第四章级数 §1复数项级数
2 第四章 级数 §1 复数项级数
1.复数列的极限设{axn}(n=1,2,…)为一复数列, 其中an=an+in,又设aa+边为一确定的复数 如果任意给定0,相应地能找到一个正数 Na),使|axn-cM时成立,则a称为复数 列{an}当n->∞时的极限,记作 C 1 1→0 此时也称复数列{an}收敛于a
3 1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an =an +ibn , 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数 N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数 列{an}当n→时的极限, 记作 a =a → n n lim 此时也称复数列{an}收敛于a
定理一复数列{an}(n=-1,2,…)收敛于a的充要 条件是lman= a lim b=b [证]如果ima.=a,则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N,当n>M时, (an+ibm)-(a+ib)ka lan-a(ar-a)+i(bn-bk8 所以man=a,同理imbn=b n→>0 n→0
4 定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要 条件是 a a b b n n n n = = → → lim ,lim lim , lim . | | | ( ) ( )| | ( ) ( )| a a b b a a a a i b b a ib a ib n n n n n n n n n = = - - + - + - + → → 所以 同理 则 e e [证] 如果 , 则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N, 当n>N时, a =a → n n lim
反之,如果 lim a =a. lim b=b n→> n→> 则任给E,存在N,当n>N时 lan-akob-bk 从而有 a-a=(am-a)+i(b-b) 1+16-bke 所以limn=a. n→)
5 反之, 如果 lim . | | | | | | | ( ) ( )| 2 ,| | 2 | | , , , lim ,lim a a e a a e e e = - + - - = - + - - - = = → → → n n n n n n n n n n n n n a a b b a a i b b a a b b N n N a a b b 所以 从而有 则任给 存在 当 时
2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,)为一复 数列,表达式 Cn=01++……+Cn+ 称为无穷级数,其最前面n项的和 Sn=C1+a2+…+an 称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛, 则级数∑a称为收敛,并且极限ms=S称 为级数的和如果数列n不收敛,则级数 ∑a称为发散 n=1
6 2. 级数概念 设{an}={an +ibn}(n=1,2,...)为一复 数列, 表达式 = + ++ + = n n an a1 a2 a 1 . . { } , , lim 1 1 称为发散 为级数的和 如果数列 不收敛 则级数 则级数 称为收敛 并且极限 称 = → = = n n n n n n n s s s a a 称为无穷级数, 其最前面n项的和 sn =a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛
定理二级数∑an收敛的充要条件是级数 ∑a和∑bn都收敛 证]因n=a1+a2+…+an=(a1+a2+.+an) +i(b +b2+...+bn=ntit, 其中σn=a1+a2+.….+an,G=b1+b2+…+bn分别为 ∑an和∑b的部分和,由定理 s有极限存在的充要条件是{G和{v}的极 限存在,即级数∑an和∑b都收敛
7 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn =a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an ) +i(b1+b2+...+bn )=sn +itn , 其中sn =a1+a2+...+an , tn =b1+b2+...+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极 限存在, 即级数 和 都收敛. n=1 a n n=1 n a n=1 bn n=1 n a n=1 n b n=1 n a n=1 n b
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题 oo 而由实数项级数∑an和∑b收敛的必要条件 lim a=0和imb=0 n→00 n→0 立即可得mman=0,从而推出复数项级数 n→>0 ∑a收敛的必要条件是man=0
8 定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题. lim 0. lim 0, lim 0 lim 0, 1 1 1 = = = = → = → → → = = n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a a 收敛的必要条件是 立即可得 从而推出复数项级数 和 而由实数项级数 和 收敛的必要条件
定理三 如果∑|an收敛则∑an也收敛,且不等式 ∑a∑|an成立 n=1 n=1 由于∑|an|=∑Va2+b T a, kv a +b2, b,kva +b2
9 定理三 成立 如果 收敛 则 也收敛 且不等式 = = = = 1 1 1 1 | | | | , , n n n n n n n n a a a a 2 2 2 2 1 2 2 1 | | ,| | | | , n n n n n n n n n n n a a b b a b a a b + + = + = = 而 由于 [证]
可知级数∑|an收∑|b嘟收敛,因而 ∑a和∑b也都收敛,则∑a,是收敛的 而义因aa因此 k=1 lim lim ∑ k=1 k=1 或∑aA∑|a k=1
10 = = = → = → = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | lim lim | | | |, , . | | | | , k k k k n k k n n k k n n k k n k k n n n n n n n n n n a b a b a a a a a a a 或 而又因 因此 和 也都收敛 则 是收敛的 可知级数 及 都收敛 因而
如果∑|an|收敛则称级数∑a绝对收敛 n=1 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数
11. | | , . 1 1 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 如果 收敛 则称级数 绝对收敛 = = n n n an a