深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 随机过程及其统计描述

第十章随机过程及其统计描述 §1随机过程的概念

2 第十章 随机过程及其统计描述 §1 随机过程的概念

热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒 子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称 为热噪声电压,它在任一确定时刻值是 随机变量,记为Ⅳ(.不同时刻对应不同的随 机变量,当时间在某区间,譬如[0,+o)上推移 时,热噪声电压表现为一族随机变量,记为 (V(,仑0,在无线电通讯技术中,接收机在接 收信号时,机内的热噪声电压要对信号产生持 续的干扰通过某种装置对元件两端的热噪声 电压进行长期测量,并记录结果,作为试验结 果,得到一电压时间函数

3 热噪声电压 电子元件或器件由于内部微观粒 子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称 为热噪声电压, 它在任一确定时刻t的值是一 随机变量, 记为V(t). 不同时刻对应不同的随 机变量, 当时间在某区间, 譬如[0,+)上推移 时, 热噪声电压表现为一族随机变量, 记为 (V(t), t0), 在无线电通讯技术中, 接收机在接 收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持 续的干扰. 通过某种装置对元件两端的热噪声 电压进行长期测量, 并记录结果, 作为试验结 果, 得到一电压-时间函数

多次试验得到多个电压函数 V2()

4 多次试验得到多个电压函数 t v1 (t) t v2 (t) t vk (t)  t j

设T是一无限实数集,把依赖于参数(∈T的 族(无限多个)随机变量称为随机过程,记为 {X(,t∈仍,这里对每一个t∈T,X(O)是一随机 变量.叫做参数集.常把看作为时间,称X() 为时刻时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是 仁=1时过程处于状态x,对于一切∈T,X()所有 可能取的一切值的全体称为随机过程的状态 空间对随机过程{X(,t∈T进行一次试验,其 结果是的函数,记为x(),t∈T,称它为随机过 程的一个样本函数或样本曲线所有不同的试 验结果构成一族样本函数

5 设T是一无限实数集, 把依赖于参数tT的一 族(无限多个)随机变量称为随机过程, 记为 {X(t), tT}, 这里对每一个tT, X(t)是一随机 变量. T叫做参数集. 常把t看作为时间, 称X(t) 为时刻t时过程的状态, 而X(t1 )=x(实数)说成是 t=t1时过程处于状态x, 对于一切tT, X(t)所有 可能取的一切值的全体称为随机过程的状态 空间. 对随机过程{X(t), tT}进行一次试验, 其 结果是t的函数, 记为x(t), tT, 称它为随机过 程的一个样本函数或样本曲线. 所有不同的试 验结果构成一族样本函数

随机过程可看作多维随机变量的延伸.随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样 因此,热噪声电压的变化过程{(),仑0}是 随机过程,它的状态空间是(∞,+∞),一次观 测到的电压时间函数就是这个随机过程的 个样本函数 在以后的叙述中,为简便起见,常以X(,t∈T 表示随机过程在上下文不致混淆的情况下, 般略去记号中的参数集T

6 随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的参数集T

例1抛掷一枚硬币试验,样本空间是S={H,T}, 现藉此定义 X()2=0sm,当出现H t,当出现T, t∈(-∞0,+0) (t) x=cos rt

7 例1 抛掷一枚硬币试验, 样本空间是S={H,T}, 现藉此定义 ( , ), , , cos , , ( )  -  +     = t t T t H X t 当出现  当出现 t t 1 t O 2 x(t) x=cos t

其中P(H=P(T)=1/2.对任意固定的,X()是 定义在S上的随机变量;对不同的,X()是不同 的随机变量,所以{X(O),t∈(-∞,+∞}是一族随 机变量,即它是随机过程另一方面,作一次试 验,若出现H样本函数x1(O)=cosz;若出现T, 样本函数为x()=,所以该随机过程对应的 族样本函数仅包含两个函数:{csm,t}.显然 这个随机过程的状态空间为(-∞,+∞)

8 其中P(H)=P(T)=1/2. 对任意固定的t, X(t)是一 定义在S上的随机变量; 对不同的t, X(t)是不同 的随机变量, 所以{X(t), t(-, +)}是一族随 机变量, 即它是随机过程. 另一方面, 作一次试 验, 若出现H, 样本函数x1 (t)=cos t; 若出现T, 样本函数为x2 (t)=t, 所以该随机过程对应的一 族样本函数仅包含两个函数:{cos t, t}. 显然 这个随机过程的状态空间为(-, +)

例2考虑 X(=acos(ar@,t∈(-∞,∞),(1.1) 式中a和a是正常数,是在(0,2)上服从均匀 分布的随机变量 x() (,B2=3m2 x1(t),1=0

9 例2 考虑 X(t)=a cos(wt+Q), t(-, ), (1.1) 式中a和w是正常数, Q是在(0,2)上服从均匀 分布的随机变量. O t x(t) x1 (t),q1=0 x2 (t), q2=3/2

显然,对于每一个固定的时刻=t1, X(t1)=acos(aox1+是一个随机变量,因而由 (1.1)式确定的X()是一个随机过程,通常称它 为随机相位正弦波它的状态空间是-a,al 在(0,2功)内随机地取一数a相应地即得这个 随机过程的一个样本函数 xO=cco(a什+),日∈(0,2丌)

10 显然, 对于每一个固定的时刻t=t1 , X(t1 )=a cos(wt1+Q)是一个随机变量, 因而由 (1.1)式确定的X(t)是一个随机过程, 通常称它 为随机相位正弦波. 它的状态空间是[-a, a]. 在(0,2)内随机地取一数qi , 相应地即得这个 随机过程的一个样本函数 xi (t)=a cos(wt+qi ), qi(0,2)

例3在测量运动目标的距离时存在随机误差, 若以(0表示在时刻t测量误差,则它是一个 随机变量.当目标随时间按一定规律运动时, 测量误差(O也随时间而变化,换句话说,a( 是依赖于时间一族随机变量,亦即{a(),仑0} 是一随机过程.且它们的状态空间是(-∞,+0)

11 例3 在测量运动目标的距离时存在随机误差, 若以e(t)表示在时刻t的测量误差, 则它是一个 随机变量. 当目标随时间t按一定规律运动时, 测量误差e(t)也随时间t而变化, 换句话说, e(t) 是依赖于时间t的一族随机变量, 亦即{e(t), t0} 是一随机过程. 且它们的状态空间是(-, +)