190 高等数学重点难点100讲 第57讲变上限函数(1) 学生:老师您好今上午课堂上您引入了变上限函数φ(x)=f(d,我对其中的自 变量与因变量之间的对应关系还是不够理解,请您详细地讲解一下,好吗? 老师:函数概念有两个要素:一是对应法则∫,二是定义域D.至于自变量x,因变量y用 什么字母表示,并没有什么关系例如,y=f(x),x∈D,y=f(t),t∈D,u=f(U),U∈D, 则f(x)=f(t)=f(v) 设f(x)在[ab门上连续,对于任意给定的x∈[a,b],从a到x的定积分f(t)dt有确 定的值与之对应,则称定积分f(t)dt在[a,b]上是上限x的函数称为积分上限的函数,记 为φ(x),即φ(x)=f()dr,x∈[a,b 只要熟悉函数概念的实质,也就不难理解积分上限的函数.其对应法则(即对应关 系)“@”即“f()d”而“”是变量间对应法则的抽象表达除用字母西外,还可以用F、 等字母表示,而f()dt是变量间对应法则的具体表述,即对a,b]上任一点x,按对应法则 代入上限x,计算[a,x]上的定积分,就可得到相对应的函数值 变上限函数有着明确的几何意义:当f()≥0时,(x)=|f()d表示右边有着可变 动边界的曲边梯形的面积 学生:(x)=f()dt中的x与t所表示的涵义有什么不同? 老师:x表示积分上限变量,是自变量,在区间[a,b]上变化,变上限函数恰恰就是因自 变量x正好在积分的上限处而得名;表示积分变量,在区间[a,x]上变化.中(x)的值与积 分变量用什么字母表示无关因此f()dt=|f(a)d=|f(x)dx,注意f(x)dx中的自 变量与积分变量都用x表示,但涵义完全不同 学生:听了您的讲解,我这里试着作了一道概念题,请老师指正 题1(单选题)设f(x)连续,I=f(tx)dx(>0,5>0),则的值() (A)依赖于s和t; (B)依赖于x,t,S; (C)依赖于t和x,不依赖于s;(D)依赖于s,不依赖于t L= L 解I=f(tx)d(tx) f(u)du,l是s的函数,故选D 老师:完全正确 学生:您刚才讲了(x)=f()d中x与t的涵义,您可否谈谈中(x)=fd与 f(x)有怎样的关系? 老师如果f(x)在[a,b上连续,则(x)=f(d(a≤x≤b)是f(x)的一个原函
第57讲变上限函数(1) 191 数,今后,一见到函数f(x)在闭区间上连续就应该联想到φ(x)=|f(d是f(x)的一个 原函数在证明定积分有关命题时,这是一条思路.指出“连续函数一定有原函数”这一结 论的是微积分学第一基本定理:如果f(x)在a,b上连续,则(x)=f()dt是[a,b上的 可导函数,且它对上限的导数就等于被积函数在上限处的值,即 4(r)=l f(t)dt=f(t)l-r=f(x) 学生:进一步,请老师谈谈同一函数f(x)的不定积分f(x)dx定积分f(x)及变上积 的定积分|f(t)dt之间的联系与区别? 老师:首先,我对你层层深入,追根问底的这种良好的学习作风与态度表示赞扬!望坚持 下去!设∫(x)的一个原函数为F(x),则f(x)dx=F(x)+C,|f(t)dt=F(x)-F(a), f(x)dx=F(b)-F(a)也就是说f(x)dx是函数簇F(x)+C,‖f(t)dt是函数簇F(x) +C中当C=-F(a)时的一个确定的函数,f(x)dx是函数簇F(x)+C中任意一个函数 在区间[ab]上的增量,也是函数|f(t)d在x=b处的值 学生:变上限积分的计算挺难,我下面作了一个题目,请老师指教? 1≤x<0; 题2设f(x) 0≤x≤1;求F(x) f(t)dt x+1,1<x≤2, 1d 1≤x<0; 解F(x)= tdt 0≤x≤1; (t+1)d 2+x-3 1<x≤2. 老师:这是错误的产生错误的原因是:函数F(x)=f()d依赖于f()易被理解,而 F(x)还依赖于[a,x],初学者则难于理解,主要表现在下限a被忽视·正确作法是 1)当x∈[-1,0)时,如图571,积分从-1进行到x,F(x)=f()dt=dt =x+1. (2)当x∈[0,1]时,如图57-2, F(x)= f(t)dt= ldt+ tdt=l+ (3)当x∈(1,2]时,如图57-3, F(r)=f(tdt=ldt+[tdt+(1+tde 1+÷+x十 1 r2
192 高等数学重点难点100讲 十1, 1≤x<0; 故 F(x)={1+ 0≤x≤1; 1<x≤2. 积分方 向 积分方向 积分方向 Nt-D 积分区间 起点 终点 起点 终点 起点 终点 图57-1 图57-2 图57-3 注意由于被积函数是分段函数,f()dt的积分区间[-1,x]的右端点是变动的 所以对x的取值情况必须进行讨论 学生:在您的指教下,我想,我下面题目的解法是正确的? sIn 题3设f(x) 求I(x)=f()dt. 0 解注意到I(x)的定义域为(-∞,+∞), 1)当x≤时()-(0)-.m+:t=1 2)当一吾<x<号时,()-)=m=1-aox (3)当x≥分时,I(x)=f(t)dt= sinter+|.0dt=1 1-cosT, x|<z; ∴I(x)= 老师:完全正确!