1.试利用贷款各参数间的关系式,完成以下公积金贷款利率表(表1-9) 表1-9个人住房公积金贷款利率表 年|月数月利率/%年利率/%月还款额 本息总额总利息 123.454.14到期一次还本付息|10414.00041400 3.45 4.14 434.873 10436.943436.943 3.45 295.863 10651.069651.069 3.45 4.14 226.418 10868.043868.043 5 3.45 4.14 184.798 11087.8611087.861 3.825 4.59 159,154 11459.1 67890 3.8254.59 139.421 11711.3301711.330 3.825 24.656 11967.0111967.011 3.825 4.59 113.205 12226.1512226.151 120 3.825 104.073 12488.7362488.736 2.某工厂有一水池,其容积为100m3,原有水为10m3.现在每10min注入05m 的水.试将水池中水的体积表示为时间t的函数,且问需用多少min水池才能灌满? 解设水的体积为V,则V=0.051+1 100-10 180 0.05 3.以速率A(单位:cm3/s)往一圆锥形容器注水.容器的半径为Rcm,高为H.试 将容器中水的体积分别表示成时间t与水高度y的函数 V=At;V=xRyy≤H 解 4.(手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的:“133环保网”的收费 为每月基本费用50元,每通话1min(不足1mn按1min计算)再加收0.2元:“神州行” 无每月基本费用,但按每通话1min(不足1min按Imin计算加收0.6元计算话费.若仅 在本地区使用手机,如何选择手机服务?请给出一个建议 解133环保网话费为S=50+02;神州行话费为S2=06t S1-S2=50-04≤0时,即1≥125(h)时,S≤S2,即使用“133环保网”所需交 纳的话费较少 若每月通话时间不足125mn则用“神州行”合适 5.某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等),它所出售的食品的 生产费用为1元/kg,而销售价格为2元/kg.试问他们每天应当销售多少kg食品才能使 公司的收支保持平衡?
习 题 1 1．试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表 1-9）． 表 1-9 个人住房公积金贷款利率表 年 份 月数 月利率/‰ 年利率/% 月还款额 本息总额 总利息 1 12 3.45 4.14 到期一次还本付息 10 414.000 414.000 2 24 3.45 4.14 434.873 10 436.943 436.943 3 36 3.45 4.14 295.863 10 651.069 651.069 4 48 3.45 4.14 226.418 10 868.043 868.043 5 60 3.45 4.14 184.798 11 087.861 1 087.861 6 72 3.825 4.59 159.154 11 459.117 1 459.117 7 84 3.825 4.59 139.421 11 711.330 1 711.330 8 96 3.825 4.59 124.656 11 967.011 1 967.011 9 108 3.825 4.59 113.205 12 226.151 2 226.151 10 120 3.825 4.59 104.073 12 488.736 2 488.736 2． 某工厂有一水池，其容积为 100 3 m ，原有水为 10 3 m ． 现在每 10min 注入 0.5 3 m 的水． 试将水池中水的体积表示为时间 t 的函数，且问需用多少 min 水池才能灌满？ 解 设水的体积为 V， 则 V=0.05t + 10 100 10 180 0.05 t − = = (min) 3． 以速率 A (单位： 3 cm s/ )往一圆锥形容器注水． 容器的半径为 R cm，高为 H ． 试 将容器中水的体积 V 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数． 解 1 2 y 3 V At V R y H = = ； 4． (手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费 为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min 按 1 min 计算)再加收 0.2 元；“神州行” 无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min 按 1 min 计算)加收 0.6 元计算话费．若仅 在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议． 解 133 环保网话费为 1 S t = + 50 0.2 ；神州行话费为 2 S t = 0.6 1 2 S S t − = − 50 0.4 ≤0 时，即 t ≥125（h）时， 1 S ≤ 2 S ，即使用“133 环保网”所需交 纳的话费较少， 若每月通话时间不足 125 min 则用“神州行”合适． 5． 某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的 生产费用为 1 元/kg，而销售价格为 2 元/kg．试问他们每天应当销售多少 kg 食品才能使 公司的收支保持平衡?
解(2-1)x=300,x=30(kg) 6.设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为S(x)=x+3X-70,需求函 数(即需求量作为价格的函数)为D(x)=410-x,其中x为价格 (1)(1)在同一坐标系中,画出S(x)D(x)的图形 (22)若该商品的需求量与供给量均衡,求其价格 解S(x)=D(x)分x2+3x-70=410-x→x=24,x2=20由实际意义取x=20 有一物体作直线运动,已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比,但方向 相反.当物体以4m/s的速度运动时,阻力为2N,试建立阻力与速度之间的函数关系 k=y=4=05Nm,即N=05y 8.一架飞机起飞用油是一个固定量,着陆用油是一个(不同的)固定量,空中飞行每km 用油也是一个固定量,所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的?写出有关函数的表达 式.解释表达式中常数的意义 解设起飞用油为S,着陆用油S2,空中飞行用油为53,则S,S2为常量,其中S=M, 其中k为飞行每km用油量,l为航程,因此所需燃料总量 LS=S+S,+S,=S,+S,+kl 9.财产保险要估价财产,例如对小汽车或冰箱进行估价.财产的价值将随其使用时 间的加长而降低,也就是会贬值.例如最初花100000元购买的小汽车,几年后只值50000 元.计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”,它假定财产价值是时间的线性函数.如 果一个1950美元的冰箱7年后贬得一文不值,求出其价值作为时间函数的表达式 解设财产价值为V,时间为t,则此线性函数可设为V=k+ =0时,V=1950=b;I=7时,V=7k+b=7k+1950=0,k=-250 所以V=-2501+1950 10.(1)利用表1-10中的数据确定一个形如 o=0.e 的公式.该公式给出了时刻t(以月计)时,兔子的数量9. (2)该兔子种群的近似倍增期是多少? (3)利用你的方程预测该兔子种群何时达到1000只 表1-10 解(1)解方程组:(43=9!已 391 25=Oe0 ,所以公式为Q=25e054 (2)由2=e得到:t=128(月)
解 (2 1) 300 300 − = = x x ， (kg) 6． 设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为 ( ) 3 70 2 S x = x + x − ， 需求函 数(即需求量作为价格的函数)为 D(x) = 410 − x ， 其中 x 为价格． (1)(1)在同一坐标系中，画出 S(x), D(x) 的图形； (2)(2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格． 解 2 1 2 S x D x x x x x x ( ) ( ) 3 70 410 24 20 = + − = − = − = ， 由实际意义取 x=20 7． 有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向 相反．当物体以 4m/s 的速度运动时，阻力为 2 N，试建立阻力与速度之间的函数关系． 解 设 2 0.5Ns/m 0.5 4 N N kv k N v v = = = = = ， ，即 8． 一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每 km 用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达 式．解释表达式中常数的意义． 解 设起飞用油为 1 s ，着陆用油 2 s ，空中飞行用油为 3 s ，则 1 2 s s ， 为常量，其中 3 s kl = ， 其中 k 为飞行每 km 用油量， l 为航程，因此所需燃料总量 1 2 3 1 2 S s s s s s kl = + + = + + 9． 财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时 间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花 100 000 元购买的小汽车，几年后只值 50 000 元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如 果一个 1 950 美元的冰箱 7 年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式． 解 设财产价值为 V ，时间为 t ，则此线性函数可设为 V kt b = + ； t = 0 时， V b = = 1 950 ； t V k b k k = = + = + = = − 7 7 7 1 950 0 250 时， ， ； 所以 V t = − + 250 1 950 10．(1) 利用表 1-10 中的数据确定一个形如 0 e rt Q Q= 的公式．该公式给出了时刻 t (以月计)时，兔子的数量 Q ． (2) 该兔子种群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到 1 000 只． 表 1-10 t 0 1 2 3 4 5 Q 25 43 75 130 226 391 解 （1）解方程组： 0 0 0 0 25 e 25 43 e 0.54 r Q Q Q r = = = = ，所以公式为 0.54 25e t Q = （2）由 0.54 2 e t = 得到： t =1.28 (月)
(3)由1000=25e得到:t=683(月) 注:求r的时候可以选取任意两组数据进行计算,也可以用其他方式进行计算,比如用各 相邻两组数据的差的平均值.结果略有差异 1l.旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20kg免费,超过20kg部分,每kg收 费020元.超过50kg部分再加收50%.试列出收费与物品重量的函数关系式 解设收费为P,物重为W,则当W≤20时,P=0 2050时,P=0.2(W-20)+0.5(W-50) 12.某停车场收费标准为:凡停车不超过2h的,收费2元:以后每多停车1h(不到 lh仍以1h计)增加收费0.5元.但停车时间最长不能超过5h.试建立停车费用与停车时 间之间的函数关系模型 解设收费为P,停车时间为T,则当T≤2时,P=2 2<T<5,P=2+(T-2)×0.5=0.57+1 设仪器由于长期磨损,使用x年后的价值是由下列模型 O(x)=Qe-0Hx 确定的.使用20年后,仪器的价值为8986.58元.试问当初此仪器的价值为多少? 解 由Q(x)=Q0e0x 将 20,Q(20)=8986.58 代入得到 8986.58=90c→90=200000元) 生物在稳定的理想状态下,细菌的繁殖按指数模型增长: Q()=ce(表示min后的细菌数) 假设在一定的条件下,开始(=0)时有200个细菌,且20mm后已增加到6000个, 试问1h后将有多少个细菌? Q(0)=a=2000 Q(20)=20006=6000→c20=3: 解Q(60)=2006200c0)=2000×3=54000个 15.大气压力P随着离地球表面的高度h的增加而呈指数减少: P 其中0是海平面处的大气压力,h以m计 (1)珠穆朗玛峰的顶峰海拔高8848.13m,那里的大气压力是多少?将其表示为海平面 处大气压力的百分数 (2)一架普通商用客机的最大飞行高度大约是1200m.此高度的大气压力是多少?
（3）由 0.54 1000 25e t = 得到： t = 6.83 (月) 注：求 r 的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各 相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异． 11． 旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg 免费，超过 20 kg 部分，每 kg 收 费 0.20 元． 超过 50 kg 部分再加收 50 %． 试列出收费与物品重量的函数关系式． 解 设收费为 P ，物重为 W ，则当 W ≤20 时， P = 0 ； 20<W ≤ 50 0.2( 20) 时，P W = − 50 0.2( 20) 0.5( 50) W P W W = − + − 时， 12． 某停车场收费标准为：凡停车不超过 2 h 的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h 仍以 1 h 计)增加收费 0.5 元．但停车时间最长不能超过 5 h．试建立停车费用与停车时 间之间的函数关系模型． 解 设收费为 P ，停车时间为 T ，则当 T ≤ 2 2 时，P = ； 2<T ≤ 5 2 ( 2) 0.5 0.5 1 ，P T T = + − = + 13． 设仪器由于长期磨损，使用 x 年后的价值是由下列模型 0.04 0 ( ) e x Q x Q − = 确定的．使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元．试问当初此仪器的价值为多少? 解 由 0 0.04 ( ) e x Q x Q − = ， 将 x Q = = 20 (20) 8 986.58 ， 代 入 得 到 ： 0 0 0.04 20 8 986.58 e 20 000( ) Q Q − = = 元 14． 生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长: ( ) ekt Q t a = (表示 t min 后的细菌数) 假设在一定的条件下，开始 (t = 0) 时有 2 000 个细菌，且 20 min 后已增加到 6 000 个， 试问 1 h 后将有多少个细菌? 解 20 20 60 20 3 3 (0) 2 000 (20) 2 000e 6 000 e 3 (60) 2 000e 2 000(e ) 2 000 3 54 000( ) = = = = = = = = = k k k k Q a Q Q ； ； 个 15． 大气压力 P 随着离地球表面的高度 h 的增加而呈指数减少： 4 1.2 10 0 e − − = h P P 其中 P0 是海平面处的大气压力， h 以 m 计． (1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面 处大气压力的百分数； (2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m． 此高度的大气压力是多少？
将其表示为海平面处大气压力的百分数 (1)P=Pe120×84813=03458=3458%P 解(2P=Pe120×1200=02369=2369%P 16.某工厂的空气经过过滤使得污染数量P(单位:mgL)正按照方程P=Pe减少 其中【表示时间(单位:h).如果在前5h内消除了10%的污染物: (1)10h后还剩百分之几的污染物? (2)污染减少50%需花多少时间 (3)画出污染物关于时间的函数图象,在图象上表示出你的计算结果 (4)解释污染量以这种方式减少的可能原因 P=Pe-,t=5时,有(1-10%)P=Pe-5,e-5k=09,k=0.021 (1)P(10)=Pc-=P(e)2=0.81P=81% 解(2)P()=Pe=50%→(c)=05→t=33h) (3)图像略。 (4)略。 17.某有机体死亡【年后所剩的放射性碳-14含量由式 Q =O.e-0.000 121t 给出,其中0是初始量 (1)考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%,估计该头盖骨的年 (2)试根据此方程计算碳-14的半衰期 解(1)由Q=gc:159Q=Q01=1=156787年) (2)50%=0e001=572894年) 18.一幅佛m尔( Vermeer.1632-1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5739年)含 量的99.5%.根据这一信息,是否能判断出该画是不是赝品,请解释理由 解由上一道题目=se000b 99.5%=Qc 0.00012 →t=414(年) 即这幅画只有40多年的历史,由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品 19.某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间 依正弦曲线改变 (1)画出种群总量关于时间的图象 2)求出种群量作为时间t的函数的表达式,其中t以月为单位计量
将其表示为海平面处大气压力的百分数． 解 4 4 1.2 10 8 848.13 0 0 0 1.2 10 12 000 0 0 0 (1) 0.345 8 34.58 % (2) 0.236 9 23.69 % e e − − − − = = = = = = P P P P P P P P 16． 某工厂的空气经过过滤使得污染数量 P (单位：mg/L)正按照方程 0 e kt P P − = 减少， 其中 t 表示时间（单位：h）．如果在前 5 h 内消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h 后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染减少 50 % 需花多少时间？ (3) 画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果． (4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因． 解 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 5 5 10 5 e 5 10 %) e e 0.9 0.021 (1) (10) e (e ) 0.81 81 % (2) ( ) e 50 % (e ) 0.5 33(h − − − − − − − = = = = = = = = = = = = = t kt k k k k kt k P P t P P k P P P P P P t P P t ， 时，有(1- ， ， ) (3) 图像略。 (4) 略。 17． 某有机体死亡 t 年后所剩的放射性碳-14 含量 Q 由式 0.000 121 0 e t Q Q − = 给出，其中 Q0 是初始量． (1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14 含量的 15%，估计该头盖骨的年龄． (2) 试根据此方程计算碳-14 的半衰期． 解 (1) 由 0 0 0 0.000 121 0.000 121 e 15 % e 15 678.7 − − = = = t t Q Q Q Q t ； （年） (2) 0 0 0.000 121 50 % 5 728.94 − = = t Q Q e t （年） 18． 一幅佛 m 尔(Vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为 5 739 年)含 量的 99.5 %．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由． 解 由上一道题目 0 0 0 0.000121 0.000 121 e 5% e 41.4 − − = = = t t Q Q Q Q t ； 99. （年） 即这幅画只有 40 多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品． 19． 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间 依正弦曲线改变． (1) 画出种群总量关于时间的图象． (2) 求出种群量作为时间 t 的函数的表达式，其中 t 以月为单位计量．
y 90o 800 750 解(1) 2468101 A=800+100sin(,x (2)设群量为A,则 20.同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期.钚-240的衰减由公式 0=0 给出,而钚-242的衰减则由公式 O=O 0.000001 给出,求钚-240和钚-242的半衰期 解(1)钚-240:9=50%0=Qc00→t=630134年) (2)钚242:2=5090=Qe-000101=385082(年) 21.某一储水池中水的深度在水的平均深度7m上下每隔6h完成一次正弦振荡.如 果最小深度为55m,最大深度为85m,求出水的深度表达式(单位:h)(可能的答案很多) 解设水的深度表达式为:H=ASm(n+p)+B,由题意可知,周期T=6。从而 -3,A=15,B=7则水深表达式为: H=1.5sm(t+q)+7 其中φ任意。 22.在一个拥有80000人的城市里,在时刻【得感冒的人数为 10000 N() 1+9999 其中t是以天为单位.试求开始感冒的人数及第4天感冒的人数 N(t)= =0时,N(0) 解由 1+9999e 1+999c(人) N(4)= 1+9999e e+-(人) 23.将下列函数分解成基本初等函数的复合 (1)y=sIn x
解 (1) (2)设群量为 A，则 2 800 100sin( ) 12 2 A x = + − 20． 同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240 的衰减由公式 0.00011 0 e t Q Q − = 给出，而钚-242 的衰减则由公式 0.0000018 0 e t Q Q − = 给出，求钚-240 和钚-242 的半衰期． 解 (1) 钚-240： 0 0 0.000 11 50 % e 6 301.34 − = = = t Q Q Q t （年） (2) 钚-242： 0 0 0.000 001 8 50 % 385 082 − = = = t Q Q Q e t （年） 21． 某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m 上下每隔 6 h 完成一次正弦振荡．如 果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)． 解 设水的深度表达式为： H = Asin( t +) + B ，由题意可知，周期 T = 6 。从而 3 π = ， A =1.5， B = 7 则水深表达式为： H = 1.5sin( t +) + 7 3 π 其中 任意。 22． 在一个拥有 80 000 人的城市里，在时刻 t 得感冒的人数为 10 000 ( ) 1 9 999e N t −t = + 其中 t 是以天为单位．试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数． 解 由 0 10 000 10 000 ( ) 0 (0) 1 1 9 999e 1 9 999e − = = = = + + t N t t N ， 时， （人） 4 10 000 (4) 54 1 9 999e− = = + N （人） 23． 将下列函数分解成基本初等函数的复合 (1) y x 2 = sin ； (2) y = ln tg2x ； (3) 2 (1 ) 2 x z e − = − ； (4) ln( 1 ) 2 y = x + + x ．
解(1)由y=,=snx复合而成 (2)由y=lna,=tan","=2x复合而成 由y=u,=1-v,v=e,t=-x2 复合而成 (4)由y=lna,=x+√1+x复合而成 24.设f(x)=3x+4x,(D)=h(1+0),求(1)(2),进而求f(q(2);(2)求f(ox) 解(1)0(2)=hn(1+2)=ln3 (2)f(0(2)=3(9(2)+4g(2)=3n3)+4n3 (3)f((x)=3((x)2+4(x)=3n(1+x)2+4lm(1+x) 25.求下列函数的反函数,指出定义域 (2)y=1+h(x x y≠ (2)x= 2y∈R y<1 26.加拿大芳迪湾( Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称,其高低水位之差达15 m之多.假设在芳迪湾某一特定点,水的深度y(单位:m)作为时间t的函数由 y=yo+ Acos[B(t-to)] 给出,其中【为自1994年1月1日午夜以来的小时数. 1)解释y0的物理意义 (2)求出A的值 (3)求出B的值,假定连续两次高潮位的时间间隔为2h (4)解释o的物理意义 解(1)10表示海潮的平衡位置高度 (2)A=152=7.5m B= (4)0表示199年1月1日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。 27.设一个家庭贷款购房的能力y是其偿还能力u的100倍,而这个家庭的偿还能 力u是月收入x的20% (1)(1)试把此家庭贷款购房能力y表示成月收入x的函数; (2)(2)如果这个家庭的月收入是4000元,那么这个家庭购买住房可贷款多少?
解（1）由 2 y u u x = = ， sin 复合而成； （2）由 y u u v v x = = = ln tan 2 ， ， 复合而成； （3）由 2 2 = = − = = − 1 et y u u v v t x ， ， ， 复合而成； （4）由 2 y u u x x = = + + ln 1 ， 复合而成． 24． 设 f (x) 3x 4x 2 = + ，(t) = ln(1+ t) ，求(1) (2) ，进而求 f ((2)) ；(2) 求 f ((x)) ． 解（1） (2) ln(1 2) ln 3 = + = （2） 2 2 f ( (2)) 3( (2)) 4 (2) 3(ln3) 4ln3 = + = + （3） 2 2 f x x x x x ( ( )) 3( ( )) 4 ( ) 3[ln(1 )] 4ln(1 ) = + = + + + 25． 求下列函数的反函数，指出定义域： (1) + 2 = x x y ； (2) y =1+ ln(x + 2) ； (3) 1 2 y = x + (x ≥ 0) ． 解 (1) 2 2 1 1 x y y = − − ；(2) 1 2 y x e y R − = − ；(3) 2 x y = − − 1 1 ≤ y ≤ 1 26． 加拿大芳迪湾(Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称，其高低水位之差达 15 m 之多．假设在芳迪湾某一特定点，水的深度 y （单位：m）作为时间 t 的函数由 cos[ ( )] 0 0 y = y + A B t −t 给出，其中 t 为自 1994 年 1 月 1 日午夜以来的小时数． (1) 解释 0 y 的物理意义． (2) 求出 A 的值． (3) 求出 B 的值，假定连续两次高潮位的时间间隔为 2 1 12 h． (4) 解释 0 t 的物理意义． 解 (1) 0 y 表示海潮的平衡位置高度． (2) A =15/2=7.5m (3) 2 4 1 25 12 2 B = = (4) 0 t 表示 1994 年 1 月 1 日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。 27． 设一个家庭贷款购房的能力 y 是其偿还能力 u 的 100 倍，而这个家庭的偿还能 力 u 是月收入 x 的 20 %． (1)(1)试把此家庭贷款购房能力 y 表示成月收入 x 的函数; (2)(2)如果这个家庭的月收入是 4 000 元，那么这个家庭购买住房可贷款多少?
解:y=100=100(20%x)=20x x=4000时,y=20×4000=80000元) 28.()从表1Ⅱ中所给数据,说明区间0s1s4上sint2=0的根的数目,并给出 这些根的近似值的大致位置 -0.76 (2)试利用图形计算器或计算机,在区间0≤t≤4上画图验证(1)中所得结果; (3)利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数 (4)解释最小正根为√的理由: (5)求出方程在区间0sx≤4上所有根的精确值(如π等) 解(1)由题目给出的数据可得在0处有一个根,在区间(1,2)至少存在一个根,在区 间(2,3)至少存在一个根,在区间(3,4)至少存在一个根.即在区间[0,4至少存在四个根 (3)x=0x2=18x=2.5x=3x=35; (4) 29.决定图1-55,1-56每个图象的三次多项式 02 解(1)图象与x轴有三个交点:x=2,x2=巧=5,因此可设函数为 y=k(x+2x-l)x-5), 把x=0,y=2代入: =2×(-1)×(-5)k→k ,因此所求方程为: (x+2)(x-1)(x-5 (2)图象与x轴有两个交点,所以其中有一个是重根,如图可设不x=-2,x=2 因此可设函
100 100(20 % ) 20 4 000 20 4 000 80 000 = = = = = = y u x x x y 解： 时， （元） 28． (1) 从表 1-11 中所给数据，说明区间 0≤ t ≤4 上 sin 2 t = 0 的根的数目，并给出 这些根的近似值的大致位置； t 0 1 2 3 4 sin 2 t 0 0.84 -0.76 0.41 -0.29 (2) 试利用图形计算器或计算机，在区间 0≤ t ≤4 上画图验证(1)中所得结果； (3) 利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数； (4) 解释最小正根为 π 的理由； (5) 求出方程在区间 0 x 4 上所有根的精确值(如 π 等)． 解 (1) 由题目给出的数据可得在 0 处有一个根，在区间(1，2)至少存在一个根，在区 间(2，3)至少存在一个根，在区间(3，4)至少存在一个根．即在区间[0，4]至少存在四个根； (2) 略； (3) 1 2 3 4 5 x x x x x = = = = = 0 1.8 2.5 3.1 3.5 ； ； ； ； ； (4) (5) 1 2 3 4 5 x x x x x = = = = = 0； π； 2π； 3π； 4π ． 29． 决定图 1-55，1-56 每个图象的三次多项式． 解 (1) 图象与 x 轴有三个交点： 1 2 3 x x x = − = = 2 1 5 ， ， ，因此可设函数为： y k x x x = + − − ( 2)( 1)( 5) ， 把 x y = = 0 2 ， 代入： 1 5 2 2 ( 1) ( 5) = − − = k k ， 因 此 所 求 方 程 为 ： 1 5 y x x x = ( 2)( 1)( 5) + − − (2) 图象与 x 轴有两个交点，所以其中有一个是重根，如图可设 1 2 3 x x x ， ， = − = 2 2， 因此可设函
数为y=k(x+2)(x-2),把x=0时,y=4带入得 =22×(-2)k→k 2,因此所 求方 (x+2)(x-2) 程为: 考虑下图的图象 -L,oV (1)此函数有多少零点?求零点的近似位置: (2)计算f(2)和f(4)的近似值: (3)该函数在x=-1附近是递增的还是递减的?x=3附近情况又如何? 解(1)如图可知,此函数有四个零点.x1-45:x2≈1.3:x3≈27;x1≈42 (2)f(2)=-1f(4)≈05 (3)函数在x=-1附近是递减的,x=3附近是递增的 31.(1)考虑如图1-58(a)所示的函数,求C的坐标: (2)考虑如图1-58(b所示的函数,求用b表示的C的坐标 (0b) l.1) 解(a)C所在的直线方程为1-0 代入抛物线的方程x=-x+2→x=1,x2=-2 x=1,y=1是题目给出的交点,所以所求的交点C为(-2,4 x+6=(1-b)x+ b b)C所在的直线方程为1-0 代入抛物线的方程 x2=(1-b)x+b→x=,x2=-b 所求的交点C为(-b,b) 32.化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质.如果反应生成 物本身是催化剂,该反应则称为自催化的.假设其一特定的自催化反应的速率F正比于原物 质的剩余量与生成物的数量P的函数 (1)将r表示为P的函数
数为 2 y k x x = + − ( 2) ( 2) ，把 x y = = 0 4 时， 带入得： 2 1 2 4 = − = − 2 ( 2)k k ，因此所 求方 程为： 1 2 ( 2) ( 2) 2 y = − + − x x 30． 考虑下图的图象． (1) 此函数有多少零点？求零点的近似位置； (2) 计算 f (2) 和 f (4) 的近似值； (3) 该函数在 x = − 1 附近是递增的还是递减的？ x = 3 附近情况又如何？ 解 (1) 如图可知，此函数有四个零点． 1 2 3 4 x x x x − 4.5 1.3 2.7 4.2 ； ； ； (2) f f (2) 1 (4) 0.5 − ； (3) 函数在 x = − 1 附近是递减的， x = 3 附近是递增的． 31． (1) 考虑如图 1-58(a)所示的函数，求 C 的坐标； (2) 考虑如图 1-58(b)所示的函数，求用 b 表示的 C 的坐标． 解 (a) C 所在的直线方程为 1 2 2 2 1 0 y x x − = + = − + − 代入抛物线的方程 2 1 2 x x x x = − + = = − 2 1 2 ， ， 1 x y = = 1 1 ， 是题目给出的交点，所以所求的交点 C 为 ( 2 ) − ，4 (b) C 所在的直线方程为 1 (1 ) 1 0 b y x b b x b − = + = − + − ，代入抛物线的方程： 2 1 2 x b x b x x b = − + = = − (1 ) 1， 所求的交点 C 为 2 ( ) −b b ， ． 32．化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质．如果反应生成 物本身是催化剂，该反应则称为自催化的．假设其一特定的自催化反应的速率 r 正比于原物 质的剩余量与生成物的数量 p 的函数． (1) 将 r 表示为 p 的函数；
(2)当反应进程最快时,P的值是多少? 解设元物质总量为Q,由题意可知: (1)F=k(Q-P)P,其中k为正比例常数。 Q P (2)求r的最大值,可得 2,即原物质剩余量p减少为原来的一半时,反应进程 最快。 33.在空间直角坐标系中,说明下列各点的位置 (3,1,2)、B(2,-3,2)、C(1,-2,-4)、D(-3,0,4)、E(0,0,-2)、F(-2,6,-2). 解4(3,1,2)位于第一卦限、B(2,-3,2)位于第四卦限、C(l,-2,-4)位于第八卦 限、D(-3,0,4)位于xO平面、E(0,0,-2)位于二轴负向、F(-2,6,-2)位于第六卦限 4.求点M(2,3,4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标 解(1)关于xO的对称点为(2,3,-4),关于的对称点为(-2,3,4),关于XO的 对称点为(2,-3,4). (2)关于x轴的对称点为(2,-3,-4),关于y轴的对称点为-2,3,-4),关于二轴的 对称点为(-2,-3,4) (3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2,-3,-4) 35.求下列各函数的定义域,并画出定义域的图形: (1)=lm(y2-4x+8) 二= arcs =y+/个 36.某公司生产中使用I和Ⅲ两种原料,已知I和Ⅱ两种原料分别使用x单位和 y单位可生产U单位的产品,这里U(x,y)=8xy+32x+40y-4x2-6y2并且第1种原料每 单位的价值为10元,第Ⅱ种原料每单位的价值为4元,产品成品每单位的售价为40元, 试给出其利润函数 10x+4y 解其单位产品利润为P=单位价格-单位成本=(8xy-32x-40y+4x2+6y2) 个灯泡悬吊在半径为r的圆桌正上方,桌上任一点受到的光照度与光线的入射 角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角),而与光源的距离平方成反 比.试求桌子边缘所得到的光照度 解:设光源离桌面的高度为h,则桌子边缘所得到光线的入射角的余弦值cos= 其中h2+r2即为距光源的距离的平方 k. 0 所以光照度为分+=+N分+,其中k为一个常数 38.在平行四边形ABCD中,已知AB=a,AD=b,M为对角线AC与BD的交点
(2) 当反应进程最快时， p 的值是多少？ 解 设元物质总量为 Q，由题意可知： (1) r = k(Q − p) p ，其中 k 为正比例常数。 (2) 求 r 的最大值，可得： 2 Q p = ，即原物质剩余量 p 减少为原来的一半时，反应进程 最快。 33．在空间直角坐标系中，说明下列各点的位置 A(3，1，2)、B(2，-3，2)、C(1，-2，-4)、D(-3，0，4)、E(0，0，-2)、F(-2，6，-2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，-3，2) 位于第四卦限、C(1，-2，-4) 位于第八卦 限、D(-3，0，4) 位于 xOz 平面、E(0，0，-2) 位于 z 轴负向、F(-2，6，-2) 位于第六卦限． 34．求点 M(2，3，4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标． 解 (1) 关于 xOy 的对称点为(2，3，-4)，关于 yOz 的对称点为(-2，3，4)，关于 xOz 的 对称点为(2，-3，4)． (2)关于 x 轴的对称点为(2，-3，-4)，关于 y 轴的对称点为(-2，3，-4)，关于 z 轴的 对称点为(-2，-3，4)． (3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2，-3，-4)． 35． 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形： (1) ln( 4 8) 2 z = y − x + ； (2) x y z = arcsin ； (3) ln(1 ) 4 2 2 2 x y x y z − − − = ； (4) 2 2 2 2 2 2 ln x y R x y R z xy + + − + = + ． 36． 某公司生产中使用 I 和 II 两种原料，已知 I 和 II 两种原料分别使用 x 单位和 y 单位可生产 U 单位的产品，这里 2 2 U(x, y) = 8xy + 32x + 40y − 4x − 6y 并且第 I 种原料每 单位的价值为 10 元，第 II 种原料每单位的价值为 4 元，产品成品每单位的售价为 40 元， 试给出其利润函数． 解 其单位产品利润为 P=单位价格-单位成本= 2 2 10 4 40 (8 32 40 4 6 ) x y xy x y x y + − − − + + 37． 一个灯泡悬吊在半径为 r 的圆桌正上方，桌上任一点受到的光照度与光线的入射 角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角)，而与光源的距离平方成反 比．试求桌子边缘所得到的光照度． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos ( ) h h h r h r k kh k h r h r h r = + + = + + + 解：设光源离桌面的高度为 ，则桌子边缘所得到光线的入射角的余弦值 ， 其中 即为距光源的距离的平方 所以光照度为 ，其中 为一个常数． 38． 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = a ，AD = b ，M 为对角线 AC 与 BD 的交点
试用a,b表示MA,MB,MC,MD AC=a+b, BD=6-a MA=-AM=--AC=--(a+b), MC=AM=-AC=-(a+b) MB=-BM=--BD=--(b-a), MD= BM=-BD=-(b-a 39.已知a=5,|b=3,a+b=7,求{a-b cos0=+b2 6 解设两向量之间的夹角为6,则由余弦公式 2ab 2,所以3 2+b2-2 Cab cos=√9 所以a-b 40.由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径.已知在平行四边形ABCD 中,三个顶点A、B、C的向径表达式为:OA=h,OB=n,OC=r,试求向径OD 的表达式,如图1-59所示 N OD=OA+ AD=OA+ BC=OA+OC-08=5+r-2 41.一条东西走向的河流,水由东流向西,流速为1km/h,某游泳者从河南岸的A点 以2kmh的速度游往对岸,方向为正北.若河的宽度为4km,画图分析游泳者的真实游 泳方向,然后求解 (1)游泳者的游动速度? (2)游泳者花多长时间可以游至对岸?所游的路程为多少? 解(1)"=Ⅵ+22 2 (h),所游路程为:S=Vt=2√5(km) 42.求下列各对点之间的距离 (1)点A(0,0,0)与点B(-2,3,1):(2)点C5,2,-3)与点D(-1,3,-2)
试用 a，b 表示 MA ，MB ，MC ，MD ． 解 AC BD =a b b a + = − ， 所 以 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 MA AM AC MC AM AC = − = − + = = = + =- ( ) a b a b ， 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 =- ( ) MB BM BD MD BM BD = − = − − = = = − b a b a ， 39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a - b|． 解 设两向量之间的夹角为 ，则由余弦公式 2 2 2 1 cos 2 2 + − = = a b c ab ，所以 π 3 = ， 所以|a－b| 2 2 π 2 cos 19 3 = + − = a b ab 40． 由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径． 已知在平行四边形 ABCD 中，三个顶点 A、B、C 的向径表达式为： OA ＝ 1 r ，OB ＝ 2 r ，OC ＝ 3 r ，试求向径 OD 的表达式，如图 1-59 所示． 解 OD OA AD OA BC OA OC OB r r r 1 3 2 = + = + = + − = + − 41． 一条东西走向的河流，水由东流向西，流速为 1 km/h，某游泳者从河南岸的 A 点 以 2 km/h 的速度游往对岸，方向为正北． 若河的宽度为 4km，画图分析游泳者的真实游 泳方向，然后求解： (1) 游泳者的游动速度？ (2) 游泳者花多长时间可以游至对岸？所游的路程为多少？ 解 (1) 1 2 5 2 v = + = (2) 2 2 4 t = = （h），所游路程为： s = vt = 2 5 （km） 42． 求下列各对点之间的距离 (1) 点 A(0，0，0)与点 B(-2，3，1)； (2) 点 C(5，2，-3)与点 D(-1，3，-2)．
