§5复变函数
2 §5 复变函数
1.复变函数的定义 定义设G是一个复数z=x+i的集合,如果有 确定的法则存在,按照这一法则,对于集合 G中的每一个复数z,航有一个或几个复数 W=+i与之对应,则称复变数w是复变数z的函 数(简称复变函数),记作 wf(z 如果z的一个值对应着w的一个值,则函数(z) 是单值的;否则就是多值的.集合G称为(z)的 定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所 成的集合G*,称为函数值集合
3 1. 复变函数的定义 定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一 个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合 G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数 w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函 数(简称复变函数), 记作 w=f(z) 如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z) 是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的 定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所 成的集合G*, 称为函数值集合
在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面 区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所 讨论的函数均为单值函数 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了 两个实数x和y,而复数w=+i亦同样地对应着 一对实数和v,所以复变函数w和自变量z之间 的关系w=(z)相当于两个关系式 u=u(xy), v-v(r,y) 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数
4 在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面 区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所 讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了 两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着 一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间 的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数
例如,考察函数 W-z 令z=x+iy,w=u+iv,则 utive=(x+iy)2=x2-y2+2xyi 因而函数w=z对应于两个二元函数 =x2-y2,1=2x
5 例如, 考察函数 w=z 2 令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy) 2=x 2-y 2+2xyi, 因而函数w=z 2对应于两个二元函数: u=x 2-y 2 , v=2xy
2.映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值,而用另 个平面w平面上的点表示函数的值,则函数 W=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一 个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集 G*(函数值集合)的映射(或变换.这个映射通 常简称为由函数w=2)所构成的映射.如果G 中的点z被映射形=f2)映射成G*中的点w,则w 称为z的象(映象),而z称为w的原象
6 2. 映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一 个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数 w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一 个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集 G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通 常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G 中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w 称为z的象(映象), 而z称为w的原象
设函数=z, y B Z B
7 设函数w=z, x y O u v O A B C z1 z2 A' B' C' w1 w2
设函数w=z2 2a
8 2a 设函数w=z 2 , x y O u v O z1 z2 w2 z3 w3 a w1
假定函数=f2)的定义集合为z平面上的集合 G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中 的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点 按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值 (或多值)函数z=以(0),它称为函数wf(z)的反 函数,也称为映射=f2)的逆映射 从反函数的定义可知,对任意的w∈G*,有 =()], 当反函数为单值函数时,也有 z=(z),z∈G
9 假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合 G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中 的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值 (或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反 函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射. 从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有 w=f[j(w)], 当反函数为单值函数时, 也有 z=j[f(z)], zG
今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果 都是单值的,则称函数(映射)=2)是该 函数(映射)M=f(z)与它的反函数(逆映射)z=( 此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的
10 今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果 函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w) 都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的
§6复变函数的极限和连续 性
11 §6 复变函数的极限和连续 性
