深圳大学：《线性代数和概率论》课程教学资源（PPT课件讲稿，概率论）第1讲 预备知识

概率论第1讲 第一章预备知识 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20

2021/2/20 1 概率论第1讲 第一章 预备知识 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)

概率论是硏究随机事件的规律性的 数学分支,直观地说是指这样的事件:在 次试验中,它出现与否是具有偶然性的 但是在大量重复试验中,它却是具有内在 的必然性即规律性的 2021/2/20

2021/2/20 2 概率论是研究随机事件的规律性的一个 数学分支, 直观地说是指这样的事件: 在 一次试验中, 它出现与否是具有偶然性的, 但是在大量重复试验中, 它却是具有内在 的必然性即规律性的

第一章预备知识 第一节排列与组合 2021/2/20

2021/2/20 3 第一章 预备知识 第一节 排列与组合

乘法原理:如果一个过程可以分成两个 阶段进行,第一个阶段有m种不同的做法 第二个阶段有n种不同的做法,且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法 那末整个过程应该有m×n种的做法 2021/2/20

2021/2/20 4 乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法

,排列 从n个不同的元素中,任意取出个不同 的元素(0<r≤m)按照一定的顺序排成 列,这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取个不同元素组成的一种排列.对于 所有不同排列的种数,通常表示为 P 5 2021/2/20

2021/2/20 5 一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r  n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数, 通常表示为 r P n

先设0<r<n,每一种排列由在〃个有次序 位置上各放上一个元素所组成第一个 位置上的元素有n种不同的取法;在它取 定之后,第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法;前两个元素取定之后,第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推,第r个位置上的元素只有n y+1种不同的取法,因此按乘法原理,所 求排列种数为 Pn=n(n-1)(n-2)…(mn-r+1) 6 2021/2/20

2021/2/20 6 先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有n￾r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为 ( 1)( 2) ( 1) r P n n n n r n = - - - +

或改写为 Pn=n(n-1)(n-2)…(m-r+1) n(n 1)…(n-r+1)(n-r)(n-r-1)…·321 (n-r)(n-r-1)…·3·2l 1 r) 7 2021/2/20

2021/2/20 7 或改写为 ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)( )( 1) 3 2 1 ( )( 1) 3 2 1 ! ( )! r P n n n n r n n n n r n r n r n r n r n n r = - - - + - - + - - - = - - - = -

当r=n时,所求排列种数为n!.若规定0!=1, 则上式仍然成立.因此,当0≤m时,上述 排列问题的答案总可以表达成 P (n-r)! 8 2021/2/20

2021/2/20 8 当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0<rn时, 上述 排列问题的答案总可以表达成 ! ( )! r n n P n r = -

例1计算从八个不同的元素中任取三个 的排列种数 解所求排列种数为 P3=8·76=336 9 2021/2/20

2021/2/20 9 例1 计算从八个不同的元素中任取三个 的排列种数. 解 所求排列种数为 3 8 P = = 8 7 6 336

例2从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不 同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解所得的三位数是偶数,它的个位上应 是2,4,6中的一个.因此,按置在个位上的 数有三种不同的取法,而十位,百位上的 数共有6×5种不同的取法.从而所求的个 数为 3×6×5=90 2021/2/20

2021/2/20 10 例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不 同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应 是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的 数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的 数共有65种不同的取法. 从而所求的个 数为 365=90