§5条件概率
2 §5 条件概率
)条件概率条件概率是概率论中的一个重 要概念,所考虑的是事件A发生的条件下, 事件B发生的概率. 例1将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面 的情况.设事件A为至少有一次为理,事件B 为"两次掷出同一面".现在求已知事件A已经 发生条件下事件B发生的概率. 样本空间为S=(HH,HT,mH,}, 在{HH,H7H},B={HH,TT}已知事件4已发 生,知道"T7"不可能发生
3 (一) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重 要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率. 例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面 的情况. 设事件A为"至少有一次为H", 事件B 为"两次掷出同一面". 现在求已知事件A已经 发生条件下事件B发生的概率. 样本空间为S=(HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}. 已知事件A已发 生, 知道"TT"不可能发生
即知试验所有可能结果所成的集合就是A,A 中共有3个元素,其中只有HH∈B.于是,在A发 生的条件下B发生的概率,记为P(BA),为 P(BA 3 另外,易知 11/4 P(A)=元,P(AB)=元,P(B|A) 33/4 故有 P(BA) P(AB) P(A) (5.1)
4 即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A 中共有3个元素, 其中只有HHB. 于是, 在A发 生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),为 . 3 1 P(B | A) = 3/ 4 1/ 4 3 1 , ( | ) 4 1 , ( ) 4 3 P(A) = P AB = P B A = = 另外, 易知 故有 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = (5.1)
对于一般古典概型问题,若仍以P(BA)记事件 A已经发生的条件下B发生的概率,则关系式 (5.1)仍然成立.事实上,设试验的基本事件总 数为n,4所包含的基本事件数为m(m>O),AB所 包含的基本事件数为k,即有 P(BA kk/n P(AB mm/n P(A)
5 对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件 A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式 (5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总 数为n, A所包含的基本事件数为m(m>0), AB所 包含的基本事件数为k, 即有 ( ) ( ) / / ( | ) P A P AB m n k n m k P B A = = =
定义设A,B是两个事件,且P()>0,称 P(AB) P(B A)- PC (5.2) 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率 不难验证,条件概率P(·4)符合概率定义中的 三个条件,即 1,非负性:对任一事件B,有P(BA)≥0 2,规范性:对于必然事件S,有P(S4)=1; 3,可列可加性:设B,B2…,是两两互斥事件, ∪B4=∑P(B4
6 定义 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 称 (5.2) ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = = = = 1 1 ( | ) i i i P Bi A P B A 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率. 不难验证, 条件概率P(•|A)符合概率定义中的 三个条件, 即 1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)0 2, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1; 3, 可列可加性: 设B1 ,B2 ,...,是两两互斥事件
既然条件概率符合上述三个条件,故§3中对 概率所证明的一些重要结果都适用于条件概 率.例如,对于任意事件B,B2有 P(B1B2)=P(B1)+P(B24)-P(B1B24) 例2一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1 只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作 不放回抽样.设事件A为"第一次取到的是一等 品",事件B为"第二次取到的是一等品"试求 条件概率P(BA)
7 既然条件概率符合上述三个条件, 故§3中对 概率所证明的一些重要结果都适用于条件概 率. 例如, 对于任意事件B1 ,B2有 P(B1B2 |A)=P(B1 |A)+P(B2 |A)-P(B1B2 |A). 例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1 只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作 不放回抽样. 设事件A为"第一次取到的是一等 品", 事件B为"第二次取到的是一等品". 试求 条件概率P(B|A)
解易知此属古典概型问题.将产品编号,1,2,3 号为一等品;4号为二等品.以(20)表示第一次, 第二次分别取到第门,第号产品.试验E(取产 品两次,记录其号码)的样本空间为 S={(1,2)、(1,3),(1,4),(2,1),(2,3)(2,4),,(4,1), (4,2),(4,3)},共12个基本事件组成 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3)(2,4),(3,1),(3,2) 3,4)},共9个基本事件组成, AB={(1,2)1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} 共6个基本事件组成
8 解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3 号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产 品两次, 记录其号码)的样本空间为 S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1), (4,2), (4,3)}, 共12个基本事件组成, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4)}, 共9个基本事件组成, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}. 共6个基本事件组成
按(52)式,得条件概率 P(AB)6/122 P(BA P(A) 9/123 也可以直接按条件概率的含义来求P(B4)我 们知道,当A发生以后,试验E所有可能结果的 集合就是A,A中有9个元素,其中只有(1,2) (1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于B,故可得 P(BA 2—-3
9 按(5.2)式, 得条件概率 . 3 2 9/12 6/12 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A . 3 2 9 6 P(B | A) = = 也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我 们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的 集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得
(二)乘法定理由条件概率的定义(52)可得 乘法定理设P(A)>0,则有 P(AB=P(A)P(B(A) (5.3) 上式容易推广到多个事件的积事件的情况.例 如,设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有 P(ABC=P(APBAP(CAB (54 一般地,设41,2,,n.为n个事件,n≥2,且 P(41A2…4n-1)>0,则有 P(A1A2.An)=P(A1)P(241) P(An=14142….4n2)P(nA1A2…An1)(5.5)
10 (二)乘法定理 由条件概率的定义(5.2)可得 乘法定理 设P(A)>0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3) 上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例 如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4) 一般地, 设A1 ,A2 ,...,An为n个事件, n2, 且 P(A1A2 ...An-1 )>0, 则有 P(A1A2 ...An )=P(A1 )P(A2 |A1 )... P(An-1 |A1A2 ...An-2 )P(An |A1A2 ...An-1 ) (5.5)
例3设袋中装有r只红球,(白球.每次自袋 中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入a 只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续 取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四 次取到白球的概率 解以A(÷=1,2,3,4)表示事件"第次取到红球" P(AA2A3A4=P(AP(A2 I A) P(A3AA)P(A4 A A3) r+a tta rtt rotta rttt2a r+tt3a
11 例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色后放回, 并再放入a 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续 取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四 次取到白球的概率. 解 以Ai (i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到红球", r t a t a r t a t r t a r a r t r P A A A P A A A A P A A A A P A P A A 2 3 ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 3 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 + + + + + + + + + = =
