86关于分布函数 对于严格递增的分布函数F,可以考虑它的反函数F-1.现在要将其定 义扩展到一般的函数,为此,对于一般的分布函数,给出如下的定义 定义设F(x)是一分布函数,定义F-1(y) F-1(y)=sp{a|F(x)x←÷y>F(x) =→:由F-1(y)>x知x·0使得xF(x)及分布函数的右连续性知彐>0使得y>F(x+e), 于是有 F-(y)≥x+E>x 然后就可以得到下面的这条很基本的定理: 定理设F(x)是分布函数,X~U[0,1,则Y=F-1(X)的分布函数是 F P(Y≤y)=P(F-1(X)≤y) P(X≤F(y) F F-1()还有以下这些性质: (1)F(F-1(y)≥y (2)F-1(F(y)≤v;
Ch2 1 §6 ✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝ ✞✠✟✠✡✠☛✠☞✂✌✂✍✏✎✂✑✏✒✂✓ F ✔✖✕✠✗✠✘✠✙✂✚✍✂✛✏✒✂✓ F −1 ✜✖✢✠✣✠✤✠✥✂✦✂✧ ★✂✩✂✪✂✫✂✬✂✭✍✂✒✂✓✔✯✮✏✰✱✔ ✞✏✟✬✏✭✍✂✎✏✑✏✒✂✓✔✯✲✴✳✶✵✂✷✍✧★✹✸ ✺✂✻✽✼ F(x) ✾ ✬✎✂✑✂✒✂✓✔ ✧★ F −1 (y) F −1 (y) = sup{x|F(x) x ⇐⇒ y > F(x). =⇒ ✸❱❯ F −1 (y) > x ❲ ∃x ∗0 ❳✂❨ x F(x) ❵ ✎✠✑✠✒✠✓✠✍✠❛✂❜✂❝✂❫❲ ∃ε > 0 ❳✠❨ y > F(x+ε) ✔ ✟✾✂❞ F −1 (y) > x + ε > x. ❀✂❡✂❢✕✂✗✂❨✫✷✂❇✍✂❣✏❤✂✐❋✏●✍✧✂❥✸ ✺✂❦✽✼ F(x) ✾ ✎✂✑✂✒✂✓✔ X ∼ U[0, 1] ✔❴❧ Y = F −1 (X) ✍✂✎✂✑✂✒✂✓✾ F(·) ✜▲ P(Y 6 y) = P(F −1 (X) 6 y) = P(X 6 F(y)) = F(y). F −1 (·) ♠✂❞✂✗✂✷❣✂♥✂❫✂♦✸ (1) F(F −1 (y))) > y; (2) F −1 (F(y)) 6 y; 1
(3)若F(x)在x=F-1(y)处连续,则F(F-1(y)=v; (4)F-1(y)左连续
Ch2 2 (3) ♣ F(x) ✣ x = F −1 (y) q❜✂❝✔❴❧ F(F −1 (y)) = y; (4) F −1 (y) r❜✂❝✜ 2
第三章随机向量及其概率分布 §1连续型随机向量及其概率密度函数 定义称概率空间(Ω,F,P)上n个随机变量X1,X2,…,Xn的整体 X=(X1,X2,…,Xn)为n维随机向量 很多随机现象中往往涉及到多个随机变量,例如炮弹的落点(X,Y)就 是两个随机变量组成的一个随机向量。随机向量可以是有限维的,也可以是 无穷维的 个n的随机向量X=(X1,X2,…,Xn)可以看作如下的映射 (X1(),X2(u),…,Xn(u) 其中,每一个分量都是可测的,即 {u|X(u)≤a}∈F 因此 ∩{lX()≤a} {u|X1(u≤a,X2(u)≤a2,…,Xn(u)≤an}∈万 于是,P(X1≤a1,X2≤a2,…,Xn≤an)就有意义了 同样的,定义n维联合分布函数为 F(a )=P(X1≤a1,X2≤ Xn≤ 同一维的分布函数一样,联合分布函数有以下性质 (1) lim F( u1,a2 (2)F对每个分量都是单调非降的; (3)F是右连续的,且左极限存在
Ch3 3 s✂t✂✉ ✈✂✇✂①✂②✂③✂④✂⑤✂⑥✂✄✂☎ §1 ⑦✂⑧✂⑨✈✂✇✂①✂②✂③✂④✂⑤✂⑥✏⑩✂❶✏✆✏✝ ✺❷✻ ❸❷❹❷❺❷❻❆❼ (Ω, F, P) ❽ n ❊❷❾❷❿❷➀❷➁ X1, X2, · · · , Xn ✍❷➂❷➃ X = (X1, X2, · · · , Xn) ✮ n ➄ ❾✂❿❘➅❉➁✜ ✐✂➆❾✂❿✢✂➇❆➈✶➉❷➉✏➊❵ ✫➆❊✏❾✏❿❷➀✏➁✔➌➋✏✵❷➍✏➎✍✏➏✏➐ (X, Y ) ❢ ✾✂➑❊✂❾✂❿✂➀✂➁✂➒✂➓✍✬✂❊✏❾✂❿✴➅❉➁✜ ❾✏❿❘➅✶➁✕✏✗✂✾✏❞✂➔✏➄✍ ✔❴→✏✕✂✗✏✾ ➣✂↔➄ ✍ ✜ ✬✂❊ n ✍❾✂❿❘➅❉➁ X = (X1, X2, · · · , Xn) ✕✂✗✂↕✂➙✂✵✂✷✍✂➛✂➜✸ Ω −→ R n ; ω −→ (X1(ω), X2(ω), · · · , Xn(ω)). ✦❘➈ ✔❴➝✬✂❊✎➁✂➞✾✂✕✏➟✍ ✔✯➠ {ω|Xi(ω) 6 ai} ∈ F. ➡✰➢✔ \n i=1 {ω|Xi(ω) 6 ai} = {ω|X1(ω 6 ai , X2(ω) 6 a2, · · · , Xn(ω) 6 an} ∈ F. ✟✾➢✔ P(X1 6 a1, X2 6 a2, · · · , Xn 6 an) ❢ ❞✂➤★✂➥ ✜ ➦❉➧✍ ✔ ✧★ n ➄✂➨✂➩✎✂✑✂✒✂✓✮ F(a1, a2, · · · , an) = P(X1 6 a1, X2 6 a2, · · · , Xn 6 an). ➦✬ ➄ ✍✂✎✂✑✂✒✂✓✬➧ ✔➫➨✏➩✎✏✑✂✒✏✓❞✂✗✏✷❫✂♦✸ (1) lim ai→−∞ F(a1, a2, · · · , an) = 0, i = 1, 2, · · · , n; lim a1→+∞ a2→+∞ ··· an→+∞ F(a1, a2, · · · , an) = 1; (2) F ✞➝ ❊✎➁✂➞✾ ❭✂❪✂➭✏➯✂✍✹➲ (3) F ✾ ❛✂❜✂❝✂✍ ✔❴➳✂r✏➵✂➔✏➸✣✱✜ 3
Ch3 下面定义连续型的随机向量 定义称n维随机向量(X1,X2,…,Xn)是连续型的,如果存在非负可 积函数p(x1,x2,……,xn),使得对任意的x1,x2,…,Cn,都有 p(t1,t2,…,tn)dt1…dtn 其中,D={(t1,…,tn)t1≤x1,……,tn≤x},并称p(x1,…,xn)为 X1,…,Xn的联合密度函数。 容易看出,联合密度函数并不唯一,改变可数个点的函数值还是密度函 数 下面给出两个最基本的分布 (1)均匀分布 称(X1,X2,…,Xn)为n维区域G上的均匀分布,如果其联合密度为 p( 其他 可以看出,均与分布实际上就是几何概型 (2)多维正态分布 先定义二维的 如果(X,Y)有联合密度 p(, y) exp 2丌a102V1-p2 2(1-p2 )22p(x-p1)(y-p2)(y-p2)2 其中,-∞0,2>0,-1<p<1,则称 (X,Y)服从二维正态分布N(p41,p202,02,p) 然后再定义高维的 称n维随机向量(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,如果它具有密 度 P(
Ch3 4 ✷✂❇✧★❜✂❝✂➺✂✍❾✂❿❘➅✶➁✜ ✺✂✻➻❸ n ➄ ❾✂❿❘➅❉➁ (X1, X2, · · · , Xn) ✾❜✂❝✂➺✂✍ ✔➼✵✏➽❷➸✣➭❷➾✕ ➚✒✂✓ p(x1, x2, · · · , xn) ✔❴❳✂❨✞✂➪➤ ✍ x1, x2, · · · , cn ✔ ➞ ❞ F(x1, x2, · · · , xn) = Z · · · Z D p(t1,t2, · · · ,tn)dt1 · · · dtn. ✦➶➈ ✔ D = {(t1, · · · ,tn)|t1 6 x1, · · · ,tn 6 xn} ✔➘➹❸ p(x1, · · · , xn) ✮ X1, · · · , Xn ✍➨✂➩✂➴✂➷✒✂✓✜ ➬✂➮↕❘✳➱✔✃➨✂➩✂➴✂➷✒✂✓➹ ❃✂❐✬ ✔❴❒➀ ✕✓❊➐✏✍✂✒✏✓✂❮♠✂✾✏➴✂➷✒ ✓✜ ✷✂❇✂✲❘✳❉➑❊✂❰✂❋✂●✍✂✎✏✑✜ (1) Ï✂Ð✎✂✑ ❸ (X1, X2, · · · , Xn) ✮ n ➄❘Ñ❉Ò G ❽ ✍Ï✂Ð✎✂✑✔❴✵✏➽✦➨✏➩✂➴✏➷✂✮ p(x1, · · · , xn) = ( c, (x1, · · · , xn) ∈ G; 0, ✦✂Ó. ✕✂✗✂↕❘✳➱✔❴Ï✂Ô✎✏✑✏Õ✂Ö❽❢ ✾✏×✂Ø❹➺✜ (2) ➆➄✂Ù✂Ú✎✂✑ Û✧★✂Ü➄ ✍ ✜ ✵✂➽ (X, Y ) ❞✂➨✂➩✂➴✂➷ p(x, y) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 · exp − 1 2(1 − ρ 2) · (x − µ1) 2 σ 2 1 − 2ρ(x − µ1)(y − µ2) σ1σ2 + (y − µ2) 2 σ 2 2 . ✦❘➈ ✔ −∞ 0 ✔ σ2 > 0 ✔ −1 < ρ < 1 ✔❬❧❸ (X, Y ) Ý✂ÞÜ➄✂Ù✂Ú✎✂✑ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ) ✜ ❀✂❡✂ß✧★✂à➄ ✍ ✜ ❸ n ➄ ❾✏❿✴➅✶➁ (X1, X2, · · · , Xn) Ý✏Þ n ➄✏Ù✏Ú✎✏✑✔➌✵✏➽✏✚✏á✏❞❷➴ ➷ p(x1, x2, · · · , xn) = 1 (2π) n/2 |Σ| 1/2 · exp − 1 2 (x − µ) 0 Σ −1 (x − µ) , 4
Ch3 p(e, y) 其中,x=(x1,x2,…,),而=(1,p2,…,pn)是参数向量,∑=(1)nxn 是n阶正定矩阵.用记号X~N(u,∑) 容易看出,取 =(1,P 就是二维正态分布。 §2离散型随机向量及边缘分布函数 定义称m维随机向量X=(X1,X2,……Xn是离散型的,如果它只取至 多可数个不同的值 相应的,以二维为例,其概率分布列定义如下: =P(X1,X2)=(x1,x2) 1.2 其中p;满足 (1);≥0,=1,2,…,j=1,2 离散型随机向量中,常见的是多项分布,其定义如下 称(X1,X2,……,X)服从参数为(n;p1,p2,…,p)的多项分布,如果 kr)) 其中k,…,kn为非负整数且∑k=n,∑n=1
Ch3 5 (µ1, µ2) z = p(x, y) x y z O ✦â➈ ✔ x = (x1, x2, · · · ,) 0 ✔äã µ = (µ1, µ2, · · · , µn) 0 ✾✠å✓➅æ➁✔ Σ = (σij )n×n ✾ n ç✂Ù✧✂è❘é➱✜❴ê✂ë✂ì X ∼ N(µ, Σ) ✜ ➬✂➮↕❘✳➱✔❴í µ = (µ1, µ2) 0 , Σ = σ 2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ 2 2 ! , ❢ ✾ Ü➄✂Ù✂Ú✎✂✑✜ §2 î✂ï✂⑨✈✂✇✂①✂②✂③✂ð✂ñ✏✄✏☎✂✆✏✝ ✺✠✻ ❸ n ➄ ❾✠❿â➅æ➁ X = (X1, X2, · · · Xn ✾✠ò✠ó➺✠✍ ✔✖✵✂➽✂✚✏ô✂í✂õ ➆✕✓❊❃➦✍✂❮✜ ö✂÷✍ ✔❴✗Ü➄✂✮✂➋✱✔ ✦❹✏❺✎✏✑✏ø✧★ ✵✂✷✸ pij = P((X1, X2) = (x1i , x2j )), i = 1, 2, · · · , j = 1, 2, · · · . ✦❘➈ pij ù✂ú (1) pij > 0, i = 1, 2, · · · , j = 1, 2, · · · ; (2)X i,j pij = 1. ò✂ó➺❾✂❿❘➅❉➁➈ ✔❴û✏ü✍✾ ➆✏ý✂✎✏✑✔ ✦✏✧★ ✵✏✷✸ ❸ (X1, X2, · · · , Xr) Ý✂Þ✂å✓ ✮ (n; p1, p2, · · · , pr) ✍✂➆✂ý✂✎✂✑✔❴✵✂➽ P((X1, · · · , Xr) = (k1, · · · , kr)) = n! k1! · · · kr! p k1 1 · · · p kr r , ✦❘➈ k1, · · · , kn ✮ ➭✂➾✂➂✂✓➳ Xr i=1 ki = n, Xr i=1 pi = 1 ✜ 5
Ch3 例2.1盒中有2个红球,3个白球,5个黑球共10个球,从中有放 回的取7次,若记X1,X2,X3分别为取到的红球,白球和黑球的数目,则 (X1,X2,X3)是一离散型随机向量,且服从参数为(7;0.2,0.3,0.5)的多项分 布 定义对于一个多维随机向量X=(X1,X2,…,Xn),它的一些分量 (X1,…,Xn),1≤i1<12<…<ik,1≤k<n组成一个新的随机向量,这 个新的随机向量的分布函数就称为边缘分布函数 对于离散型随机变量,以二维为例,设(X,Y)的联合分布为 P(X,Y)=(x,)=P,t=1,2,…,j=1,2 则X的边缘分布为 P(X=x)=∑P(X,1)=(x1,)=∑i=1,2 同样,Y的边缘分布为 PY=y)=∑ny,j 对于连续型随机变量,它的边缘分布函数也有密度函数。以二维为例, 设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y),则边缘密度函数为 Px(a)= p(a, y)dy, py(y)= p(a, y)d.c 证直接根据分布函数的定义 Fx(t)= P(X<t P(X<t p(a, y)d xdy -∞,)x(-∞.∞) P(a, y)dy 根据密度函数的定义可知px(x)=Np(x,g)dy.同理p/(y)=/p(x,ydr 下面看一个例子
Ch3 6 þ 2.1 ÿ➈❞ 2 ❊✁✁✂✔ 3 ❊☎✄✆✂✔ 5 ❊✁✝✁✂✁✞ 10 ❊✁✂✔ Þ➈❞✁✟ ✠✍í 7 ✡✹✔ ♣ë X1, X2, X3 ✎✁☛✮✏í✫✍☞✂✔ ✄✌✂☞✍☞✝☞✂✍❷✓✏✎ ✔ ❧ (X1, X2, X3) ✾ ✬ ò✂ó➺❾✏❿✴➅✶➁✔ ➳❷Ý✏Þ✏å✓ ✮ (7; 0.2, 0.3, 0.5) ✍✂➆✂ý✂✎ ✑✜ ✺❷✻ ✞❷✟✬❷❊➆➄ ❾❷❿➶➅➁ X = (X1, X2, · · · , Xn) ✔✶✚✍✬♥❷✎➁ (Xi1 , · · · , Xik ), 1 6 i1 < i2 < · · · < ik, 1 6 k < n ➒✂➓✂✬✂❊✒✑✍❾✂❿❘➅❉➁✔ ❣ ❊✒✑✍❾✂❿❘➅❉➁✍✂✎✂✑✏✒✏✓❢❸ ✮✁✓✁✔✎✏✑✂✒✏✓✜ ✞✂✟ò✂ó➺❾✂❿✂➀✂➁✔✯✗ Ü➄✂✮✏➋✱✔ ✼ (X, Y ) ✍➨✂➩✎✂✑✮ P((X, Y ) = (xi , yj)) = pij, i = 1, 2, · · · , j = 1, 2, · · · , ❧ X ✍✓✒✔✎✂✑✮ P(X = xi) = X j P((X, Y ) = (xi , yj)) = X j pij, i = 1, 2, · · · . ➦❉➧✔ Y ✍✓✒✔✎✂✑✮ P(Y = yj) = X i pij , j = 1, 2, · · · . ✞✏✟✏❜✏❝✏➺❾✏❿✏➀✏➁✔❱✚✍✓☞✔✎❷✑❷✒✏✓→❷❞❷➴❷➷✒❷✓✜ ✗ Ü➄❷✮❷➋â✔ ✼ (X, Y ) ✍➨✂➩✂➴✂➷✒✂✓✮ p(x, y) ✔❴❧✒✓✒✔✂➴✂➷✒✂✓✮ pX(x) = Z ∞ −∞ p(x, y)dy, pY (y) = Z ∞ −∞ p(x, y)dx. ▲ ✕✒✖✒✗✒✘✎✂✑✂✒✂✓✂✍✧★ ✔ FX(t) = P(X < t) = P(X < t, −∞ < y < ∞) = ZZ (−∞,t)×(−∞,∞) p(x, y)dxdy = Z t −∞ Z ∞ −∞ p(x, y)dy dx. ✗✙✘➴➷ ✒✓✍✧★ ✕✠❲ pX (x) = R ∞ −∞ p(x, y)dy ✜ ➦❥ pY (y) = R ∞ −∞ p(x, y)dx ✜ ✷✂❇✂↕✬✂❊➋✒✚✜ 6
Ch3 例21设(X,y)~N(1,p2,a12,02,p),求X,Y的边缘密度 解直接代入密度函数 2丌o12 p2 2(1-p2 2p(x-1)(y-p2),(y-p2)2 一。 对积分式中部分进行配方整理,得 Px(a) 1)2 exp 2a1o2V1-P2 2(1-p2)a p2) y-12p(x-1) Idy 1)12 exp{-2(1-p2)d )dy (x-p1 exp 即X~N(1,a2).同理Y~N(2,2) 知道了边缘分布,一个很直接的问题是,能不能确定联合分布?答案是 否定的。下面给出一个离散情况的例子 例22一个密封的盒子中放有2个白球,3个黑球。记 ={1.第一次摸到白球 0,第一次摸到黑球; 1,第二次摸到白球, 0,第二次摸到黑球, 计算可知,在有放回和无放回两种情形下,5和都服从参数为04的二项 分布,但有放回和无放回时(5,n)的联合分布是不同的
Ch3 7 þ 2.1 ✼ (X, y) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ) ✔✜✛ X, Y ✍✓✒✔✂➴✂➷✜ ✢ ✕✒✖✒✣✒✤➴✂➷✒✂✓ pX(x) = R ∞ −∞ p(x, y)dy = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 · exp − 1 2(1 − ρ 2) (x − µ1) 2 σ 2 · Z ∞ −∞ exp − 1 2(1 − ρ 2) − 2ρ(x − µ1)(y − µ2) σ1σ2 + (y − µ2) 2 σ 2 2 dy ✞➚✎✒✥➈✧✦✎✒★✒✩✒✪✒✫✏➂❥✔✯❨ pX(x) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 · exp − 1 2(1 − ρ 2 ) (x − µ1) 2 σ 2 + ρ 2 (x − µ1) 2 2(1 − ρ 2 )σ 2 1 · Z ∞ −∞ exp − 1 2(1 − ρ 2 ) y − µ2 σ2 − ρ(x − µ1) σ1 2 dy = 1 √ 2πσ1 · exp − (x − µ1) 2 2σ 2 1 · 1 √ 2πσ2 p 1 − ρ 2 · Z ∞ −∞ exp − 1 2(1 − ρ 2 )σ 2 2 y − µ2 − ρσ2(x − µ1) σ1 2 dy = 1 √ 2πσ1 exp − (x − µ1) 2 2σ 2 1 . ➠ X ∼ N(µ1, σ 2 1 ) ✜ ➦❥ Y ∼ N(µ2, σ 2 2 ) ✜ ❲✒✬➥✓✒✔✎✂✑✔ ✬✏❊✐✕✁✖✍☎✭■ ✾✹✔✯✮❃ ✮✁✰✧➨✏➩✎✏✑✲✱✴✳✒✵✾ ✶✧✍ ✜ ✷✂❇✂✲❘✳ ✬✏❊ò✏ó✒✷✁✸✍➋✁✚✜ þ 2.2 ✬✂❊➴✒✹✍ÿ✒✚➈✟✂❞ 2 ❊✺✄✧✂✔ 3 ❊✒✝✒✂✜❴ë ξ = ( 1, ✻✬ ✡✒✼✫✺✄✧✂, 0, ✻✬ ✡✒✼✫✒✝✒✂; η = ( 1, ✻ Ü ✡✒✼✫✺✄✧✂, 0, ✻ Ü ✡✒✼✫✒✝✒✂, ✽✒✾✕✂❲✱✔ ✣❞✁✟✠✍➣ ✟ ✠➑✁✿✁✷✁❀✏✷✹✔ ξ ✍ η ➞Ý✂Þ✂å✓ ✮ 0.4 ✍Üý ✎✂✑✔✜❁✂❞✒✟✠✍➣ ✟ ✠✆❂ (ξ, η) ✍➨✂➩✎✂✑✾ ❃➦✍ ✜ 7