第1章函数(练习题)() 判断题(正确与否请说明理由) 1复合函数fg(x)的定义域即g(x)的定义域 2设y=f()=9(x),则y一定可以通过u成为x的函数y=fo(x) 3.没有既是奇又是偶的函数 4若y=y()为偶函数,=(x)为奇函数则y=(x)为偶函数 5两个单调增函数之和仍为单调增函数 6两个单调增(减)函数之积必为单调增(减)函数 7.y=f(x)在(ab)内处处有定义,则在(a2b)内一定有界 二、填空题 若f(x)的定义域为(0,,那么f(x)的定义域为 2.设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列函数的奇偶性为:f8(x) glf(x 几f(x)是 3若/(x)为奇函数,则几f(-x)为 q∫()≈ax+b cx+d在条件 下,它的反函数是其自身 由函数 复合而成的 f(x)= x+3(-3≤x<0) 6函数 -2x+1(0≤x≤2 的定义域是 f(0) f(-1)= f(2 7若f(x)=cOsx,g(x)=lnx则f!(ve)= gff(o)] f(x+x)=x2+x-2则f(x)= In(x-y) x+ 的定义域为
第 1 章 函数（练习题）(一) 一、一、判断题(正确与否请说明理由) 1.复合函数 f [g(x)] 的定义域即 g(x) 的定义域. 2.设 y = f (u),u = (x) ,则 y 一定可以通过 u 成为 x 的函数 y = f [(x)] . 3.没有既是奇,又是偶的函数. 4.若 y = y(u) 为偶函数, u = u(x) 为奇函数,则 y = y[u(x)] 为偶函数. 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数. 6.两个单调增(减)函数之积必为单调增(减)函数. 7. y = f (x) 在 (a,b) 内处处有定义,则在 (a,b) 内一定有界. 二、填空题 1.若 f (x) 的定义域为 (0,1] ,那么 ( ) 2 f x 的定义域为 . 2. 设 f (x) 为 奇 函 数 , g(x) 为 偶 函 数 , 则 下 列 函 数 的 奇 偶 性 为 : f [g(x)] 是 ; g[ f (x)] 是 ; f [ f (x)] 是 . 3.若 f (x) 为奇函数,则 f [ f (−x)] 为 . 4.设 cx d ax b f x + + ( ) = 在条件 下,它的反函数是其自身. 5. y e x = sin 是由函数 复合而成的. 6.函数 − + + − = 2 1 (0 2) 3 ( 3 0) ( ) x x x x f x 的定义域是 ; f (0) = ; f (−1) = ; f (2) = . 7.若 f (x) = cosx,g(x) = ln x ,则 f [g( e)] = ; g[ f (0)] = . 8.设 f (x + x ) = x + x −1 2 −2 ,则 f (x) = . 9. z x y x y = − + − ln( ) 2 2 1 的定义域为
三、解答题 f()=x+√1+x2(x>0) ,求f(x) f(x)=arcsin 2求函数 +x定义域 四、应用题 1截面边长将直径为d的圆木料锯成截面为 矩形的木材(如图,列出矩形截面两边长之间的函数 关系 (1题图) 2(指数增长模型)生物在稳定的理想状态下细菌的繁殖按指数模型增长 ()=e(表示分钟后的细菌数) 假设在一定的条件下开始(=0)时有200细菌且20分钟后已增加到6000个,试问1小 时后将有多少个细菌? 3(保本分析)某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等)它所出售的 食 品的生产费用为1元/千克而销售价格为2元/千克试问他们每天应当销售多少千克食品才 能使公司的收支保持平衡? 4(停车场收费)某停车场收费标准为凡停车不超过两小时的收费2元以后每多停车1 小时(不到1小时仍以1小时计)增加收费0.5元但停车时间最长不能超过5小时试建立停车 费用与停车时间之间的函数模型
三、解答题 1.设 ) 1 ( 0) 1 ( 2 = x + + x x x f ,求 f (x) . 2.求函数 x x f x + = 1 3 ( ) arcsin 定义域. 四、应用题 1.1.(截面边长)将直径为 d 的圆木料锯成截面为 矩形的木材(如图),列出矩形截面两边长之间的函数 关系. (1 题图) 2.(指数增长模型)生物在稳定的理想状态下,细菌的繁殖按指数模型增长: kt Q(t) = ae (表示 t 分钟后的细菌数) 假设在一定的条件下,开始 (t = 0) 时有 2000 个细菌,且 20 分钟后已增加到 6000 个,试问 1 小 时后将有多少个细菌? 3.(保本分析)某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等),它所出售的 食 品的生产费用为 1 元/千克,而销售价格为 2 元/千克.试问他们每天应当销售多少千克食品才 能使公司的收支保持平衡? 4.(停车场收费)某停车场收费标准为:凡停车不超过两小时的,收费2元.以后每多停车1 小时(不到 1 小时仍以 1 小时计)增加收费 0.5 元.但停车时间最长不能超过5 小时.试建立停车 费用与停车时间之间的函数模型
5(指数衰减模型)设仪器由于长期磨损使用x年后的价值是由下列模型 O(x)=0 e-004x 确定的使用20年后仪器的价值为8986.58元试问当初此仪器的价值为多少 6(贷款购房)设一个家庭贷款购房的能力(y)是其偿还能力()的100倍而这个家庭 的 偿还能力()是月收入(x)的209% (1))试把此家庭贷款购房能力(y)表示成月收入(x)的函数 (2)(2)如果这个家庭的月收入是4000元,那么这个家庭购买住房可贷款多少? 第5章积分学及应用(练习题)() 判断题正确与否请说明理由) 1 ctan x2dx」=arr 2若f(x)≤g(x),则 f(x)dxs g(x)dx 3.若 f(x)dx=F(x)+c m l f[g(x)]dx= FIg(x)]+c .*/(x)dx=F(x)+c mu f[g(x)]dg(x)=F[g(x)]+c 5凡偶函数的原函数都是奇函数 6. Jo f(t)dt xf(x)
5.(指数衰减模型)设仪器由于长期磨损,使用 x 年后的价值是由下列模型 x Q x Q e 0.04 0 ( ) − = 确定的.使用 20 年后,仪器的价值为 8986.58 元.试问当初此仪器的价值为多少? 6.(贷款购房)设一个家庭贷款购房的能力 ( y) 是其偿还能力 (u) 的 100 倍,而这个家庭 的 偿还能力 (u) 是月收入 (x) 的 20%. (1)(1)试把此家庭贷款购房能力 ( y) 表示成月收入 (x) 的函数; (2)(2)如果这个家庭的月收入是 4000 元,那么这个家庭购买住房可贷款多少? 第 5 章 积分学及应用(练习题)（一） 一、 一、 判断题(正确与否请说明理由) 1. 2 2 d arctan x dx = arctan x . 2.若 f (x) g(x) ,则 f (x)dx g(x)dx . 3.若 f (x)dx = F(x) + c ,则 f [g(x)]dx = F[g(x)] + c . 4.若 f (x)dx = F(x) + c ,则 f [g(x)]dg(x) = F[g(x)] + c . 5.凡偶函数的原函数都是奇函数. 6. ( ) ( ) 0 xf t dt xf x x =
7若F(x)G(x)是f(x)的两个原函数则F(x)=G(x) 8若()1b上连续(x)= (x) f(odt=f(x) (/())-(x)=() 1定积分f(x)d 的几何意义为介于曲线y=f(x)、x轴与直线x=a及x=b之间 边梯形的面积 二、填空题 1同一函数的任意两个原函数之间的关系是 2.一曲线过原点且每一点的切线的斜率等于2x,这条曲线的方程是 3若/(x)∈Ca,且F()=f(x),则fx f(x)dx= f(u)du 说明定积分的值与 无关。 5若f(x)∈C-a,a,且f-x)=-f(x),则Cf(x) 当f(-x)=f(),则上(x)= - dx 6(1)1+x 3)/(sin x+2 x)dx (5)J2e'dr= tan 5xdx (x+2)°dx= (1+ tan x)dx db
7.若 F(x),G(x) 是 f (x) 的两个原函数,则 F(x) = G(x) . 8.若 f (x) 在 [a,b] 上连续, = x a (x) f (t)dt ,则 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = . 9. ( ) = = f (x)dx f (x)dx f (x) . 10. + + = + x dx x c 1 1 1 11.定积分 b a f (x)dx 的几何意义为:介于曲线 y = f (x) 、x 轴与直线 x = a 及 x = b 之间 曲 边梯形的面积. 二、填空题 1.同一函数的任意两个原函数之间的关系是 . 2.一曲线过原点且每一点的切线的斜率等于 2x,这条曲线的方程是 . 3.若 f (x) C[a,b] ，且 F'(x) = f (x) ，则 = b a f (x)dx 。 4. = b a b a f (x)dx f (u)du ，说明定积分的值与 无关。 5.若 f (x) C[−a,a] ，且 f (−x) = − f (x) ，则 − = a a f (x)dx ； 当 f (−x) = f (x) ，则 − = a a f (x)dx . 6.(1) = + dx x 2 1 1 ; (2) x xdx = ; (3) (sin x + 2cos x)dx = ; (4) = − dx x 3 x ; (5) e dx = x x 2 ; (6) tan 5xdx = ; (7) xdx = 2 cos ; (8) x + dx = 95 ( 2) ; (9) − + = 4 4 2 (1 tan ) x dx ; (10) = + x x e dx 1 ln 1 ;
(11)Jouedu= In xdx= 7.如图,用阴影部分的面积41,42表示定积分 y 选择题 1若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则下式中正确的是() F(x)=f(x)dx dF(x)=f(x) [F(x)+k]=f(x)(k∈R) F(x)=f(x)+k(k∈R) 叮f(x1-=() A B x)是f(x)的一个原函数) F(x)+c(c∈R) f(x) Af(x)是8(x)的原函数Bg(x)是f(x)的不定积分 Cg(x)是f(x)的原函数Df(x)是8(x)的不定积分 4设f(x)的一个原函数是a,则f(x) (In a) hna·ax a·a+c (In a) a" +c 5设连续曲线y=f(x)在ab上与x轴围城三块面积S,S2S3,其中S1,S3在x轴的
(11) = 1 0 ue du u ; (12) = dx x e x 3 1 2 1 ; 7．如图，用阴影部分的面积 1 2 A , A 表示定积分 = e e 1 ln xdx 。 y y = ln x e 1 o e x 三、选择题 1.若 F(x)是函数 f(x)的一个原函数,则下式中正确的是( ) A F'(x) = f (x)dx B dF(x) = f (x) C [F(x) + k]'= f (x) (k R) D F'(x) = f (x) + k (k R) 2. ( ) d[ f (x)dx] = A f (x)dx B F(x) ( F(x) 是 f (x) 的一个原函数) C F(x) + c (cR) D f (x) 3.设 x g x x f x 1 , ( ) 1 ( ) 2 = − = ，则 A f (x) 是 g(x) 的原函数 B g(x) 是 f (x) 的不定积分 C g(x) 是 f (x) 的原函数 D f (x) 是 g(x) 的不定积分 4.设 f (x) 的一个原函数是 x a ,则 f (x) = . A ( ) x a a 2 ln B x ln a a C a a c x ln + D ( a) a c x + 2 ln 5.设连续曲线 y = f (x) 在 [a,b] 上与 x 轴围城三块面积 1 2 3 S , S , S ,其中 S1 S3 , 在 x 轴的
下方.S2在x轴的上方已知S1=25-g+S,=P≠q则(x)= a -P c p+q D-p-q xdx 6.极限t→0° 2 A +oo B-∞ 7若Jf(x)=2e2+cmf(x) A 2 e-+c 四、求下列积分 2 COS x dx 1+In cos x d x x sin x - dx 7.-2x2+3x2+2
下方, 2 S 在 x 轴的上方.已知 S1 = 2S2 − q, S2 + S3 = p, p q 则 = b a f (x)dx . A q − p B p − q C p + q D − p − q 6.极限 = → − 3 0 0 2 sin lim t xdx t t . A + B − C 3 2 − D 0 7.若 f x dx = e + c x 2 ( ) 2 ,则 f (x) = . A 2 2 x e B 2 4 x e C e c x + 2 D 2 x e 四、求下列积分 1. (x −1)(x − 2)dx 2. xe dx x 2 2 3. + dx x x 1 sin cos 4. + dx x x 1 5. 1 0 2 cos xdx 6. e + dx x x 1 1 ln 7. dx x x x x − + + 2 2 4 2 3 2 3 2 sin
五、解答题 1先利用定积分的定义计算积分 然后再用牛顿一莱布尼兹公式验证你的结果 2比较积分ea 的大小 3求由参数表示式 x=lsin udu, y= cosudu 所确定的函数y对x的导数 dt+ costdt=0 4.求由 所确定的隐函数y对x的导数 dt lin → 5求极限
五、解答题 1.先利用定积分的定义计算积分 1 0 xdx ,然后再用牛顿—莱布尼兹公式验证你的结果. 2.比较积分 1 0 e dx x 与 1 0 2 e dx x 的大小. 3.求由参数表示式 = = t t x udu y udu 0 0 sin , cos 所确定的函数 y 对 x 的导数. 4.求由 cos 0 0 0 + = e dt tdt y x t 所确定的隐函数 y 对 x 的导数. 5.求极限 → x t x t x e dt e dt 0 2 2 0 2 2 lim
+1x<1 6.设 31求/(xk x2x∈[O,1) 7.设 xx∈[2求(x)=(m在D.2]上的表达式并讨论(x) (02)内的连续性 8已知f(x)的一个原函数是x求」x(x f(snx)=cos2x求∫(x)
6.设 + = 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x f x ,求 2 0 f (x)dx . 7.设 = [1,2] [0,1) ( ) 2 x x x x f x ,求 = x x f t dt 0 ( ) ( ) 在 [0,2] 上的表达式,并讨论 (x) 在 (0,2) 内的连续性. 8.已知 f (x) 的一个原函数是 x sin x ,求 xf '(x)dx . 9.设 f x x 2 (sin ) = cos ,求 f (x) . 10.设 = x y t dt 0 2 sin( ) ,求 ) 2 (0), ( y y
11. y=/te"dr 的极值点 12.设函数f(x)满足 2f(x)=f(x)dx+x+I f(x)dx ,求 六、应用题 1(路程问题)一物体又静止开始运动在秒末的速度为32(m/S)间: (1)(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2)(2)物体走完360米需多少时间? 2(何问题)一曲线通过点(,3),且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒 数求该曲线 方程
11.求 − = x t y te dt 0 的极值点. 12.设函数 f (x) 满足 2 ( ) ( ) 1 1 0 = + + f x f x dx x ,求 1 0 f (x)dx . 六、应用题 1.(路程问题)一物体又静止开始运动,在 t 秒末的速度为 3 ( / ) 2 t m s ,问: (1)(1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少? (2)(2) 物体走完 360 米需多少时间? 2.(几何问题)一曲线通过点 ( ,3) 3 e ,且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒 数,求该曲线 方程
3(污染问题)某工厂每周向河流排放污染物的速率为dt600,其中t为排污时间(单 位:周)x是排放污染物的数量(单位吨,试求 (1)(1)污染物总量的函数表达式 (2)(2)第一年工厂排放的污染物是多少? 5(血液中的药物水平)药物制造者研制开发了一种时间一释放胶丸,血管里药物数量是 由模型 18 N()=3017-24017+4801 确定的式中是时间(小时),且0≤t≤4求病人服用胶丸后前4个小时血管里药物的平均值 七、积分悖论 dr d(In x) 分部 1-h I dx 由于xhx In Inx_n xatin x 于是 xInx JiNx所以有0=1试问错在何处? 第五章积分学及应用(练习题)(二) 判断题(正确与否请说明理由)
3.(污染问题)某工厂每周向河流排放污染物的速率为 4 3 600 1 t dt dx = ,其中 t 为排污时间(单 位:周) x 是排放污染物的数量(单位:吨),试求 (1)(1) 污染物总量的函数表达式; (2)(2) 第一年工厂排放的污染物是多少? 5.(血液中的药物水平)药物制造者研制开发了一种时间—释放胶丸,血管里药物数量是 由模型 7 4 7 11 7 18 N(t) = 30t − 240t + 480t 确定的,式中 t 是时间(小时),且 0 t 4,求病人服用胶丸后前 4 个小时血管里药物的平均值. 七、积分悖论 由于 x dx x x x x d x x x d x x x dx = − − = − 2 ln 1 1 ln ln 1 ln ln ln ln (ln ) ln 分部 , 于是 = + x x dx x x dx ln 1 ln .所以有 0 =1.试问错在何处？ 第五章 积分学及应用(练习题)（二） 一、判断题(正确与否请说明理由)
