第34讲泰勒中值定理(2) 107 第34讲泰勒中值定理(2) 、利用泰勒公式求极限 我们已经看到利用具有拉格朗日型余项的泰勒公式可以进行误差估计,那么从下面的 讨论中我们可以看到利用具有皮亚诺型余项的泰勒公式在计算不定式极限时是十分有效 的,它不像罗比塔法则,分子、分母每求一次导数,分子、分母的无穷小阶数都只能减少1次, 而是可以马上利用带有皮亚诺型余项的泰勒公式得到分子、分母的无穷小的阶数,然后可直 接使复杂的极限问题迎刃而解. 例1求I=lim cos -e 解由于分母是x所以应把分子化为两部分:-部分是x的四次多项式,另一部分是 比x高阶的无穷小 +x++0(x2) 2! 1+(-2)+2(-2)+(x) O(x), 又 cosI 1 or 24 cosT-e 1 o(x4)]-[ o cx I= li 注意当所展函数是所求极限式中的分母(或分子)时,若已知分子(或分母)是x的k 阶无穷小,则将函数展成k阶麦克劳林公式 例2求Ⅰ=、lim(x+x-yx+ 解这是一个“∞-∞”型不定式,把它变成可以利用泰勒公式的形式 6x6+x5-vr6-x5 1 1 (1+1)-(1-1)b令1=t 这时,=lim(1+t)t 这是一个。型的不定式像例1一样,根据分母把分子 0 用泰勒公式分解成两部分 (1t)=1+t+o,(-)b=1e+o() (1 (1-t) t+o(t)
108 高等数学重点难点100讲 =t+o(t) 于是 r=1 3 利用泰勒公式求极限的方法就是利用泰勒公式将函数展开后直接代人或经过变换后代 入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限问题.此外,在计 算过程中,要注意高阶无穷小的运算与处理,例如,有限个o(x)(k>0)的代数和仍为 o(x).务必避免o(x)一o(x)=0的错误,详细讲解,请参看第14讲 例3求Imx(x-sinx) 解若所展函数为两个以上函数的代数和,应分别展开到它们的系数消不掉的x次数 最低的项为止,因为以后部分与此项相比为高阶无穷小,如 本题分子2(c0sx-1)+x2=2cosx-2+x2用麦克劳林公式表示为: 2cosx=2 1 2!4! 2+ 2+ x为系数消不去的最低项故分子=2-x+12x+0(x)-2+x=1x 同理,分母=x(x-sinx)=x2- sinx +o(x3) +o(x3) 3 从而原极限=m2+o(x) lim x-0 O(x4) 6 h)-2f(x0) 例4设f(xo)存在,试证im f"(x。). h 证根据题目给出的各种信息,我们可作如下工作: (1)由于f(x)存在,所以可在x=xo处展于f(x),求出其带皮亚诺余项的泰勒展开 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+D,f(x)(x-x)2+o(x-x).(34.1) (2)把x=x0-h,x=x0+h分别代人(34.1)式,得 f"(x0) h)=f(x)+f(xo)(-h)+ h2+o(h2) (34.2 2 m"(x。) f(xo +h)=f(xo)+f(roht2h2+o(h2). (34.3) (3)将(342)(343)式代入原式得原极限={imf(x)hb2+a(h) "(x0) h 例5试问f(x)= sinr-x(1+x)当x→0时是x的几级无穷小? 解如果用才相比较即求lmn(2=A(A≠0)欲确定a为多少是比较麻烦的,要 a=1,2,…n-一试做.下面我们用泰勒公式将f(x)转化为多项式函数 f(x)=(1+x++a( x(1+x) x2+2-1x2+o(x)-(x+
第34讲泰勒中值定理(2) 109 立即可见:f(x)= e sinr-x(1+x)是x的三阶无穷小 利用泰勒公式求高阶导数 当用求导公式求函数f(x)的n阶导函数很复杂时,可以根据泰勒展开式的惟一性求 f(x).所谓∫(x)的泰勒展开式的惟一性,是指用直接法得到的展开式 f(x)=f(x。) f(x。) ) 1! n! (n+1)! (x-x0)”+1 与用间接法将f(x)展成的泰勒展开式 f(x)=ao+a1(x-x)+…+an(x-x。)”+Rn(x) 中(x-x)的同次幂的系数应该一致,即an=,"(x0)(n=0,1,2,…n)从而得 na 例6已知f(x)=x2e,求10)(0)及f(0). 解由e的展开式我们可用间接法容易得f(x)的展开式 因c=1+1+2+…+n+0(”),令=x得 +x2+;+ 2! 从而 )=xe2=x3+x5+ 2+…+x3 用直接法我们可以从形式上得下面的展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0) …十 x"+0(x), (34.5) 2! 比较(344)式与(345)式同次幂的系数得:f(0)=0,f(0)=0,(0)=0,f(0) 7(0)1 f4)(0)=0, 5! 由于(344)式中x的偶次幂的系数为零,所以f100(0)=0 101)(0) 易知f1o(0) 101! 当2n+3=101时,n=49,于是 101! 例7设f(x)= 1+x-2x3,求∫(0),n=1,2,… 解因 1(1 2 1-x=1+x+x2+…+x+…-1<x<1 +2x=1-2x+22x2-…+(-1)"2"x”+… 所以1+x-2x f(1+x+x2+…+x+…)-[1-2x+2x2-…+(-1)2x+…]} 1 =3[1-(-2)11-(-1)2]12+…+3[1-(-1)21x 2 <x< 由公式 f(2=a,得∫(O)=3[1-(-1y2la,=1,2 !