206 高等数学氲点矩京100研 第61讲定积分的积分法 、微积分基本(牛颚一莱布尼兹)公式 定理1设F(x)是连续函数∫(x)在[a,b]上的一个原函数,则 f(x)dx= F(b)-F(a). (61.1) 公式(61.1)称为微积分基本公式,或称为牛顿一莱布尼兹公式.它进一步揭示了定积 分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系公式(61.1)表明,连续函数在[ab]上的定 积分等于它的任一个原函数F(x)在[a,b上的增量它给定积分提供了一个有效而简便的 计算方法,大大简化了定积分的计算手续 例1计算定积分:(1)(x2+1)dx;(2)etdx 解此两题在第55讲曾用定积分定义计算过,现用微积分基本公式(61.1)计算,以便 比较两种方法的难易. (1)(x2+1)dx=|x4dx+|dx,因x2的一个原函数是,故 (x2+ 1)dx ]+(b 3)+(b (2)因e的一个原函数仍为e,故cdx=[e]=e-1 例2计算定积分:(1)(√x-yx2+1)dx;(2)(x2+1)dx. 解(1)被积函数含有根式,先化为幂函数再求原函数.√x=x,x2=x,其原 数依次为x2,x3,故 x . 2dr ad 23 3 ]|+1 16 〔2)被积函数中凡含有工形式的函数统统化为幂函数x而1的原函数为-1x 故 dr 97 dx 例3计算下列定积分 J a VI-sin2rdr,(2)_lar'-2r-31d 解(1)∵√1-sin2x=√(sinx-cosx)2=|sinx- cos. r csx-sinr,o≤x≤丌; sInr
第61讲定积分的积分法 207 ∫小=mzdx=snx-dz (cosr-sinz)dx+(sinx-cosx)dx =[sint cosx]+[-cosr- sinx Y2-1) 本题应注意开方要取绝对值:√(sinx-cosx)2=|sinx-cosx|,积分时要去掉绝对值 号,即把含绝对值号的表达式写成分段函数 (2)本题也是含绝对值符号的函数的积分,应去掉绝对值符号,将其写成分段函数.为 此,先令绝对值内的式子等于零,即令x2-2x+3=0,求出在积分区间内的根为x=-1, x=3,再据此把积分区间分为三个子区间[-5,-1],(-1,3),[3,5],去掉各子区间上被 积函数的绝对值符号,得 x2-2x-3|=|(x+1)(x-3) 2x-3 5≤x≤-1,3≤x≤5; 3) 1<x<3 根据被积函数的取值情况分段进行积分,然后利用积分对区间的可加性求出其积分值 故 x2-2x-3|dx 」x2-2x-3)dz+」 2x-3)dx+(x2-2x-3)dx ] ]1+ 224 3 3 使用公式(1)应注意:①f(x)在[a,b]上连续;②F(x)为f(x)在[a,b上的一个原函 数 、定积分的换元法 定理2设f(x)在[a,b]上连续,而x=g(t)满足:(1)g(a)=a,y()=b;(2)9(t)在 [a,]或[,a]上具有连续导数,则有 f(r)dx=f[o(t)]d(t)dt 61.2) 公式(61.2)称为定积分的换元公式 若f[g(t)]的原函数为中[y(t)],则(61.2)可以反过来用,即 f[q(t)jφ()dt=|fq(t)d(q(t)=[q(t)]3 (61.3) 公式(61.3)没有明显换元过程,是一种凑微分方法,所以不必换限 或f(x)的原函数为φ(x),则(61.2)反过来用时,有 fto(r)]o(r)dt 令x=g(t) f(x)dx=[φ(x)], (61.4) 在使用公式(61.2)、(61.4)时,要注意两点:①代换x=gt)在[,a](或[a,])上具有 连续导数,②换元的同时,必须换限而使用公式(61.3)时,没有换元,只是用凑微分的方 法,故不必换限 例4计算下列积分: (1)。3+ irdr;(2)Jc+e-:(3)
208 高等数学重点难点100讲 d (4) (5) dx;(6) 1+x 11+√1- sInT d(cosx) 解(1)=12。2 d(cosx) sin d 。3+(1-c0s2x)=」。4-cos2x 2+cosT n In3 2×2 COsT (本题没有明显地作换元,只是凑微分,故积分限不变,若令cosx=t,则 dt n 4 2)令e=t,则dx=dt, 5-1-[mm2(本题也可以用凑微法 dx (3)若被积函数中含有根式1+x时需令x=tn(O<t<2)消去根式这时dx sec"tat, v I"= sect, d 了sec2tdt costa √+x2」tant·seo r sint 4)若被积函数中含有根式1-x2,则用代换x=sin(<t<2)去掉根式,这时 √①-x2=cost,dx= costa, dr costa csctdt=[-cott] sin-tcost詈 (5)若被积函数中含有根式√1+x,只有按简单无理函数的积分处理,令√1+x= t,901+I=t2, I=t2-l, dr= 2tdt, dx (tz2-1) 2tdt=2|(t2-1)ad √+x 2(-2+1d-25-3+ 15 6)若被积函数f(x)-,.2=4在[-1,1上是偶函数,且含有小1-x, 1+√1 x=sint,则有 ln“t -dr o 1t cost 1 =4x=2 1+√1 2 1-cos costdt=4(1-cost)costdt 1+cost COSt dt 例5计算下列积分: 1)x1+ (1+
第61讲定积分的积分法 209 (4)(|2-x|+| sinal)dx;(5)max{1,x2)dx; SIn (6) o sinr corde 解(1)被积函数中含√1+x,为消去根式,只有令√+x=t,即x4=t2-1,求 导得2x3dx=tdt, d 1x√1+xJ2 t y2-1 17+1 ′2+1 16 (√17+1) (√2+1) ym4-ln(√17+1+ln(√2+1)=ln 1,4(√2+1) 17+1 (2)被积函数可分项(1+x)x1+x23,于是 d )dx (1 =-]-[ Arctan=1-、1_x 12 (3)因x2-x-2=(x-2)(x+1),故被积函数也可以分项: 2-x-2=(x-2)(x+1)=3(x-2-x+ 于是 -d 1 )dx 3J3x-2 n +1 (4)I=|(|2-x|+|sinx)dx(应去掉绝对值按分段函数处理) (2-x)dx +(r-2)dr+sinzdx+ sindo =[2x-21+[2-2x1+ coST cosx」 =5+cos1 cos 5. (5)∵max(1,x2)={1, 1≤x≤1;分段函数应分段积分 1<x≤2 max(1, x)dx 了“dx + dx+x?dr +[x]+ 3 (6)令x=-t,则有 sIn dx cos t d o sinx cos o cost sint 故 102 sin'z + cos'idr sIn t cosT dI 2 0 x +cosx 1rsin'r-sinzcosr +cosirldr =号dx- sinad(sinr)]
210 高等数学重点难点100讲 使用定积分的换元法应注意:①在做变量替换的同时,一定要更换积分上下限:②用t =yx)引人新变量t时,一定要注意反函数x=q(t)的单值,可导等条件 分部积分法 定理3设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数,则 lu= Luv] du, (61.5) 公式(615)称为分部积分公式 实际上,公式(61.5)是由求导公式(wv)='U+uu两边在[a,b]上作定积分而推得 的.应用公式(61.5)关键在u,dv的选择,而选择u,dv的原则与不定积分的分部积分法完全 致 例6计算下列积分: (1)x cos rdT: (2) (3) sIn (4)rarctanrdx:(5), |Ntldr; (6). In(r 1)dr 解(1)令4=x2,dU= cords,则da=2xdx,v=sinx,于是, rcosxdx =lI sinr 2 rsinrdx er[ rd(cosx)]=2[cosr 3".J=4r (2)令=x,dv=e-dx,则da=dx,=-e,于是 e d +|e-d ln2+[-e-] 2(1-ln2) ÷ sinad= ∫-x()-xgi+1:ouor 3+ [Insinr]=9×加8 (4)rarctanrd arctan(a) arctan 0 2 」。J。21+x 7 arctan a 4 (5)将被积函数写成分段函数: Inr. 1≤e<1; n, 1≤x≤e. -Inxdx+ Inrdr =[-znx]1+[x1+[znx]-[x]1=21-y (6)1n(x+1)dx ln(x+1)d(x+1) =[(x+1)ln(x+1)11-[x3
第61讲定积分的积分法 211 [e-1-0]=1. 例7计算下列积分: lInx d (2)sin(Inz)dx;(3) , SInT dz corus, (4) c arctanCaC e-2≤x(sinl+cosl (3)根据被积函数结构,利用积分的性质拆成两项积分:
zL乙 高等数学重点难点100讲 SIn T dx SInC dx CoS c +cosx o 1+cosx 而1= 1 -dx=xd (tan t) ctan tan -dx 2+2 Incos +2In 2 2sin -cOs 2 SInT dx tan 1 +cosT idr=-2In-2, 2cos2 故 I=I1+I2= (4)I= arctan(与) arctan 1 )dx 362 d t- 2Larctanz) 2 3