深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 §2 方差

第四章随机变量的数字特征

2 第四章 随机变量的数字特征

分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性.但在一些实际问题中,不需要去全面考虑 随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的 某些特征,因而并不需要求出它的分布函数. 例如,在评定某一地区的粮食产量的水平时 在许多场合只要知道该地区的平均产量;又如 在研究水稻品种优劣时,时常是关心稻穗的平 均稻谷粒数;再如检查一批棉花的质量时,即 需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长 度与平均长度的偏离程度.因此,与随机变量 的有关数值,能够描述随机变量的重要特征

3 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑 随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的 某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 例如, 在评定某一地区的粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量; 又如 在研究水稻品种优劣时, 时常是关心稻穗的平 均稻谷粒数; 再如检查一批棉花的质量时, 即 需要注意纤维的平均长度, 又需要注意纤维长 度与平均长度的偏离程度. 因此, 与随机变量 的有关数值, 能够描述随机变量的重要特征

§1数学期望

4 §1 数学期望

个例子.一射手进行打靶练习,规定射入区 域e2得2分,射入区域e1得1分,脱靶,即射入区 域eo,得0分.射手一次射击得分数X是一个随 机变量

5 一个例子. 一射手进行打靶练习, 规定射入区 域e2得2分, 射入区域e1得1分, 脱靶, 即射入区 域e0 , 得0分. 射手一次射击得分数X是一个随 机变量. e0 e1 e2

设X的分布律为 P{X=k}=pbk=0,1,2 现在射击N次,N是一个很大的数,也可能是 百,也可能是一万,等等.其中得0分的有ao次, 得1分的有a1次,得2分的有a2次, 0+a1+a 射击这N次得分总和为a×0+a1×1+a2×2.于是 平均一次射击的得分数为 a0×0+a1×1+a2×2 k N N k=0

6 设X的分布律为 P{X=k}=pk , k=0,1,2. 现在射击N次, N是一个很大的数, 也可能是一 百, 也可能是一万, 等等. 其中得0分的有a0次, 得1分的有a1次, 得2分的有a2次, a0+a1+a2 =N. 射击这N次得分总和为a00+a11+a22. 于是 平均一次射击的得分数为 . 0 1 2 2 0 0 1 2 = =  +  +  k k N a k N a a a

a0×0+a1×1+a2×2 k N N k=0 这里,akM是事件{k}的频率.当N很大时, akN将近似为事件{k}的概率pk就是说, 在试验次数很大时,随机变量Xx的观察值的算 术平均kan/M近似等于∑kp我们称 =0 k为随机变量x的数学期望或均值. =0

7 这里, ak /N是事件{X=k}的频率. 当N很大时, ak /N将近似为事件{X=k}的概率pk . 就是说, . / . , 2 0 2 0 2 0 为随机变量 的数学期望或均值 术平均 近似等于 我们称 在试验次数很大时 随机变量 的观察值的算 k p X k a N k p X k k k k k k    = = = . 0 1 2 2 0 0 1 2 = =  +  +  k k N a k N a a a

定义设离散型随机变量Ⅺ分布律为 PIXxks-Pk k=1,2, 若级数 kp k=1 绝对收敛,则称此级数的和为随机变量X的数 学期望,记为E(X.即 E(X)=∑xkPk (1.1)

8 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk , k=1,2,.... 若级数   k =1 k k x p 绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量X的数 学期望, 记为E(X). 即 ( ) (1.1) 1   = = k k k E X x p

设连续型随机变量X的概率密度为(x),若积分 xf(x)dx 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数 学期望,记为E(X)即 E(X)= xf(x)dx (1.2) 数学期望简称期望,又称为均值

9 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分   − xf(x)d x ( ) ( )d (1.2)   − E X = x f x x 绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数 学期望, 记为E(X). 即 数学期望简称期望, 又称为均值

例1甲乙二人打靶,所得分数分别记为,H2, 它们的分布律分别为 X1012 X012 Pk00.20.8 Pk0.60.30.1 试评定他们成绩的好坏 解计算X1,X2的数学期望为 E(X)=0×0+1×0.2+2×0.8-1.8(分) E(H2)=0×06+1×0.3+2×0.1=0.5(分) 很明显乙的成绩远不如甲的成绩

10 例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1 ,X2 , 它们的分布律分别为 试评定他们成绩的好坏. 解 计算X1 ,X2的数学期望为 E(X1 )=00+10.2+20.8=1.8(分) E(X2 )=00.6+10.3+20.1=0.5(分) 很明显乙的成绩远不如甲的成绩. X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1

例2有2个相互独立工作的电子装置,它们的 寿命ⅹ(k-1,2)服从同一指数分布,其概率密度 为 -x/0 f(x)=16 >0 6>0. x<0 若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整 机寿命(以小时计)的数学期望

11 例2 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的 寿命Xk (k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度 为        = − 0. 0, 0, e , 0, 1 ( ) /    x x f x x 若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整 机寿命(以小时计)N的数学期望