158 高等数学重点难点100 第50讲不定积分的第二换元法 不定积分的第二换元法,也称为变量置换法设x=gt)是单调的、可导的函数,并且 y(t)≠0,又设汇[t)]y()具有原函数φ(t),则-1(x)]是f(x)的原函数(其中t= g(x)是x=g(t)的反函数),即有换元公式: ∫f(x)dz=|g()y(a)dt=()+C=叫(x)]+C 注意几(t)](t)d求出后必须用x=(t)的反函数t=p(x)代回去,所以要求 t=g-l(x)存在且是单值可导的,为此,x=q(t)在t的某一区间(该区间与x的积分区间相 对应)上应该是单调可导的函数,且y(t)≠0. 下面分类型讨论 L.形如R(x,√a-x)dx,R(x,a2+x2)dx,R(x,x2-a2)dx的积分(其中 R(x)表示对x及常数进行四则运算而得的函数) R(x,√a-x2)dr 了= acost -ar(acost, asin )sintdt r= asin aR(aint, acost )costdt; ∫R(,、a+x)dx-= R(atantasectaseci'rdt I= sect RO a2)d R(asect, tant )sect. tantdt 例1求a2 x≡ asin 解原式 acost dt az]sec'tdt=I ltant +c= +C cost 例2求元 (1 tax r= tant -cou 解原式 tant·e sec'tdt=le-cowsintd sec 3t le-cowd(- cost)=ecoM+C=e 例3求 解原式 sect tant I cost Sec2. sect.tantdt= Itan'tdt (sect- 1)dt= tant -t+C=vx-l-arccos i +C 2.形如R(x,%ax+b)dx,[R(x,%ax+b,ax+b)dx的积分 对于R(x,ax+b),可令%ax+b=,对于R(x,%+b,a+b),可令
第50讲不定积分的第二换元法 159 t=√ax+b,为n与m的最小公倍数 例4求 d x-v 解t=x ∫a+=6c+c+2+2++1+ 6(6+5+4+3+z+t+lnl-1)+c 56又 1x2+1xi +x+In/=5-11)+c 3.形如R(x,√ax+a)dx的积分,可令/ax+b :+ d 例5求 dx (x+1)2(x-1) 解原式= t lidt 3:-+ C Nx+ )4·(x+1) 2 注意①不能直接作变换(x+1)(x-1)=;②分6(n为自然 数)本身不会产生新的无理式,所以积分变形时将无理式凑成(z+1,并作变换1=1 4.形如 ax2+ bx +c dx的积分 例6求 √x-2x+5 解原式= d(x-1) du /(x-1)2+4 ln(a+√n2+4)+C=ln(√x2-2x+5+x-1)+C. 例7求 1+12x-9x2 解原式 J=lx=mk=句示 -arcsin 5.形如 mx+n √ax2+bx+cx的积分 例8求 x+3 /x2+2x+2 解把分子分成两项其中一项为分母中的二次三项式的导数的倍数 x+3=(2z+2)+1(x2+2x+2)+2, 原式= ++2 dx x √(x+1)2+1
160 高等数学重点难点100讲 √x+2x+2+2hn(x+1+√x+2x+2)+C 6.倒代换 被积函数为x的有理式或无理式时,往往可用倒代换x+a=,消去分母中所含的因 子x+a或x+a的幂. 例9求 G(x2+ndx. 解原式一 1+t2'dt=- t2+1 -5t+t-arctant+c- 1 arctan+C 例10求 (1+x)√1-x x+1= 解原式 -idt dt=-√2t-1+C 1) + c 例11求 edx (a>o) 解原式 -dt Va2+/1/ √a2t2+1 d(a2t2+1)√at+1 +C. 2√a2t2+1 a 例12求 d 1+x+x2) dx 解原式= d 3 1+3 2 tdt d1+r2 1+ 4 1+t2 4 3(1+8 +C=2 2 例13求 +1 d +1 解原式 dr
第50讲不定积分的第二换元法 l61 d(1-t2) arcsin+√l-2+C √x=1 arcsin±+C. 注意在被积函数中,当分母的最高次数n与分子的最高次数m之差大于1时,可考虑 用倒代换 7指数代换(适用于被积函數数∫(x)由a所构成的代数式) 例14求 2dx 那原式、t 1+t+a:m2t=n2J11,3 t d t+ t n2 arctan C t 2 r+1 arctan 2+1+C=√3ln2 arctan √3ln2 3 8,形如√ax2+bx+cdx的积分 将二次三项式配成完全平方后,即可化为以下两种基本积分之 (1)√a-xdx=√a-x+ 2 rcsin 5+C (2】yx+dx=2vx++2m(x+√+以)+C(a>0) 小结两种换元法的比较:第一换元法与第二换元法的目的是相同的,都是通过变量 代换把原积分化为基本积分公式中的形式或较简单的积分,但也有不同之处: (1)第一换元法的代换t=(x)是从原积分被积函数中分离出来的,在凑微分的过程 中逐步明确的;而第二换元法的代换x=g(t)是根据被积函数的特点一开始就选定的 (2)第二换元法的代换x=g(t)必须具有单值反函数且y(t)≠0,而第一换元法对 g(x)则无此限制; (3)原积分变量x在第一换元法的代换a=g(x)中处于自变量的地位;而在第二换儿 法的代换x=g(t)中则处于因变量的地位