复变函数
2 复变函数
第一章复数与复变函数 §1复数及代数运算
3 第一章 复数与复变函数 §1 复数及代数运算
1.复数的概念 在实数范围,方程 是无解的.因此引进一个新数讠,称为虚数单位, 并规定 12=-1 从而i是方程x2=-1的一个根 对于任意二实数x,y,称z=x+i或z=x+y为复数, 分别称为z的实部和虚部,记作 x Re(z),y=Im(z)
4 1. 复数的概念 在实数范围, 方程 x 2=-1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i 2 =-1 从而i是方程x 2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
当x=0,y≠0时,z=称为纯虚数;当y0时z=x+0, 将其看作是实数x 两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相 等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0 2.复数的代数运算两个复数z1x1+iyn, 2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为 (x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+1(y1+y2)(1.1.1) (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (1.1.2) 称上面二式右端为z1z2的和,差与积 当z12为实数时,上二式与实数的运算一致
5 当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x. 两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相 等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0. 2. 复数的代数运算 两个复数z1 =x1+iy1 , z2 =x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为 (x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 )+i(y1y2 ) (1.1.1) (x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1 x2-y1 y2 )+i(x2 y1+x1 y2 ) (1.1.2) 称上面二式右端为z1 ,z2的和,差与积 当z1 ,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致
称满足 (z2≠0 的复数z=x+iy为z1除以z2的商, 记作z=4,因此 2+12次21-xy Iix2tViy (1.1.3) 复数运算满足交换律,结合律和分配律: 1+(z2+z3)(z1+2)+23),z1(z23)=(z12)z3; 1(z2+z3)=z12+2123
6 称满足 z2 z=z1 (z20) 的复数z=x+iy为z1除以z2的商, (1.1.3) , 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z z z z z + - + + + = = 记作 = 因此 复数运算满足交换律,结合律和分配律: z1+z2 =z2+z1 , z1 z2 =z2 z1 ; z1+(z2+z3 )=(z1+z2 )+z3 ), z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3 ; z1 (z2+z3 )=z1 z2+z1 z3
把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z 如果z=x+i,则z=x-iy 共轭复数的性质 )1±z,=21±22,212÷元? 11)Z=Z ⅲ)z2=Re()+[im(2) iv )z+z=2 Re(z),z-z=2i Im(z)
7 把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z iv) 2Re( ), 2 Im( ) iii ) Re( ) Im( ) ; ii) ; i) , , ; : , 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z i z zz z z z z z z z z z z z z z z z z z x iy z x iy + = - = = + = = = = = + = - 共轭复数的性质 如果 则
§2复数的几何表示 1.复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实 数(xy)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标 系,复数的全体与该平面上的点的全体成 对应关系,从而复数z=x+iy可以用该平面上的 坐标为(x2y)的点来表示,这是复数的一个常用 表示方法此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面.这样,复 数与复平面上的点成一一对应,并且把"点z 作为"数z"的同乂词,从而使我们能借助于几 何语言和方法研究复变函数问题
8 §2 复数的几何表示 1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实 数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标 系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一 对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的 坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用 表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复 数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几 何语言和方法研究复变函数问题
P=tuy 在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy 的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量 OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值, 记作 z=r=√x2+y (12.1)
9 在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy 的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量 OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作 | | (1.2.1) 2 2 z = r = x + y O x y x y q P z=x+iy
Jy y tExtil 6 O X 显然,下列各式成立 x|z,y≤z, zx+yl zz彐z
10 显然, 下列各式成立 | | | | | | | | | |, | | | |,| | | |, 2 2 zz z z z x y x z y z = = + O x y x y q P z=x+iy
Jy y tExtil 6 O 在z≠0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向 量OP为终边的角的弧度6称为z的轴角,记作 Arg z=0 这时,有 g(arg z) y (1.2.2)
11 在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向 量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角, 记作 Arg z=q 这时, 有 tg(Arg ) (1.2.2) x y z = O x y x y q P z=x+iy