综合测验一 说明 (1)本测验分(A)卷和(B)卷。 (2)每队只能从(A)、(B)卷中任选一套试卷做。若选择(A)卷,只要从(A)卷题目中任 选 题,按照所选题目的要求完成即可;若选择(B)卷,只要从(B)卷题目中任选两题,按照所 选题目的要求完成即可。 (2)任何两队之间不允许讨论,不允许互相抄袭,一旦发现,均以作弊处理 (3)每队都要用数学作业纸答卷:字迹要工整;每一个问题的解答都要有完整的过程, 过程不完整者均要扣分:只有结果,没有过程者均以0分处理。 (4)按时交卷,交卷时每个人的名字都写在第一页的上方;过时不交均以自动放弃处理; 交卷时试题与答案一同交上来 (5)用 Mathematica编的程序附在卷子的后面。 (A)卷 梯子的长度问题 1问题 幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室, 温室 宽a米,高b米。温室正上方是楼房的窗台,清洁工打扫窗台周围,他得用梯子 越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压 力的,所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架L米长的梯子,你认为它能达 到要求吗? 2要求 (1)(1)当梯子与温室顶端处恰好接触斜靠楼房时,梯子的长度L只与梯子 倾斜的 角度x有关试写出函数L(x)及定义域 (2)设a=2,b=3画出函数(x)的图形 (3)在(2)中,求函数(x)的驻点(用 Mathe matica命令求)并计算函数在驻
综合测验一 说明: (1)本测验分( A )卷和( B )卷。 (2)每队只能从( A )、( B )卷中任选一套试卷做。若选择( A )卷，只要从( A )卷题目中任 选一 题，按照所选题目的要求完成即可；若选择( B )卷，只要从( B )卷题目中任选两题，按照所 选题目的要求完成即可。 (2)任何两队之间不允许讨论，不允许互相抄袭，一旦发现，均以作弊处理。 (3)每队都要用数学作业纸答卷；字迹要工整；每一个问题的解答都要有完整的过程， 过程不完整者均要扣分；只有结果，没有过程者均以 0 分处理。 (4)按时交卷，交卷时每个人的名字都写在第一页的上方；过时不交均以自动放弃处理； 交卷时试题与答案一同交上来。 (5)用 Mathematica 编的程序附在卷子的后面。 （ A ）卷 一、梯子的长度问题 1.问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室， 温室 宽 a 米，高 b 米。温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯子 越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压 力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架 L 米长的梯子，你认为它能达 到要求吗？ 2.要求 (1) (1)当梯子与温室顶端处恰好接触斜靠楼房时,梯子的长度 L 只与梯子 倾斜的 角度 x 有关.试写出函数 L(x) 及定义域. (2)设 a = 2,b = 3 ,画出函数 L(x) 的图形. (3)在(2)中,求函数 L(x) 的驻点(用 Mathematica 命令求),并计算函数在驻
点的 值,驻点唯一吗? (4)观察图形选取初始点直接用 Mathematic a命令求函数的极小值,并与 (3) 中的结果比较 (5)取a=1.8,在只用6.5米长梯子的情况下,温室最多能修建多高 (6)一条1米宽的通道与另一条2米宽的通道相交成直角,一个梯子需要水 平饶过拐角,试问梯子的最大长度是多少? 二、n级混联电路问题 1问题 对于串联电路(如图1)和纯粹并联电路(如图2),求总电阻,物理上是容易计 算的对于图3这种混联电路,或甚至“无穷多”个支路的这类电路,如何求其总电 阻呢? 4-.L 图 B A 图2 R 图3 2要求 (1)(1)试设计程序计算下列5种电路(如图4)中4,B间的总电阻 R(B(n=l2,3) 其中F,R的电阻值是已知的对于小的n值,要求给出简单公式,对于R及r的特殊
点的 值,驻点唯一吗? (4)观察图形,选取初始点,直接用 Mathematica 命令求函数的极小值,并与 (3) 中的结果比较. (5)取 a =1.8,在只用 6.5 米长梯子的情况下,温室最多能修建多高? (6)一条 1 米宽的通道与另一条 2 米宽的通道相交成直角,一个梯子需要水 平饶过拐角,试问梯子的最大长度是多少? 二、 n 级混联电路问题 1.问题 对于串联电路(如图 1)和纯粹并联电路(如图 2),求总电阻,物理上是容易计 算的.对于图 3 这种混联电路,或甚至“无穷多”个支路的这类电路,如何求其总电 阻呢？ A 图 1 B A 图 2 B A 图 3 B 2.要求 (1) (1)试设计程序计算下列 5 种电路(如图 4)中 A, B 间的总电阻 ( , , , ) RAB (n) n =1 2 3 , 其中 r, R 的电阻值是已知的.对于小的 n 值,要求给出简单公式;对于 R 及 r 的特殊 r r r R R R r r R R R R r r
值,比如R=r=1等,试给出至少n≤10时的准确值,且观察其中规律性的东西 R R A R R R R 图4 (2)对于R及r的其他值运行程序有一些什么样的结论? 陈酒出售的最佳时机问题 1.问题 某酒厂新酿制了一批好酒。如果现在就出售,可得总收入A0=50万元, 如果把酒储藏起来待到来日(第n年)按陈酒价格出售,第n年末可得总收入为: 1 R=Re°万元。而银行利率为r=005,试分析这批好酒储藏多少年后可使总 收入现值最大? 2.要求 第一种方案:如果现在出售这批好酒,可得本金50万元。由于银行利率 为r=005,按照复利计算公式,第n年本利和为:B(m)=501+0.05)。 第二种方案:如果储藏起来,等到第η年出售,原来的50万元到第η年増 值为:R(m)=50e6 (1)(1)利用这两个不同的公式分别计算出第一年末,第二年末, 第十六年 末采用两种方案,50万元增值的数目 比较(1)中用两种不同方案计算的数据,考虑如下问题 1)1)如果酒厂希望在2年后投资扩建酒厂,应选择哪一种方案使这批好 酒所具 有的价值发挥最大作用? 2)2)如果酒厂希望在6年后将资金用作其他投资,应该选择哪一种方案? (2)(2)假设现在酒厂有一笔现金,数额为X万元,将其存入银行
值,比如 R = r = 1 等,试给出至少 n 10 时的准确值,且观察其中规律性的东西. A A A B B B A A B B 图 4 (2)对于 R 及 r 的其他值运行程序,有一些什么样的结论? 三、陈酒出售的最佳时机问题 1．问题 某酒厂新酿制了一批好酒。如果现在就出售，可得总收入 R0 = 50 万元， 如果把酒储藏起来待到来日(第 n 年)按陈酒价格出售，第 n 年末可得总收入为： n R R e 6 1 = 0 万元。而银行利率为 r = 0.05 ，试分析这批好酒储藏多少年后可使总 收入现值最大？ 2．要求 第一种方案：如果现在出售这批好酒，可得本金 50 万元。由于银行利率 为 r = 0.05 ，按照复利计算公式，第 n 年本利和为： n B(n) = 50(1+ 0.05) 。 第二种方案：如果储藏起来，等到第 n 年出售，原来的 50 万元到第 n 年增 值为： n R n e 6 1 ( ) = 50 。 （1）（1）利用这两个不同的公式分别计算出第一年末，第二年末，…..， 第十六年 末采用两种方案，50 万元增值的数目。 比较（1）中用两种不同方案计算的数据，考虑如下问题： 1）1）如果酒厂希望在 2 年后投资扩建酒厂，应选择哪一种方案使这批好 酒所具 有的价值发挥最大作用？ 2）2）如果酒厂希望在 6 年后将资金用作其他投资，应该选择哪一种方案？ （2）（2） 假设现在酒厂有一笔现金，数额为 X 万元，将其存入银行， r R r R r R r r r R R R r r R R r R r r R R r R
等到第n 年时增值为(m)万元。根据复利公式,R(n)=K(+0.05)",则称X为R(m)的现 值。故X(n)的现值计算公式为 R(n) (1+0.05) 舍,将R(n)=50ε°代入上式,可得酒厂将这批好酒储藏起来作为陈酒在第n 出售所得总收入的现值为 √m (1+0.05 利用这一公式,计算出16年内陈酒出售后总收入X()的现值数据 根据上面计算的数据,考虑下面的问题: 如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于8年后的另外投资,应选择那 年作为出售陈酒的最佳时间? B)卷 鱼群的适度捕捞问题 鱼群是一种可再生的资源。若目前鱼群的总数为x公斤,经过一年的成长 与繁 殖,第二年鱼群的总数变为y公斤。反映x与y之间相互关系的曲线称为再生产 曲线,记为y=f(x)。 现假设鱼群的再生产曲线为 N),>)。为保证鱼群的数量维 持稳定,在捕捞时必须注意适度捕捞。问 1.假设r为自然增长率,试对再生产曲线的实际意义作简单解释 2.鱼群的数量控制在多大时,才能使我们获得最大的持续捕获量? 3.设某鱼塘最多可养鱼10万公斤,若鱼量超过10万公斤,由于缺氧等原因 会造成鱼群大范围死亡。根据经验知鱼群年自然增长率为4,试计算每年的合理 捕捞量。 路程最短问题 (a)比亚一天的活动如下:上午在华盛顿大学上课,下午在东圣路易斯工
等到第 n 年时增值为 R(n) 万元。根据复利公式， n R(n) = X(1+ 0.05) ，则称 X 为 R(n) 的现 值。故 X (n) 的现值计算公式为 n R n X n ( . ) ( ) ( ) 1+ 0 05 = 将 n R n e 6 1 ( ) = 50 代入上式，可得酒厂将这批好酒储藏起来作为陈酒在第 n 年后出售所得总收入的现值为 n n e X n ( . ) ( ) 1 0 05 50 6 1 + = 利用这一公式，计算出 16 年内陈酒出售后总收入 X (n) 的现值数据 根据上面计算的数据，考虑下面的问题： 如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于 8 年后的另外投资，应选择那 一年作为出售陈酒的最佳时间？ （ B ）卷 一、 一、 鱼群的适度捕捞问题 鱼群是一种可再生的资源。若目前鱼群的总数为 x 公斤，经过一年的成长 与繁 殖，第二年鱼群的总数变为 y 公斤。反映 x 与 y 之间相互关系的曲线称为再生产 曲线，记为 y = f (x)。 现假设鱼群的再生产曲线为 = − N x y rx 1 ，(r 1) 。为保证鱼群的数量维 持稳定，在捕捞时必须注意适度捕捞。问 1.假设 r 为自然增长率，试对再生产曲线的实际意义作简单解释。 2.鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？ 3.设某鱼塘最多可养鱼 10 万公斤，若鱼量超过 10 万公斤，由于缺氧等原因 会造成鱼群大范围死亡。根据经验知鱼群年自然增长率为 4，试计算每年的合理 捕捞量。 二、 二、 路程最短问题 (a) 比亚一天的活动如下：上午在华盛顿大学上课，下午在东圣路易斯工
作 晚上去她最喜欢的酒巴喝酒。在家吃早饭和晚饭,她应当在这条路上何处找一所 公寓,使每天往返距离最短(如图1)? (b)她的同事玛丽。乔西(在家吃)前要去拱门路附近的体操馆,一天中其余 活动则与比亚一样她应当在这条路上何处找一所公寓? 华盛顿大学 A(1) 8km 12km 拱门路 2km 东圣●路易斯 3am gam 3pm 9pm 3am 9am 3pm 图1 图2 水温变化问题 考虑一个大水箱。水的温度为(O),周围的温度4()即四周空气的温度) 的图象如图2所示水的温度受四周空气温度的影响 1.如果水比周围空气冷水的温度如何改变?如果水比周围空气热,水温 如何改 变 22用1题的答案在同一坐标系下画出如4()那样的W()的可能图象 3.3.解释W()的极大值、极小值与两图象交点之间的关系
作, 晚上去她最喜欢的酒巴喝酒。在家吃早饭和晚饭，她应当在这条路上何处找一所 公寓，使每天往返距离最短(如图 1)? (b) 她的同事玛丽 • 乔西(在家吃)前要去拱门路附近的体操馆,一天中其余 活动则与比亚一样.她应当在这条路上何处找一所公寓? 华盛顿大学 A(t) 15 A(t) 8km 酒巴 10 12km 5 拱门路 2km t 东圣 • 路易斯 3am 9am 3pm 9pm 3am 9am 3pm 9pm 图 1 图 2 三、水温变化问题 考虑一个大水箱。水的温度为 W (t) ，周围的温度 A(t) (即四周空气的温度) 的图象如图 2 所示.水的温度受四周空气温度的影响. 1. 1. 如果水比周围空气冷,水的温度如何改变?如果水比周围空气热,水温 如何改 变? 2. 2. 用 1.题的答案,在同一坐标系下画出如 A(t) 那样的 W (t) 的可能图象。 3. 3. 解释 W (t) 的极大值、极小值与两图象交点之间的关系
44.水温改变的速率与A()-W()之间有怎样的关系? 5.5.W()的拐点与4()-W(与A()-W()取极大值或极小值的点之间 有怎样 的关系? 66.设在凌晨3点水箱里又重新注满2C的冷水,画出W()的可能图象。 要 注意其凹凸性。 四、家庭教育基金问题 从1994年开始,我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将来的教 育 经费,小张夫妇从他们的儿子出生时开始,每年向银行存入x元作为家庭教育基 金。若银行的年利率为r, (1)试写出第n年后教育基金总额的表达式 (2)(2)假设当子女18岁进入大学时所需费用为30000元,按年利率10% 计算 小张每年应向银行存入多少元? (3)假设小张向银行贷款4元用于买房,贷款年利率为r,从第二年起,小 张每年向银行还x元,按照(1)2)的解法,给出n年后小张还欠银行贷款额数
4. 4. 水温改变的速率与 A(t) −W(t) 之间有怎样的关系？ 5. 5. W (t) 的拐点与 A(t) −W(t) 与 A(t) −W(t) 取极大值或极小值的点之间 有怎样 的关系？ 6. 6. 设在凌晨 3 点水箱里又重新注满 C 0 2 的冷水，画出 W (t) 的可能图象。 要 注意其凹凸性。 四、家庭教育基金问题 从 1994 年开始，我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将来的教 育 经费，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入 x 元作为家庭教育基 金。若银行的年利率为 r ， (1)试写出第 n 年后教育基金总额的表达式。 (2) (2)假设当子女 18 岁进入大学时所需费用为 30000 元，按年利率 10% 计算, 小张每年应向银行存入多少元? (3)假设小张向银行贷款 A0 元用于买房，贷款年利率为 r ，从第二年起，小 张每年向银行还 x 元，按照(1)(2)的解法，给出 n 年后小张还欠银行贷款额数 An