第62讲定积分常用公式与解题技巧 213 第62讲定积分常用公式与解题披巧 公式1若函数f(x)在[-a,a]上连续,且f(-x)=-f(x),则f(x)dx=0, 即奇函数在对称区间上的积分为零 公式2若f(x)在[-a,a]上连续,且f(-x)=f(x),则f(x)dx=2|f(x)dx, 即偶函数在对称区间上的积分等于其在半个区间上积分的二倍 公式3若T是连续函数f(x)的周期,则f(x)dx=|f(x)dx,即周期函数在任何 个周期上的积分都相等 推论/+r f(x)dx=nf(x)dx(n∈N) 例1利用函数的奇偶性证明或计算下列各题: (1)设f(x)在(-∞,+∞)内连续,a为任意实数,试证明 [f(x)-f(-x)]dx=0 以及 f(x)+f(-x)]dx=2|[f(x)+f(-x)]dx 2)计算=门2+ sinEdr;()计算1=ln(+2dx 4 证(1)设g(x)=f(x)-f(-x),h(x)=f(x)+f(-x),由 g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x) 及 h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x) 知g(x)是奇函数,h(x)是偶函数 由公式1可得[f(x)-f(-x)]d g(r)d3 由公式2可得」[()+/(-2)x2=」A(a)x=2(x)+f(- SInT (2)解因I= dx=I,+I 而f1(x)=一2在[-1,1]上是偶函数故 4 dr d 0√4 sIna 又因f2(x) sInT 在[-1,1]上是奇函数,故I2= 所以 3)解设fx)=l12,由 1+x ln(1+x)-ln(1-x)
214 高等数学重点难点100讲 知f()在L一z立]上是奇函数,故r=0 100+ 例2计算sin2(tanx+1)d 解由于sin2x和tanx都是以x为周期的周期函数积分区间为[100100+r],其长 度恰为丌所以由公式3知 原积分=(sin2x·tanx+sin2x)dz=(sin2x·tanx+sin2x)dx 由公式1、2。「 2·sin2cdx ( cos 4x)dx 例3设f(x)在(-∞,+∞)连续,且对任何x,y有f(x+y)=f(x)+f(y), 计算(x2+1)f(x)dx. 解在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=0,得f(x)=f(x)+f(0),所以f(0) 0,又f(x+(-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x).可见f(x)是 奇函数,于是由公式1得(x2+1)f(x)=0. 例4计算x2+2|x|+ 1 解被积函数f(x)=x2+2|+x+1在[一2,21为偶函数,利用奇偶性去掉绝 对值符号,得 原式=f(x)dx+f(x)dx 2x2-2x+ r+dr+ 2x+ dx 2 +1 例5设F(x)= e sintd,则F(x)为( (A)正常数;(B)负常数;(C)恒为零;(D)不为常数, 解由于f(t)= e sint是以2x为周期的函数,故由公式3 F(x) e sintdt do tdt>o F(x)为常数.故选A 例6求I ln1)lax(n=1,2,…) 解I Sin (In dx ( dr Sinta= Isin dt=22sn分式34m 例7利用公式1、23,证明下列各式(证明留给读者)
第62讲定积分常用公式与解题技巧 215 OS.T coS 2y如数 +25r (3) Cost 于2+sinx +r'sinz dx= In3+ (4) I sin2 dz= 50: 5).一x=2√2n∈M,(6),m(dx (5 =2+ln2|; (7 7x5+x+x+5x2-13x=2dx= 3-12arctan2 1x2+1+ln(1+x)+zbx=2ln(1+x2)dx; SIn (9).2x+z+e"dx=4-x; 11+√1 (10)(|x|+x)e-ldx=2-e (11)F(x)= sinto(n为奇数)是以2x为周期的函数; 2)rca(o-0(令x=2-),(13)x+√1-2)x=2 如果f(x)在[0,1]上连续,则有三角函数的定积分: 公式4f(sinx)dx f (cosr)dx. 公式5xf(sinx)dx= f(sinx)dx. 公式6 f(sinx)dx=2|3f(sinx)dx 公式7f(sinx,cosx)dx f(cosx, sinr)dx 通过变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分;-般来说变量代换是这 样做的,积分区间为对称的,令x=-a(如公式1,公式2的证明);积分区间为[0,]的,令 x=2-x(如公式4的证明):积分区间为[O,]的,令x=x-4(如公式5,6的证明);积 分区间为[0,]的,令x=x-t 例8计算I= I cosx -sinr o 1+ sinrcosx 解由公式7知I cosx- sIndh=」。1+ cousin.2 sIn o 1+sinxcosx =2∞x-mn)+nx-csx)dx=0,∴:I=0. 例9计算L=x|sinx|dx(n为正整数) 一x 解In re Jn ∫(m-li(m-)dr-n) u sinu du+nr」. Sinu d -I,+nt Isin dr 公式3 L.+nr· nsinudu=n2r·2-l n ar
216 高等数学重点难点100讲 例10计算I= n2 1+ sin2x 解I x=x-"p1-sin2(x-n),-)=」。1+co8 d( 1-cos 2u 1+sin 2 4 2 sin2'u sec42-1)dv=(tan-)|7=1-x 2 cosu 例11计算I TSINg 1+cosT 公式5丌 sInT 解I 2J01+c82>dx公式6丌 SIn T cos d o 1+cos2x = arctan(cosx)6= 例12计算I= 1+sin 解1—2。1+52 公式6「2 d(- cotr d osin2x·(csc2x+1) 2+cotx arctan(cotr) im√2 arctan(cotx) n:1+(1)4=x 例13试证 o 1+(tanr)da"= - dt 2+(tanr)VT+(cotr)v2 21 L1+(tanz)2J[1+(cotx)dr 1·d 注意例13利用了三角函数的互余性:当a+B=2时,sina=cos,tana=cot3,seca =csc,则称三角函数的正弦与余弦,正切与余切,正割与余割间的这种性质为三角函数的 互余性.许多定积分利用该性质可使计算简化 例14应用公式4至公式7验证下列各式 (1)|2012m-dx(>0)=4,(2)广号cs2 sIn' o cOs o 1+cosr sinx(p>0)=0 T sIn (3) dx (4) 1+C02d1(x-2); i f(sinr)dr o f(sinr)+f(cosr) 4 (6)21+(2 -dx=4(x为任意实数) )+=->01(0如m一础=言 dx= (10) o 1+(secr In(1+ sinr)+In(1 cosr)
第62讲定积分常用公式与解题技巧 217 SIn"C Inmost dx (12) o sint cosx 1+sin‘x d 公式8f(x)dx=f(a-x)dx 公式9f(x)dx=|[f(x)+f(-x)Jdx 即f(x)(不要求具奇偶性)在对称区间[一aa]上的积分等于f(x)+f(-x)在其半 个区间的积分 公式10f(x)dx [f(r)+f(a+b-x)]dx [f(c)+f(a+b-r)jdr DU()+f(a+b-x)3dx 即f(x)在[a,b上的积分等于f(x)+f(a+b-x)在其前半个(或后半个)区间上的 积分,或等于f(x)+f(a+b-x)在原区间[a,b]上积分的一半 例15计算I COS T dr 1+e 解注意到被积函数f(x)=15x非奇非偶积分区间[一4·对称,用公式9得 COS T COS dr coser 1 1 例16计算I =」 Ta 解法1令x=1-t,则 dt) e!-;q de e+ dt 故I -di e+ e1-(1+-) d(一) e(1+(一)2) °1+(—)2 Carctan-J0 (arctan arctan 2 解法2仍利用公式8, 2J。Le+el 十 dx,由解法1 arc tan √e- arctan-1) 例17计算I=,dr cos
218 高等数学重点难点100讲 b-2-2 解 a+b=r公式10 12++2mx2 SIn 0 1+ cosx 例 18计算Ⅰ= arcsin2√x(x-1)dx 解102g+0-2mtax-)zd sing arcsin2√x(x-1)dx 2td (sin2t) = t sin2t sin'tdt 2 4 例19应用公式8,9,10验证下列各式 (1) dx SIn T -dz 2) -11+2 sin ra r= 詈1+ (4)'In(1+tanrdr=nln2 (5) - dx= 2 x(4-x) 5 1+sinc (6)e-)d e 公式112 sin"xdx=|2cos"rdx n!! n为正偶数 (n-1)!! n!! n为大于1的奇数 例20求(1)I=sin2xdx;(2)J=cos5rdx 解(1)公式6 公式11 sin'xdr 642 32 753 35 公式3 (2)J oscar公式2 2|cos°xdx 公式6,∩ 4 cos xdx 公式11 4 64 2 8 例21计算()=| Isin'rds(n∈N);(2)J=[(1-x)5dx(m∈N) 解 (1)公式5丌 sin dx公式6丌 sindo (n-1)!! 公式11 n!! 2,n为偶数; (n-1)!! 丌,n为奇数 (2)令x=sint,应用公式11,得 cos"t. costdt=cos+itdt 4·2·2·m为正奇数; m·m二3……·…1,m为正偶数
第62讲定积分常用公式与解题技巧 219 例22计算I= cOs" 1+edx(n∈N) 解了公式9 cos"2 1+e cos"(-2x)]dz=cos"2rdz 1+e (n=1)! ,n为奇数; 2J。c0sd公式1 n!! (n-1)!!丌 n II n为偶数 例23应用公式11验证下列各式 (1)(1-x2)%dx (2n)!! (2) edx=' sin"rdx 2n+1)!! (3)|x(1-x4)zd 3 (2k-1)!!r(1-x) (4) (2k)!! 2 T sin"rdr (2k)!! k∈N) (2k+1)!!·(1-丌),n=2k+1