应的变为 E(r X 例21设X~U(0, 习),求E(inX)
Ch4 6 ✥ X ∼ N(µ, σ 2 ) ✧❪✬ E(X) = Z ∞ −∞ x · 1 √ 2πσ e − (x − µ) 2 2σ 2 dx = 1 √ 2π Z ∞ −∞ (σt + µ)e− t 2 2 dt = µ. (4) ✢✁✣✩✂✪ ✥ X ∼ Γ(α, β) ✧❪✬ E(X) = Z ∞ ∞ x · β α Γ(α) x α−1 ee −βx dx = 1 Γ(α)β Z ∞ −∞ t α e −t dt = Γ(α + 1) Γ(α)β = α β . §2 Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✁✤✂Ô✂Ó✂Ù✂Ú✁✥✂Ù✓Ú✓Ó✁✦✄✧ ð✩★ ✥ X = (X1, X2 · · · , Xn) ❞➾❫➾❴➾❼➾❽ p(x1, · · · , xn) ✧ Y = f(X1, · · · , Xn) ✧ ✬ E(Y ) = Z · · · Z Rn f(x1, · · · , xn)p(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn. ✝✂✿➋ ➴✂☛♥✂ì✆❡✧ q✓s❭✆☎ Y ☛✂✩✂✪❁✧✘✉✂✈✁✪✁✫ X ☛✂✩✂✪❹ ➵✂✟ ❭✆☎ Y ☛ïÞ❁✕✡✬ X ✒✂✚✂✛✂✜✂☛❩✂ç✧❪❢✓❣✓☛✂❀✓✒ E(Y ) = X i1,··· ,in f(x1i1 , · · · , xnin )p(X1 = x1i1 , · · · , Xn = xnin ). ❂ 2.1 ✥ X ∼ U(0, π 2 ) ✧❪❭ E(sin X) ✕ 6
Ch4 解E(sinX)= sin. cdr 2 例22设X,Y独立同分布N(0,1),求E(√x2+Y2) 解由X,Y独立知它们的联合密度就是各自密度的乘积,于是 E(VX+)=Va 数学期望有下面的基本性质: 数学期望作为一个算子,是线性的,即 E(c0+c1X1+……+cnXn)=c+c1E(X1)+…+cnE(Xn) 例23N件产品中有M件是次品,现在从中无放回的取n次,记 1,第讠次取到正品 X 0,第次取到次品, 令Y=∑X,即Y就是取到的次品总数,求E(Y 解在这里,注意到X1,…,Xn有相同的分布,而E(X1)=3,故 E(Xi) i=1 这里Y服从超几何分布,其期望值如果用分布直接计算会复杂很多 例2.4一个盒子中装有标上1至N的N张卡片,以有放回的方式 张一张的抽取,如果想抽到r张不同的卡片,求抽取次数S的期望值 解记X1,X2,…,Xr分别为抽到一张跟以前标号都不相同的卡片所需 的次数,则Y=X1+…+Xr 显然有X1=1,故E(X1)=1
Ch4 7 ❛ E(sin X) = 2 π Z π 2 0 sin xdx = 2 π ✕ ❂ 2.2 ✥ X, Y ✭✁✮↕✩✂✪ N(0, 1) ✧❪❭ E( √ X2 + Y 2 ) ✕ ❛ ✷ X, Y ✭✁✮➸✂â✂Ü✂☛✂❫✂❴✂❼✂❽❹✓✦✄✯ ➀ ❼✂❽✓☛✄✰✁✱✖✧ ❡✦ E( √ X2 + Y 2) = ZZ R2 p x 2 + y 2 1 2π e − x 2+y 2 2 dxdy = Z 2π 0 dθ Z ∞ 0 1 2π re − r 2 2 · rdr = Z ∞ 0 √ 2t 1 2 e −t dt = √ 2Γ(3 2 ) = pπ 2 . ❬✂î✂ïÞ✂❞✂✴✂④✂☛✁✲✁✳✁✴✄✵❘⑦ ❬✂î✂ïÞ✂❶✂✒❃ ✿✂①➇ ✧ ✦✄✶✴✓☛✖✧✘➂ E(c0 + c1X1 + · · · + cnXn) = c0 + c1E(X1) + · · · + cnE(Xn). ❂ 2.3 N ✺✁✷✁✸ ❍❞ M ✺ ✦✂❖✸❁✧❪á✂✆✂➓❍✺✹✄✻✽✼☛✓➠ n ❖ ✧❪⑨ Xi = ( 1, ❱ i ❖➠ ▼➭✁✸, 0, ❱ i ❖➠ ▼✂❖✸ , i = 1, 2, · · · , n, ✾ Y = Xn i=1 Xi ✧❪➂ Y ❹✂✦➠ ▼ ☛❖ ✸✁✿❬ ✧➒❭ E(Y ) ✕ ❛ ✆✂✝✂✞❁✧✡❀♥✂▼ X1, · · · , Xn ❞✂❢ ↕☛✂✩✂✪❁✧❪➤ E(X1) = M N ✧ ♣ E(Y ) = Xn i=1 E(Xi) = n M N . ✝✂✞ Y ➑✂➓✁❁✁✝✁✕✂✩✂✪❁✧❪★ïÞ✓➢✁✗✄✘s✩✓✪✂✉✓✈✓✇✂①ü✁❂✄❃✄❄✁❅✕ ❂ 2.4 ❃ ✿✁❆➇✎❍✺❇❞ ❑ ò 1 ❈ N ☛ N ❉✁❊✁❋ ✧➒✟✂❞✻✽✼☛✁●✓✼❃ ❉✂❃✁❉☛✁❍✂➠❁✧✡✗✄✘✄■✁❍▼ r ❉ q✎↕☛❊✁❋ ✧❪❭✄❍✂➠❖✂❬ Sr ☛ïÞ✂➢❁✕ ❛ ⑨ X1, X2, · · · , Xr ✩❅❙❅✒✌❍▼✂❃✁❉✁❏✟✁❑❑✁▲♦✓q❢ ↕☛❊✄❋➍✂➎ ☛❖✂❬✧❪✬ Y = X1 + · · · + Xr ✕ ❜✂❝✂❞ X1 = 1 ✧ ♣ E(X1) = 1 ✕ 7
Ch4 x2服从参数为p=N-的这,分布,故E(x)=N-1 同样,E(X) i=1,2 于是,ESr=E(X1+…+Xr)=N N7+1) 在N到够大的时候,比较两次特殊情形:r=N;r= r=N时,ESN=N(1+ 1 +x)wInn 时,ESx= N NIne 可以看出,收。一半的卡片需要的平均次数略多于张数的一半,而收 第部的卡片,需要的次数却为张数的lnN倍,也就是说,越到面,收 别 张新的卡片越联 期望还有下面的下质: 如果随机变量X,Y相合独立,则E(XY)=E(X)E(Y 定义称EX为X的k阶,E(X-EX)为X的k阶中 然于X的,有下面的有 对任意的解 1,都有EX≥(E|X|)° 现在考虑∫(a)=E(X-a)2,f(a)=2a-2EX,可知f(a)在a=EX 时取到,小值
Ch4 8 X2 ➑✂➓✂➔❬ ✒ p = N − 1 N ☛✁✝✁✕✂✩✂✪❁✧ ♣ E(X2) = N N − 1 ✕ ↕÷❁✧ E(Xi) = N N − 2 , i = 1, 2 · · · ✕ ❡✦ ✧ ESr = E(X1 + · · · + Xr) = N( 1 N − r + 1 + 1 N ) ✕ ✆ N ▼✁◆å✂☛❩✂ç✧ ❾✢❿◆✄❖✓➊✁P✣✁◗❘⑦ r = N; r = N 2 ✕ r = N ❩ ✧ ESN = N 1 + 1 2 + · · · + 1 N ∼ NlnN ❘ r = N 2 ❩ ✧ ES N 2 = N 1 N 2 + 1 + · · · + 1 N ∼ Nln2 ✕ ➵✂✟✂✙✆☎ ✧ õ✁❙✂❃✁❚☛❊✁❋➎✂➏✓☛✂ã✓ä❖✓❬✁❯❅❡❉✂❬☛❃✄❚✧❪➤õ✄❙ ❱✁❲☛❊✁❋ ✧❪➎✓➏✂☛❖✂❬✄❳✒❉✓❬☛ lnN ❨ ✧❪➬❹✂✦✂➱✧❬❩▼✄❭④✖✧ õ✄❙✓❃ ❉✁❪☛❊✁❋❩✁❫❁✕ ïÞ✂❐✂❞✂✴✂④✂☛✁✴✁✵✖⑦ ✗✁✘✂☞✂✌✂❀✂✏ X, Y ❢✁❴✭✁✮✧❪✬ E(XY ) = E(X)E(Y ) ✕ ð✂ñ ✾ EXk ✒ X ☛ k ❵✁❛✧ E(X − EX) k ✒ X ☛ k ❵✎❍✺❜✁❛✕ ❝❡ X ☛❛ ✧❪❞✂✴✂④✂☛✁❞✄❡✖⑦ ❧✂♠✂♥☛ α > 1 ✧ ♦❞ E|X| α > (E|X|) α ✕ á❅✆❅✯❅✱ f(a) = E(X − a) 2 ✧ f 0 (a) = 2a − 2EX ✧ ➵❅➸ f(a) ✆ a = EX ❩ ➠ ▼✁❢æ➢❁✕ 8
