210 高等数学重点难点100讲 使用定积分的换元法应注意:①在做变量替换的同时,一定要更换积分上下限:②用t =yx)引人新变量t时,一定要注意反函数x=q(t)的单值,可导等条件 分部积分法 定理3设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数,则 lu= Luv] du, (61.5) 公式(615)称为分部积分公式 实际上,公式(61.5)是由求导公式(wv)='U+uu两边在[a,b]上作定积分而推得 的.应用公式(61.5)关键在u,dv的选择,而选择u,dv的原则与不定积分的分部积分法完全 致 例6计算下列积分: (1)x cos rdT: (2) (3) sIn (4)rarctanrdx:(5), |Ntldr; (6). In(r 1)dr 解(1)令4=x2,dU= cords,则da=2xdx,v=sinx,于是, rcosxdx =lI sinr 2 rsinrdx er[ rd(cosx)]=2[cosr 3".J=4r (2)令=x,dv=e-dx,则da=dx,=-e,于是 e d +|e-d ln2+[-e-] 2(1-ln2) ÷ sinad= ∫-x()-xgi+1:ouor 3+ [Insinr]=9×加8 (4)rarctanrd arctan(a) arctan 0 2 」。J。21+x 7 arctan a 4 (5)将被积函数写成分段函数: Inr. 1≤e<1; n, 1≤x≤e. -Inxdx+ Inrdr =[-znx]1+[x1+[znx]-[x]1=21-y (6)1n(x+1)dx ln(x+1)d(x+1) =[(x+1)ln(x+1)11-[x3