第69讲定积分应用(4) 259 第69讲定积分应用(4) 平均值与均方根 连恢函数在[幻上的平均值为5-61/d均方根为b1,(dx,周 期性电流(t)在一个周期上的均方根习惯上称为有效值 例1求y 在区间[, 2’2」上的平均值 sIn! sIn 2t 解y dx (√3+1) costa (√3+1 d=(√3+ os 2t 12 、用定积分表示经济函数(或其改变量) 因为积分上限的函数(或变上限积分)是被积函数的一个原函数,故若已知边际函数, 则可由变上限积分表示原经济函数 (1)设边际成本函数为MC=C(x),则产量为x的总成本函数 C(x) (MC)dx+Co= c(x)dx +Co (69.1) (691)式中积分下限为0,故C是固定成本变上限积分MC)dx为可变成本 (2)总成本的改变量△C 设产量由a个单位变到b个单位则AC=」(MCdz (69.2) (3)总收人函数R(x) 设边际收人为MR=R(),则R(D)=」,MRd (69.3) (4)总收入的改变量△R 设销售量由a个单位变到b个单位,则△R=|(MR)dx (69.4) (5)利润函数L(x) 由边际利润ML=MR-MC,则 L(r) (ML)dr-C (MR- MC)dz-c (69.5) 其中C。为固定成本而,(MR-MC)dx为毛利润(即不计固定成本下的利润函数) (6)利润函数的改变量△L 设产量(或销售量)由a个单位变到b个单位时,则4 (MR-MC)dx.(69.6)
260 高等数学重点难点100讲 、资金溏量的现值 经济分析中很有用的资金流量(或收益流量)现值公式也可由定积分来表达 设第t年资金流量是t的连续函数R(),在时间t的微小区间[,t+d]内,资金流量近 似于R(t)dt,若设利率为r,该资金流量近似值R()dt的现值为 R(t) =R(t)edt,则从0到 n年年未资金流量总和的现值为 R(ted (69.7) 特别地,若每年的收益流量R(t)不变,均为常数A(此时称为均匀流量),则 Po=Ae-ndt= A(l-e"m)/r (69.8) 例2设生产某产品x个单位时边际收人为 MR=R(x)=200 100’x 试求:(1)生产产品为50个单位时的总收人; (2)若已知已生产产品100个单位,求再生产产品100个单位时的总收入 解(1)由公式(4),AR=(2000G)dx=[200x-2004=9985 (2)已经生产了100个单位,再生产100个单位的总收入仍用公式(4), AR (200 dx=[200x 300=19850 100 200 例3某产品总成本C(x)(万元)的边际成本C(x)=1,边际收入为生产量x(百台) 的函数:R(x)=5-x,试求:(1)生产量等于多少时,总利润L(x)=R(x)-C(x)为最 大;(2)从利润最大的生产量起又生产了100台,则总利润减少了多少? 解(1)因C(x)=1,故C(x)=1dx=x,又R(x)=5-x,故R(x)=5x 于是,L(x)=R(x)-C(x)=4 求导得L!(x)=4 令L(x)=0,解出x=4(百台),则x=4时,L(x)有最大值L(4)=8(万元) (2)从利润最大的生产量400台再生产100台,则共生产500台,其总利润L(5) 4 5-2=75,即总利润减少0.5万元 例4设连续收益流量每年7500元,持续3年,并且利率为7.5%,问其现值是多少? 解因为收益流量(即资金流量)R(t)为7500元,则由均匀流量计算公式(8),其现值 为 P=Ale-ndt=7500e-0.075dt 7500[1-e-03×3]=1000-0.7985)=20150(元) 0.075 例5某一设备使用寿命为10年,若购进该设备需50000元,若租用此设备,每月租金 850元设资金的年利率为14%按连续复利计算,问购进设备与租用设备哪一种方式合算? 解一种方法是计算租金流量总值的现值,然后与购进费用比较,由每月租金850元
第69讲定积分应用(4) 261 知年租金为10200元,则租金流量总值的现值 10200 P=10200ea=0.14(1-e-14) =72857.14×(1-0.2466)=54890.57, 因购进设备只需50000元,显然租用设备比购进设备合算 另一种方法是,将购进设备的费用折算成按租付款,然后与实际租用相比较 设每年付租金为A元,经过10年,现金流量总值的现值为50000元,故 A 50000=Ae-.l4dt 14 由此得A=5000X0.14=928875 0.7536 因实际年租金为10200元,所以还是租用设备合算 假定收益资金流量R(t)长久持继下去,这种流量的现值P可表示为广义积分,即 R(tenda (69.9) 其中r为利率,特别地,当R(t)=A(常数)时,则 P=A lim endt=A (69.10) 例如,设持久收益资金流量为360元,按年利率3%,其总和的现值为 360 r0.0≈12000元 四、从对一个典型错误的剖析中加深对“元素法”的理解 例6如图69-1(a),我们将底半径为r,高为h的正圆锥的侧面,看作是由xOy平面上 的直线y=kx(k=r/h)绕x轴旋转而成的.为了求其体积v,先求体积微元dV=rk2rdx, 即当dx很小时将圆台视为圆柱,故V=xk2xdx= ar zh k(x+dr) (b) 图69-1 若求侧面积S时,也将小圆台视为圆柱,那么得到的面积微元将是dS=2 rkdg,从而 s= rh 上面的结果与我们已知的公式相比较,便知求得的体积是对的,而侧面积是错的.为什 么用的近似方法相似,而得到的结果却是一个对而另一个错了呢? 解在第66讲关于“元素法的基本概念”的讨论中我们指出使用定积分元素法的要
262 高等数学重点难点100讲 求是lim-f(x)dx=0,所以M-dU是不是比dx高阶的无穷小,这一步是必须检查 的. (1)关于体积我们有0<V-dv<π2[(x+dx)2-x2]dx=mk2(2x+dx)(dx)2 =o(dx)因此,dv确是V的微分,故积分的结果符合实际 2)关于侧面积我们用中学数学中关于圆弧的长和圆扇形的面积公式,可求得小圆台 的侧面积为 △S=2mk√①十k2xdx+mk√1+k2(dx)2(*) 事实上,将图69-1(a)中高为x+dx的圆锥沿母线AB剪开并展平,得图69-1(b).图中OA x+k,D万=(x+dx)√+k,由2kxx=甲√x+(kx),得甲=一2 1+ 故 AS=(OB2-0A)9={[(x+dx)Ⅵ1+k2]-(xⅥ1+k)/、2mk 1+k2 2π√①十kxdx+πk√1+k2(dx)2 故与我们前面所找的dS之差为 △S-dS=2kx(√1十k-1)dx+πk√1+kdx)2 容易看出,这个差与dx是同阶无穷小量(当dx→0)故上述dS不是S的微分,积分得 出结果当然不对了 从(*)式可以看出,的微分应当是ds=2kx√1+kxdx,故 S=2k√+2xdx 这个结果才是正确的 通过这个问题的分析,主要是加深我们对“微元法”的理解.关键是所得到的微元一定 要是待求量的微分,然后再积分,才不会错.最后指出:用积分法解应用题时,切忌硬套公式, 至为重要的是灵活运用“元素法”在求积分元素时,要具体分析实际问题的特点,研究怎样 分割所要求的量,才能使运算更为方便,通过扎实训练,切实会用“元素法”为后续课程打 下良好的基础