2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 2002-2003学年第一学期概率论与教理统计(B)期末考试试卷答豪 填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 设P()=3,()=3,P8小=,则P()= 解 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 而P4B)=P(4)(lA)=2×x= 并且由3=PA48)=%A,得PAB2=2)= 3 10 所以,P(A∪B)=P(4)+P(B)-P(AB)=2+31-1=1 应填:1 1≤x≤2 2.设随机变量X的密度函数为f(x) ,则X的分布函数F(x)= 其它 x1时,F(x)=(M=0 当1<x≤2时,F(x)=∫(M=J/(M+∫f(知 =2x+二-4 当2<x时,F()=(M=(M+∫/知+j/(0M=1 所以,随机变量X的分布函数为 1 F(x)={2x+2-41<x≤2 x≤1 应填:{2x+2-41<x≤2 3.伯努利( Bernoulli)大数定理表明:当试验次数n很大时,随机事件A在这n次试验中发生的频率 第1页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 1 页 共 9 页 2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 一．填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设 ( ) 5 2 P A = ， ( ) 3 2 P A B = ， ( ) 2 1 P B A = ，则 P(AB) =_________________． 解： P(AB) = P(A)+ P(B)− P(AB)． 而 ( ) ( ) ( ) 5 1 2 1 5 2 P AB = P A P B A = = ， 并且由 ( ) ( ) P(B) P AB = P A B = 3 2 ，得 ( ) ( ) 10 3 3 2 5 1 3 2 = = = P AB P B ． 所以， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 5 1 10 3 5 2 P A B = P A + P B − P AB = + − = 应填： 2 1 ． 2．设随机变量 X 的密度函数为 ( ) − = 0 其它 1 2 1 2 1 2 x f x x ，则 X 的分布函数 F(x) = _________． 解： 当 x 1 时， ( ) = ( ) = 0 − x F x f t dt ； 当 1 x 2 时， ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 1 2 1 1 2 1 1 = + − = = + = − − − x dt x t F x f t dt f t dt f t dt x x x ； 当 2 x 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 = = + + = − − x x F x f t dt f t dt f t dt f t dt ； 所以，随机变量 X 的分布函数为 ( ) + − = 1 2 4 1 2 2 2 0 1 x x x x x F x ． 应填： + − 1 2 4 1 2 2 2 0 1 x x x x x ． 3．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数 n 很大时，随机事件 A 在这 n 次试验中发生的频率
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 与随机事件A的概率P()=p有 的可能性很小 解 伯努利( Bernoulli)大数定理指出:对于任意给定的E>0,有 P|≥E}= 0 这表明:当试验次数n很大时,随机事件A在这n次试验中发生的频率一与随机事件A的概率P(4)=p 有较大偏差的可能性很小 应填:较大偏差 设总体X~b,p),(X1,X2,…,X)是从中抽取的一个样本,则样本 X. X Xn)的(联合)分布律为 由于总体X~b(1,p),所以总体的分布律可以写为 P(X=x)=p2(-p)(x=0,1) 并且(X1,X2,…,Xn)是从中抽取的一个样本,即(X1,X2,…,Xn)是简单随机样本,所以样 本中的n个分量X1,K2,…,Xn是独立同分布的随机变量,而且其分布与总体分布相同.因此样本 (X1,X2 Xn)的(联合)分布律为 P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)=P(X1=x)P(X2=x2)P(Xn=xn) (1-p)p2(-p)3…p(-p) ∑ 应填:p(-py2x 5.设总体X存在二阶矩,并记 E( D(x)= (X,X2…,X)是从总体X中抽取的一个样本则总体方差口2的矩估计量G 解: 由于a2=D(x)=E(x2)-[E(x) 第2页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 2 页 共 9 页 n nA 与随机事件 A 的概率 P(A) = p 有_________的可能性很小． 解： 伯努利（Bernoulli）大数定理指出：对于任意给定的 0 ，有 lim = 0 − → p n n P A n ． 这表明：当试验次数 n 很大时，随机事件 A 在这 n 次试验中发生的频率 n nA 与随机事件 A 的概率 P(A) = p 有较大偏差的可能性很小． 应填：较大偏差． 4 ． 设总体 X ~ b(1, p) ， ( ) X X Xn , , , 1 2 是从中抽取的一个样本，则样本 ( ) X X Xn , , , 1 2 的（联合）分布律为_________． 解： 由于总体 X ~ b(1, p) ，所以总体的分布律可以写为 ( ) ( ) x x P X x p p − = = − 1 1 (x = 0, 1)， 并且 ( ) X X Xn , , , 1 2 是从中抽取的一个样本，即 ( ) X X Xn , , , 1 2 是简单随机样本，所以样 本中的 n 个分量 X X Xn , , , 1 2 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本 ( ) X X Xn , , , 1 2 的（联合）分布律为 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n P X = x X = x X = x = P X = x P X = x P X = x 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , ( ) ( ) ( ) n n x x x x x x p p p p p p − − − = − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( − ) = = = − n i i n i i n x x p p 1 1 1 应填： ( − ) = = − n i i n i i n x x p p 1 1 1 ． 5．设总体 X 存在二阶矩，并记 E(X ) = ， ( ) 2 D X = ． ( ) X X Xn , , , 1 2 是从总体 X 中抽取的一个样本．则总体方差 2 的矩估计量 = 2 ˆ _________． 解： 由于 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = D X = E X − E X
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 将E(x)=与E(x2)分别用样本均值与样本的二阶原点矩42=∑x来代替,得口2的矩估计量 G2=4-(x)=1x:-()=12∑x-)(x,-x)=B 应填:B2,或者∑(x1-x),或者41-(x),或者∑x:-(x) 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1.设A、B为两个互不相容的随机事件,且P(B)>0,则下列选项必然正确的是 (4)P(4)=1-P(B);()pP(4B)=0:()P(4B)=1:(D)P(4B)=0. 因为A、B为两个互不相容的随机事件,所以AB=⑧,因此P(AB)=0 所以,P(4B)= 应选:(B) 2.设∫(x)=snx是某个连续型随机变量x的概率密度函数,则它的取值范围是 (4)|0 (B)小()-3 解 如果函数∫(x)是某个连续型随机变量X的概率密度函数,则它必须满足以下两个条件: )(x)20:2J/()=1 由此两个条件,可知只有选项(A)正确 应选:(4) 3.袋中有4个白球,7个黑球,从中不放回地取球,每次取一个球.则第二次取出白球的概率为 ()3 11 第3页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 3 页 共 9 页 将 E(X ) = 与 ( ) 2 E X 分别用样本均值 X 与样本的二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 来代替，得 2 的矩估计量 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 ˆ X X B n X n X n X X n A X n i i n i i n i i = − = = − = − = − = = = ． 应填： B2 ，或者 ( ) = − n i Xi X n 1 1 2 ，或者 ( ) 2 A2 − X ，或者 ( ) 2 1 1 2 X X n n i i − = ． 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设 A 、 B 为两个互不相容的随机事件，且 P(B) 0 ，则下列选项必然正确的是 (A). P(A) =1− P(B) ； (B). P(AB) = 0 ； (C). P(AB) =1 ； (D). P(AB) = 0 ． 【 】 解： 因为 A 、 B 为两个互不相容的随机事件，所以 AB = ，因此 P(AB) = 0 所以， ( ) ( ) ( ) = = 0 P B P AB P A B 应选： (B)． 2．设 f (x) = sin x 是某个连续型随机变量 X 的概率密度函数，则它的取值范围是 (A). 2 0, ； (B).0, ； (C). − 2 , 2 ； (D). 2 3 , ． 【 】 解： 如果函数 f (x) 是某个连续型随机变量 X 的概率密度函数，则它必须满足以下两个条件： ⑴ f (x) 0 ；⑵ ( ) = 1 + − f x dx 由此两个条件，可知只有选项 (A) 正确． 应选： (A)． 3．袋中有 4 个白球，7 个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．则第二次取出白球的概率为 (A). 10 4 ； (B). 10 3 ； (C). 11 3 ； (D). 11 4 ． 【 】
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 解 设A=第一次取出白球},B={第二次取出白球} 则由全概率公式,得 P(B)=P((4)+P(a)p(B 3+7 111011 应选:(D) 4.设x~N{a,2),Y=ax-b,其中a、b为常数,且a≠0,则Y~ (4)N(m-b a0-+ au (D)N(-b,a3o3) 由XN(,o3),y=ax-b,其中a、b为常数,且a≠0,可知y=ax-b也服从正态分布,由 E(r)=Ear-b=aE(X)-b=au-b, D(r)=D(ar-b=aD(=ao 所以,N(a-b,a2a2) 应选:(D) 5.设某地区成年男子的身高X~N(173,100),现从该地区随机选出20名男子,则这20名男子身 高平均值的方差为 100 解 从该地区随机选出20名男子,相当于从总体X~N(73100)中抽取一个样本量为20的样本 X1,X2 令是其样本均值,则D(x)=,其中2是总体方差,由题意,知2=100.所以, 100 应选 第4页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 4 页 共 9 页 解： 设 A = 第一次取出白球， B = 第二次取出白球． 则由全概率公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 4 10 4 11 7 10 3 11 4 P B = P A P B A + P A P B A = + = ． 应选： (D)． 4．设 ( ) 2 X ~ N , ，Y = aX −b ，其中 a 、b 为常数，且 a 0 ，则 Y ~ (A). ( ) 2 2 2 N a − b, a + b ； (B). ( ) 2 2 2 N a + b, a − b ； (C). ( ) 2 2 N a + b, a ； (D). ( ) 2 2 N a − b, a ． 【 】 解： 由 ( ) 2 X ~ N , ，Y = aX −b ，其中 a 、b 为常数，且 a 0 ，可知 Y = aX −b 也服从正态分布．由 E(Y) = E(aX −b) = aE(X)−b = a −b ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 D Y = D aX − b = a D X = a ， 所以， ( ) 2 2 N a − b, a ． 应选： (D)． 5．设某地区成年男子的身高 X ~ N(173, 100) ，现从该地区随机选出 20 名男子，则这 20 名男子身 高平均值的方差为 (A). 10 ； (B). 100 ； (C). 5 ； (D). 0.5． 【 】 解： 从该地区随机选出 20 名男子，相当于从总体 X ~ N(173, 100) 中抽取一个样本量为 20 的样本 ( ) 1 2 20 X , X , , X 令 X 是其样本均值，则 ( ) n D X 2 = ，其中 2 是总体方差．由题意，知 100 2 = ．所以， ( ) 5 20 100 2 = = = n D X ． 应选： (C)．
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 (本题满分10分) 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.05,而B被误收作 A的概率为0.02.信息A与信息B传送的频繁程度为3:2.若接收站接收的信息是A,问原发信息也是 A的概率是多少? 解 设!=拨出信息},A"=做到信息} 则所求概率为Prr),由Bes公式,得 P()P(") 0.95 =0.9862 npnHnGr309+30 四。(本题满分10分) 一房间有3扇同样大小的窗户,其中只有一扇是打开的.有一只鸟在房子里飞来飞去,它只能从开着 的窗子飞出去.假定这只鸟是没有记忆的,且鸟飞向各个窗子是随机的.若令X表示鸟为了飞出房间试飞 的次数.求(1)X的分布律.(2)这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率.(3)若有一只鸟飞进该房间5次, 其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间,请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理? 解 (1)X的取值为1,2,3, 并且 k-1 P{X=k}=P{前k-1次试飞均未飞出房间,第k次试飞飞出房间} 因此X的分布律为 P{X=l/2) k (2)P这只鸟最多试飞3次就飞出房间}=P{X≤3} )23 (3)若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次 Bernoulli试验,则这只鸟飞进该房间 次可以看作是一个5重 bernoulli试验 A=这只鸟最多试飞3次就飞出房间,则P(4) 所以,P5重Bem试验恰好成功4次}=C 0.3633 27)27 这表明,“有一只鸟飞进该房间5次,其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件, 因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的 第5页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 三．（本题满分 10 分） 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.05 ，而 B 被误收作 A 的概率为 0.02 ．信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 3: 2 ．若接收站接收的信息是 A ，问原发信息也是 A 的概率是多少？ 解： 设 A = 发出A信息， A = 收到A信息． 则所求概率为 P(A A) ，由 Bayes 公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.9862 0.02 5 2 0.95 5 3 0.95 5 3 = + = + = P A P A A P A P A A P A P A A P A A ． 四．（本题满分 10 分） 一房间有 3 扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着 的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令 X 表示鸟为了飞出房间试飞 的次数．求⑴ X 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞 3 次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间 5 次， 其中有 4 次它最多试飞了 3 次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？ 解： ⑴ X 的取值为 1, 2, 3, ，并且 3 1 3 2 1 1 = = − = k− P X k P 前k 次试飞均未飞出房间，第k次试飞飞出房间 因此 X 的分布律为 3 1 3 2 1 = = k− P X k (k =1, 2, 3, )． ⑵ 27 19 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 2 = P 这只鸟最多试飞 次就飞出房间 = P X = + + ． ⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞 3 次就飞出房间”看作是一次 Bernoulli 试验，则这只鸟飞进该房间 5 次可以看作是一个 5 重 Bernoulli 试验． A = 这只鸟最多试飞3次就飞出房间 ，则 ( ) 27 19 P A = ． 所以， 0.3633 27 8 27 19 5 Bernoulli 4 4 4 5 = P 重 试验恰好成功 次 = C ． 这表明，“有一只鸟飞进该房间 5 次，其中有 4 次它最多试飞了 3 次就飞出房间”不是一个小概率事件， 因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的．
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 五。(本题满分10分) 设随机变量X与Y相互独立,且都服从标准正态分布N(O,1).令随机变量 Z=√X2+Y )试求随机变量Z的密度函数f2().(2)试求E(Z) 解 (1)由题意,得 h(x)=1 ∞0时,F2()=PNx2+y2≤=fx(x)1() dxdy 作极坐标变换x=rcos,y=rsnb,则有 所、1号 :2 2 rdr =>0 所以,随机变量Z=√X2+Y2的分布函数为F(=)= 所以,随机变量Z=√X2+y2的密度函数为f2()=F()={=e2=>0 0 <0 E()=(k=了=止==x+了 第6页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 6 页 共 9 页 五．（本题满分 10 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ．令随机变量 2 2 Z = X + Y ． ⑴ 试求随机变量 Z 的密度函数 f (z) Z ．⑵ 试求 E(Z)． 解： ⑴ 由题意，得 ( ) 2 2 2 1 x X f x e − = (− x )， ( ) 2 2 2 1 y y f y e − = (− y )． 设随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 F (z) Z ，则 FZ (z) = PZ z= P X +Y z 2 2 当 z 0 时， ( ) ( ) 0 2 2 FZ z = P X +Y z = P = ； 当 z 0 时， ( ) ( ) ( ) + = + = x y z FZ z P X Y z f X x f Y y dxdy 2 2 2 2 + + − = x y z x y e dxdy 2 2 2 2 2 2 1 作极坐标变换 x = r cos, y = rsin ，则有 ( ) − − = = z r z r Z F z d e rdr e rdr 0 2 0 2 2 0 2 2 2 1 所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 ( ) = − 0 0 0 0 2 2 z e rdr z F z z r Z 所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的密度函数为 ( ) ( ) = = − 0 0 0 2 2 z ze z f z F z z Z Z ⑵ ( ) ( ) + − + − + − + − = = = − + 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 E Z zf z dz z e dz ze e dz z z z z
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 d 2V2 六.(本题满分10分) 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 1-81-81-8 018018 11=818 8 证明:随机变量X与Y不相关,但是随机变量X与Y不独立 解 X的边缘分布律为 X 014 Y的边缘分布律为 P 因此,E(x)=(-1)×+0×+1×2=0 同理,E()=(-1)×32+0×2+1×3=0 E(X)=(-1)×7+0×+1 所以,cov(X,Y)=E(X)-E(x)E(Y)=0,这表明随机变量X与y不相关 但是,P(X=0,Y=0)=0≠P(X=0)P(Y=0)=1× 所以,随机变量X与Y不独立 七.(本题满分10分) 某单位的一部电话总机有150台分机,每台分机有4%的时间要使用外线.假设每台分机是否使用外 线是相互独立的.试用中心极限定理计算,当该单位有10条外线时,至少有一台分机使用外线时要等待的 第7页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 7 页 共 9 页 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 = = = = + − − + − e dz e dz z z ． 六．（本题满分 10 分） 设二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布律为 Y X −1 0 1 −1 8 1 8 1 8 1 0 8 1 0 8 1 1 8 1 8 1 8 1 证明：随机变量 X 与 Y 不相关，但是随机变量 X 与 Y 不独立． 解： X 的边缘分布律为 X −1 0 1 i p 8 3 4 1 8 3 Y 的边缘分布律为 Y −1 0 1 j p 8 3 4 1 8 3 因此， ( ) ( ) 0 8 3 1 4 1 0 8 3 E X = −1 + + = 同理， ( ) ( ) 0 8 3 1 4 1 0 8 3 E Y = −1 + + = ( ) ( ) 0 4 1 1 2 1 0 4 1 E XY = −1 + + = 所以， cov(X, Y) = E(XY)− E(X)E(Y) = 0 ，这表明随机变量 X 与 Y 不相关． 但是， ( ) ( ) ( ) 4 1 4 1 P X = 0, Y = 0 = 0 P X = 0 P Y = 0 = 所以，随机变量 X 与 Y 不独立． 七．（本题满分 10 分） 某单位的一部电话总机有 150 台分机，每台分机有 4%的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外 线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有 10 条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的 概率．
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 附表:标准正态分布的分布函数Φ(x)的表 x0.00069104167208231250362 Φ(x)0.5000755085109530.9810.99009940999 设X表示在某时刻150台分机中使用外线的分机数,则X~B(150,004).利用中心极限定理,得 X-150×0.04 11-150×0.04 P(x21)=1-P(x<1)=1-150×004×096√50×004×09 X-150×0.04 √150×004×096208|=1-d(208=1-0981=0019 八。(本题满分10分) 设总体X存在二阶矩,并记 E(x)=,D(X) (x1,x2,…,xn)是从总体X中抽取的一个样本,①)试写出样本方差S2,②试求E(2) 样本方差为S2=∑(x,-x) x-)+(x-)-2x-)(x E(x-)+8(x-)-25(x,-)0 E{∑(x,-)+(x-)-2(x-0)(x-A (x,-)2-n(x E(x,-)2-mB(x-) 第8页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 8 页 共 9 页 附表：标准正态分布的分布函数 (x) 的表 x 0.00 0.69 1.04 1.67 2.08 2.31 2.50 3.62 (x) 0.500 0.755 0.851 0.953 0.981 0.990 0.994 0.999 解： 设 X 表示在某时刻 150 台分机中使用外线的分机数，则 X ~ B(150, 0.04) ．利用中心极限定理，得 ( ) ( ) − − = − = − 150 0.04 0.96 11 150 0.04 150 0.04 0.96 150 0.04 11 1 11 1 X P X P X P 2.08 1 (2.08) 1 0.981 0.019 150 0.04 0.96 150 0.04 1 − = − = − = − X P ． 八．（本题满分 10 分） 设总体 X 存在二阶矩，并记 E(X ) = ， ( ) 2 D X = ． ( ) X X Xn , , , 1 2 是从总体 X 中抽取的一个样本．⑴ 试写出样本方差 2 S ．⑵ 试求 ( ) 2 E S ． 解： ⑴ 样本方差为 ( ) = − − = n i Xi X n S 1 2 2 1 1 ． ⑵ ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = − − = = = n i i n i i X X n X X E n E S E 1 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) − + − − − − − = = n i Xi X Xi X n E 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )( ) − + − − − − − = = = = n i n i i n i E Xi X X X n 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − + − − − − − = = n i E Xi n X X n X n 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) − − − − = = n i E Xi n X n 1 2 2 1 1 ( ) ( ) − − − − = = n i E Xi nE X n 1 2 2 1 1
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 >E(X, -E(X ,(X-E( m-12D(x, -mD(xy 九.(本题满分10分) 已知总体X的分布律为 X 3 1-0) 其中0<O<1是未知参数,(X1,X2,X)是从中抽取的一个样本,试求当样本观测值为 (x1=1,x2=2,x3=1)时,参数O的最大似然估计值 P(X1=1,X2=2,X3=1)=P(x1=1)P(X2=2)P(x3=1) (1-0)02=20(1-0) 所以当样本观测值为(x1=1,x2=2,x3=1)时,似然函数为 L()=20(1-0) 所以,L(0)=50(5-60) 令L()=0,得501(5-60)=0,由此得似然函数1(0)在区间(0,1)上的驻点为O=2.并且B是似 然函数L()在区间(、n)上的唯一驻点,因此时似然函数L()最大值点为O=5.即当样本观测 值为(x1=1,x2=2,x3=1)时,参数O的最大似然估计值为6= 第9页共9页
2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 9 页 共 9 页 ( ( )) ( ( )) − − − − = = n i E Xi E Xi nE X E X n 1 2 2 1 1 ( ) ( ) − − = = n i D Xi nD X n 1 2 1 1 − − = = n n n n i 2 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 1 − = − = n n ． 九．（本题满分 10 分） 已知总体 X 的分布律为 X 1 2 3 P 2 2(1−) ( ) 2 1− 其 中 0 1 是 未 知 参数 ， ( ) 1 2 3 X , X , X 是 从 中 抽 取 的一 个 样 本 ，试 求 当 样本 观 测 值 为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，参数 的最大似然估计值． 解： ( 1, 2, 1) ( 1) ( 2) ( 1) P X1 = X2 = X3 = = P X1 = P X2 = P X3 = = 2(1− ) = 2 (1− ) 2 2 5 ． 所以当样本观测值为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，似然函数为 ( ) = 2 (1− ) 5 L 所以， ( ) 5 (5 6 ) 4 L = − ． 令 L( ) = 0 ，得 5 (5 6 ) 0 4 − = ，由此得似然函数 L() 在区间 (0, 1) 上的驻点为 6 5 0 = ．并且 0 是似 然函数 L() 在区间 (0, 1) 上的唯一驻点．因此此时似然函数 L() 的最大值点为 6 5 0 = ．即当样本观测 值为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，参数 的最大似然估计值为 6 5 ˆ = ．
