北京交通大学： 2002-2003学年第一学期概率统计（A）重修课考试试卷答案

002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 2002-2003学年第一学期概阜论与教狸统计(A)重慘考试试卷答素 填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 1.某人连续三次购买体育彩票,设A1,A2,A3分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件, 设 B={不止一次中奖} 若用A1、A2、A表示B,则有B 2.一射手对同一目标进行4次,规定若击中0次得-10分,击中1次得10分,击中2次得50分,击 中3次得80分,击中4次得100分,假定该射手每发的命中率为06,令X表示所得的分数,则 3.已知随机变量X服从参数为2的泊松(Pson)分布,且随机变量Z=2X-2,则E(z)= 4设连续型随机变量X的密度函数为(x)==e-2+3(-<x<+),则D(x)= s.设总体x~N(,04),(,x,…,x)是从中抽取的一个样本的样本观测值,算得 x=10.12,则的置信度为095的置信区间为 (已知:=o05=1.96 =1.645) 答案 1.A1A2∪AA3∪A2A3 2.59.168 3.2 5.(9924,10316) 第1页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 1 页 共 9 页 2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 一．填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）请将合适的答案填在每题的空中 1．某人连续三次购买体育彩票，设 A1， A2， A3 分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件， 又设 B = 不止一次中奖 ， 若用 A1、 A2 、 A3 表示 B ，则有 B = ________________________________． 2．一射手对同一目标进行 4 次，规定若击中 0 次得-10 分，击中 1 次得 10 分，击中 2 次得 50 分，击 中 3 次得 80 分，击中 4 次得 100 分，假定该射手每发的命中率为 0.6，令 X 表示所得的分数，则 EX = _________． 3． 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松（Poisson）分布，且随机变量 Z = 2X − 2 ，则 E(Z)= ____________． 4．设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 1 1 2 − + − = x x f x e  (−   x  +) ，则 D(X) =___________． 5．设总体 ( ) 2 X ~ N ， 0.4 ， ( ) 1 2 16 x， x ，， x 是从中抽取的一个样本的样本观测值，算得 x =10.12 ，则  的置信度为 0.95 的置信区间为___________． （已知： z0.025 =1.96 ， z0.05 =1.645 ） 答案： 1． A1A2  A1A3  A2A3 ； 2． 59.168 ； 3． 2 ； 4． 2 1 ； 5． (9.924，10.316) ；

002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内 1.设A、B为两个随机事件,且AcB,P(B)>0,则下列选项必然正确的是 (4).P(4)P(4|B) (D)P(4)≥P(4|B) 2.设X与Y为两个随机变量,且 P{x≥0,y20}=3,P(x≥0}=P{y≥0}=4 则P{mx(X,1)≥0}= 3.设随机变量X与Y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则U与之间必有 (4)独立 相关系数为零 (C)不独立 (D)相关系数不为零 4.设X与Y是两个相互独立的随机变量,则下列说法中,正确的是 (4)当己知X与Y的分布时,对于随机变量X+Y,可使用 Chebyshev(切比雪夫)不等式进行概 率估计 (B)当已知X与Y的数学期望与方差都存在时,可使用 Chebysher(切比雪夫)不等式估计随机变量 x+y落在任意区间(,b)内的概率 (C)当已知x与Y的数学期望与方差都存在时,可使用 Chebyshev(切比雪夫)不等式估计随机变量 X+y落在对称区间+a,a)(a>0)内的概率 (D)当已知X与y的数学期望与方差都存在时,可使用 Cheby shev(切比雪夫)不等式估计随机变 量X+y落在区间(E(x)+E()-a,E(X)+E()+a)(a>0)内的概率 第2页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 2 页 共 9 页 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设 A 、 B 为两个随机事件，且 A  B ， P(B)  0 ，则下列选项必然正确的是 (A). P(A) P(AB) ； (B). P(A) P(AB) ； (C). P(A)  P(AB) ； (D). P(A) P(AB) ． 【 】 2．设 X 与 Y 为两个随机变量，且   7 3 P X  0， Y  0 = ，     7 4 P X  0 = P Y  0 = ， 则 Pmax(X，Y) 0= (A) 7 5 ； (B) 49 16 ； (C) 7 3 ； (D) 49 40 ． 【 】 3．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U = X −Y ，V = X +Y ，则 U 与 V 之间必有 (A) 独立； (B) 相关系数为零； (C) 不独立； (D) 相关系数不为零． 【 】 4．设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，则下列说法中，正确的是 (A) 当已知 X 与 Y 的分布时，对于随机变量 X + Y ，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式进行概 率估计； (B) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量 X + Y 落在任意区间 (a， b) 内的概率； (C) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量 X + Y 落在对称区间 (− a， a) (a  0) 内的概率；； (D) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变 量 X + Y 落在区间 (E(X)+ E(Y)− a， E(X)+ E(Y)+ a) (a  0) 内的概率；． 【 】

200200学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 5.设总体X~N,a),(x,X,…,x)是从该总体中抽取的一个简单随机样本,则 是a2的无偏估计量 n+1 (D)a2=,∑ (n+1)2 答案 3.(B) 三,(本题满分10分) 将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中, 每一个盒子中只放一个球.求球与盒子的颜色都不一致的概率 设B={球与盒子的颜色都不一致,并设 A4={黑球放入黑盒},A2={红球放入红盒},A1={黄球放入黄盒}, A={蓝球放入蓝盒,A={白球放入白盒} 则B=∩4=U4,所以 P(B)=PUA,=1-PIUA 1-∑P(4)+∑P(4)-∑P(4)+∑P(144)-P(41424414) 第3页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 3 页 共 9 页 5．设总体 ( ) 2 X ~ N 0， ， ( ) X1， X2，， Xn 是从该总体中抽取的一个简单随机样本，则 _____________是 2  的无偏估计量． (A) − = = n i Xi n 1 2 2 1 1 ˆ ； (B) + = = n i Xi n 1 2 2 1 1 ˆ ； (C) = = n i Xi n 1 2 1 2 ˆ ； (D) ( )  + = = n i Xi n n 1 2 2 2 1 ˆ ． 【 】 答案： 1． (B) ； 2． (A) ； 3． (B) ； 4． (D) ； 5． (C)． 三．（本题满分 10 分） 将 5 个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入 5 个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中， 每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率． 解： 设 B = 球与盒子的颜色都不一致  ，并设 A1 = 黑球放入黑盒  ， A2 = 红球放入红盒  ， A3 = 黄球放入黄盒  ， A4 = 蓝球放入蓝盒 ， A5 = 白球放入白盒 ． 则   5 1 5 =1 = = = i i i B Ai A ，所以 ( )         = −         = = =   5 1 5 1 1 i i i P B P Ai P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 5 1 1 P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A i j k l i j k l i j k i j k i j i j i = − i + −  +  − =      

00200学年第二学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 P(A)= (i=1,2, P(44)=2(153+3 l!1 3! 二+C4 l!111 5!5!30 四。(本题满分10分) 某工厂宣称自己的产品的次品率为20%,检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件,发现有3件次 品,可否据此判断该厂谎报了次品率? 解 设X:抽取10件产品中的次品数,则X~B(0,02) 所以,P(X=3)=C0×023×0.87=0.2013 因此随机事件“{X=3}”并非是小概率事件,故不能据此判断该厂谎报了次品率 五.(本题满分10分) 设随机变量X的密度函数为 fx(x) 0<x<丌 0其它 而Y=simX,试求随机变量Y的密度函数f(v) 第4页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 4 页 共 9 页 而 ( ) 5! 4! P Ai = ( i =1， 2，3， 4，5 )， ( ) 5! 3! P Ai Aj = ( i  j )， ( ) 5! 2! P Ai Aj Ak = ( i  j  k )， ( ) 5! 1! P Ai Aj Ak Al = ( i  j  k  l )， ( ) 5! 1 P A1A2 A3A4 A5 = ． 所以， ( ) 5! 1 5! 1! 5! 2! 5! 3! 5! 4! 1 5 1 = − + −  +  − i= i j i jk i jkl P B 30 11 5! 1 5! 1! 5! 2! 5! 3! 5! 4! 1 5 4 5 3 5 2 = −  +C5  −C  +C  − = ． 四．（本题满分 10 分） 某工厂宣称自己的产品的次品率为 20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取 10 件，发现有 3 件次 品，可否据此判断该厂谎报了次品率？ 解： 设 X ：抽取 10 件产品中的次品数，则 X ~ B(10， 0.2) 所以， ( 3) 0.2 0.8 0.2013 3 3 7 P X = = C10   = 因此随机事件“ X = 3 ”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率． 五．（本题满分 10 分） 设随机变量 X 的密度函数为 ( )       = 0 其它 0 2 2   x x f x X ， 而 Y = sin X ，试求随机变量 Y 的密度函数 f (y) Y ．

002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 解 由随机变量X在区间(O,z)上取值,可知随机变量Y=snx在区间(,1)上取值.设随机变量Y 的分布函数为F(),则有 F()=P{y≤y}=PsmX≤y} ①.如果y≤0,则有F()=0 ②.如果0<y<1,则有 F()=P{≤y}=PsnX≤y} =P0≤X≤ arcsin y}+P{z- arcs ysXsT} xdx+ ③如果y≥1,则有F()=1 < 即F()={2「xa+ xdx 0<y<I ≥1 0<y<1 f()=F(y) arcsin J arcsin 其它 0< 即f(y)= 其它 六.(本题满分10分) 设二维随机变量(X,Y)服从矩形 D={(x,y):0≤x≤2,0≤y≤1} 上的均匀分布.记 第5页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 解： 由随机变量 X 在区间 (0， ) 上取值，可知随机变量 Y = sin X 在区间 (0，1) 上取值．设随机变量 Y 的分布函数为 F (y) Y ，则有 FY (y) = PY  y= Psin X  y ①. 如果 y  0 ，则有 FY (y) = 0 ； ②. 如果 0  y  1 ，则有 FY (y) = PY  y= Psin X  y = P0  X  arcsin y+ P −arcsin y  X     − = +     y y xdx xdx arcsin 2 arcsin 0 2 2 2 ③. 如果 y  1 ，则有 FY (y) =1 即 ( )         +    =   − 1 1 0 1 2 2 0 0 arcsin 2 arcsin 0 2 y xdx xdx y y F y y y Y     所以， ( ) ( ) ( )        − +  −  −   =  = 0 其它 0 1 1 1 arcsin 2 1 1 arcsin 2 2 2 2 2 y y y y y f y F y Y Y    即 ( )        = − 0 其它 0 1 1 2 1 2 2 y fY y  y 六．（本题满分 10 分） 设二维随机变量 (X，Y) 服从矩形 D =  (x, y)： 0  x  2， 0  y 1  上的均匀分布．记：

00200学年第二学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 ∫0X≤Y 0X≤2Y X>Y 1x>2y 试求X与Y的相关系数p,并判断U与V是否相互独立? 由题意可得P(x≤y}=1,P{x>2y}=1,P{y2y}=P(∞)=0 PU=1 V=0)Plx>y, Xs2Y=py<xsr)=4 P{U=1,=l}=1- 111 44 U,V的联合分布律及各自的边缘分布律为 0.25 0.25 0.25 0.5 0.75 所以,F3 DU、3 Ev DV= 又E()2=1 所以,coV,V)=E()-(EUE)=13、少 P=/D 16V4 由于p≠0,所以U与V相关,从而U与V不独立 第6页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 6 页 共 9 页      = X Y X Y U 1 0      = X Y X Y V 1 2 0 2 试求 X 与 Y 的相关系数  ，并判断 U 与 V 是否相互独立？ 解： 由题意可得   4 1 P X  Y = ，   2 1 P X  2Y = ，   4 1 P Y  X  2Y = ， 所以，       4 1 P U = 0， V = 0 = P X  Y， X  2Y = P X  Y = ， PU = 0，V =1= PX Y， X  2Y= P() = 0，       4 1 P U =1，V = 0 = P X  Y， X  2Y = P Y  X  Y = ，   2 1 4 1 4 1 P U = 1， V = 1 = 1− − = ， (U，V) 的联合分布律及各自的边缘分布律为 V U 0 1 i p 0 0.25 0 0.25 1 0.25 0.5 0.75 j p 0.5 0.5 所以， 4 3 EU = ， 16 3 DU = ， 2 1 EV = ， 4 1 DV = ． 又 ( ) 2 1 E UV = ， 所以， ( ) ( ) ( )( ) 8 1 2 1 4 3 2 1 cov U，V = E UV − EU EV = −  = ( ) 3 1 4 1 16 3 8 1 cov =  = = DU DV U， V  由于   0 ，所以 U 与 V 相关，从而 U 与 V 不独立．

002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 七.(本题满分10分) 某运输公司有500辆汽车参加保险,在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006,每辆参加保险的汽车 每年交保险费800元,若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元.试利用中心极限定理计算,保险公司 一年赚钱不小于200000元的概率 (附:标准正态分布分布函数Φx)表: 0.56 0.57 0.58 0.59 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 设A={某辆汽车出事故}则P(4小)=0006 设X:运输公司一年内出事故的车数.则X~B(50O,0006) 保险公司一年内共收保费800×500=400000,若按每辆汽车保险公司赔偿5000元计算,则保险公 司一年赚钱不小于200000元,则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆.因此所求概率为 P(X≤4)= X-500×0.006 -500×0.006 500×0.006×0.994500×0.006×0.994 X-500×0.006 ≤0.58|≈c(058)=07190 500×0.006×0.994 八。(本题满分10分) 设总体X服从对数正态分布,其密度函数为 (hx-) 其中-∞0都是未知参数,(X1,…,x)是从该总体中抽取的一个样本试求与 的最大似然估计 解:似然函数为 lu, a2)=[12To2 2 x exp x2…Xn)exp (x,>0,i=1,…, 第7页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 7 页 共 9 页 七．（本题满分 10 分） 某运输公司有 500 辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为 0.006，每辆参加保险的汽车 每年交保险费 800 元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿 50000 元．试利用中心极限定理计算，保险公司 一年赚钱不小于 200000 元的概率． （附：标准正态分布分布函数 (x) 表： x 0.56 0.57 0.58 0.59 (x) 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 解： 设 A = 某辆汽车出事故  ，则 P(A) = 0.006 ． 设 X ：运输公司一年内出事故的车数．则 X ~ B(500， 0.006) ． 保险公司一年内共收保费 800500 = 400000 ，若按每辆汽车保险公司赔偿 50000 元计算，则保险公 司一年赚钱不小于 200000 元，则在这一年中出事故的车辆数不能超过 4 辆．因此所求概率为 ( )           −     −   = 500 0.006 0.994 4 500 0.006 500 0.006 0.994 500 0.006 4 X P X P          −  = 0.58 500 0.006 0.994 X 500 0.006 P  (0.58) = 0.7190 八．（本题满分 10 分） 设总体 X 服从对数正态分布，其密度函数为 ( ) ( ) ( )       − = − − − 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 2 exp       x f x； ， x ( x  0 ) 其中 −    + 与   0 都是未知参数， ( ) X1，， Xn 是从该总体中抽取的一个样本．试求  与 2  的最大似然估计． 解：似然函数为． ( ) ( ) ( ) = − −         − = − n i i i x L x 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 2 exp   ，    ( ) ( ) ( )               − = −  − = − 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ln 2 exp     n i i n n x x x x ( x i n) i  0， =1，

002-2003学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 ∑(n 取对数,得h(m,a)=-hn(xa2)-(x“人令x-少2 2 xi-A 所以,{Q ∑(nx;-)2 In xi-A 由此得方程组 n 1 ∑(nx-) ∑hx 解此方程组,得μ=n In 因此,M与σ的最大似然估计为 In x Inx--InX 九.(本题满分10分) 设总体XM(,a2),其中是已知参数,口2>0是未知参数.(x,x2,…,xn)是从该总 体中抽取的一个样本 (1).求未知参数a2的极大似然估计量G2 (2).判断G2是否为未知参数a2的无偏估计 解 (1)当a2>0为未知,而-<+∞为已知参数时,似然函数为 ()=(2xo2)2 因而h4(G)=-2m() 第8页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 8 页 共 9 页 取对数，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 ln ln 2 ln 2 ln       = − = − − − n i i n x x x x n L ，  所以， ( ) ( ) ( ) ( )          − = −  +   − =     = = 4 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ln 1 2 ln 2 ln ln            n i i n i i x n L x L ， ， 由此得方程组 ( ) ( )          = − −  + = −   = = 0 2 ln 1 2 0 2 ln 4 1 2 2 2 1      n i i n i i x n x 解此方程组，得 = = n i i x n 1 ln 1  ，   = =       = − n i n i i i x n x n 1 2 1 2 ln 1 ln 1  因此，  与 2  的最大似然估计为 = = n i Xi n 1 ln 1 ˆ ，   = =       = − n i n i i Xi n X n 1 2 1 2 ln 1 ln 1 ˆ ． 九．（本题满分 10 分） 设总体 ( ) 2 X ~ N ， ，其中  是已知参数， 0 2   是未知参数． ( ) X1， X2，， Xn 是从该总 体中抽取的一个样本， ⑴. 求未知参数 2  的极大似然估计量 2  ˆ ； ⑵. 判断 2  ˆ 是否为未知参数 2  的无偏估计． 解： ⑴. 当 0 2   为未知，而 −    + 为已知参数时，似然函数为 ( ) ( ) ( )       = −  − = − n i i n L x 1 2 2 2 2 2 2 1 2 exp      ( 0) 2   因而 ( ) ( ) ( ) = = − − − n i i x n L 1 2 2 2 2 2 1 ln 2 2 ln      ( 0) 2  

200200学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案 所以,由似然方程-hlG) (2) (,-) 解得a2=∑(x,-) 因此,σ2的极大似然估计量为G21 ∑(X-) 2因为x,~N(,a2)(=1, X ~N(0,n)(=,2,…,n) 所以(x)-z20)(=,2.…,m X 所以E 因此,EG)=lx x1- 所以,2=(x-)是未知参数口的无偏估计 第9页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案 第 9 页 共 9 页 所以，由似然方程 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 ln 4 1 2 2 2 2 = − + −  =   =      n i i x n L ， 解得 ( ) = = − n i i x n 1 2 1 2   ， 因此， 2  的极大似然估计量为 ( ) = = − n i Xi n 1 2 1 2 ˆ  ． ⑵. 因为 ( ) 2 Xi ~ N ，  (i =1， 2，， n)， 所以 ~ N(0，1) Xi  −  (i =1， 2，， n)， 所以 ~ (1) 2 2          Xi − (i =1， 2，， n)， 所以 1 2 =               −  Xi  E (i =1， 2，， n)， 因此， ( ) ( )       =  − = n i Xi n E E 1 2 1 2 ˆ     = = =               − =               − =               − = n i i n i i n i i X E n X E n X n E 1 2 2 1 2 2 1 2 2          2 2   =  n = n 所以， ( ) = = − n i Xi n 1 2 1 2 ˆ  是未知参数 2  的无偏估计．