142 高等数学重点难点100讲 第45讲利用导数作函教的图形 、函数作图的方法与步鼻 (1)确定函数f(x)的定义域间断点,并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等; (2)求出f(x)和尸(x),并求出f(x)=0和m(x)=0在f(x)的定义域内的根,找 出使f(x)、f(x)不存在的点,这些点及函数的间断点把f(x)的定义域分成若干个小区 间 (3)确定这些小区间内f(x)和f(x)的符号,从而确定函数图形的单调区间、凹凸区 间、极值点和拐点,把上述结果列成表格; (4)确定曲线的渐近线或其他变化趋势; (5)综合以上各点,作出函数的图象 例1作出函数f(x)=十4的图形 解(1)f(x)在(-∞,0)U(0,+∞)内有定义,并且无穷次可微,解方程f(x)=1 8 0,得驻点x=2.注意f(x)在x=0处间断.f(x)的分段变化表为 (一∞,0) 0 单调增单调减 极小值 f(2)=3 单调增 函数f(x)的递增区间为(-∞,0)、[2,+∞),递减区间为(0,2],x=2为极小值点极小值 为f(2)=3 2)二阶导函数P(x)=2的分段变化表为 (-∞,0)(0,+∞) (x) f(r) 曲线无拐点 (3)limf(x)= lim +4 lim f(r2= lim I'+4 lim[f(r)-ax= lim('+4-r)=0 上 故曲线以直线x=0为铅直渐近线,以直线y=x为斜渐近线 (4)注意到f(x)有惟一零点x=-y4,作出图形如图45-1. 例2作出f(x)=的图象 图45 解函数f(x)的定义区间是(0,1)和(1,+∞);求一阶、二阶导数得
第45讲利用导数作函数的图形 143 -Inr Inc alex 解方程y=0,得驻点x=e;解方程y=0,得可能拐点的横坐标x=e2; 以函数y的不连续点x=1,及x=e,x=e2为分点,把函数的定义区间按自然顺序分 成4个小区间(0,1),(1,e),(e,e2),(e2,+∞),函数分段变化表为 (0,1) (1,e) (e,e2) e2(e2,+∞) y 0 十 单调减 单调减极小值单调增 单调增 y 凸 拐点 凸 f(e) 因为limy=+∞,所以曲线没有水平渐近线 由limy=-∞及Iimy=+∞知直线x=1是曲线的铅直渐近线,又lim2=0, im(y-0)=+∞,所以曲线没有斜渐近线 综上所述,作图45-2. 、极坐标方程曲线作图 对于在直角坐标下讨论函数作图的方法同样适用于极坐e (e,5) 标方程的曲线此时把看成变量看成6的函数,这样对于上3 升、下降、极大极小的讨论有时更方便一些. 例3作心脏线r=a(1+cos6)(a>0)的图形 解这是关于6的偶函数,图形关于极轴对称,一切θ值均 使r存在,由于 图45-2 r|=a|1+cos0≤2a, 所以曲线不能越出圆r=2a以外.求导数得r=-asin0,解方程r'=0,得r=0, 当00,r递增,同样由r=a(1+cos)可 以看出,当0由x增至时,由0增至a当由丌增至2x时 r由a增至2a,可见r=2a是极大(这里极大的含义是点离极点最 远)综上所述描点(6,)=(0,2a)、(丌,a)、(,0)、(3,a),作出 图45-3 r=a(1+cos6)(a>0)的图形如图45-3
144 高等数学重点难点100讲 三、参数方程曲线作图 例4作出星形线x=acos36,y=asin36(a>0)(0≤6≤2x)的图形. 解容易看出已给曲线在直角坐标系下的方程是x+y=a3.因此,曲线的图形关 于x轴、y轴和坐标原点都是对称的,于是要作曲线在[0,2x]上的图形只要作出它在0≤6 ≤2上的图形即可 当6=0时,x=a,y=0;当6=2时,x=0,y=a 故曲线与x轴和y轴分别交于点(a,0)和(0,a)当00 故曲线单调减少,且是凹的 又当θ=0时,y:=0,即在(a,0)点处x轴为其水平切线;当=2时,y:=∞.因此, 在(0,a)处y轴为其铅直切线 综上所述,作出图形如图45-4 圆椭圆,抛物线,双曲线是我们早已熟悉的常见曲线,例3、 例4中的心脏线r=a(1+cos6),星形线x=acos3B,y=asin30 也是重要的常用曲线;常用曲线还有半立方抛物线y2=ax3,概 率曲线y=c笛卡儿叶形线x=1+2,y=1+p,摆线x a(6-sin),y=a(1-cos0),对数螺线r=e等,读者作出它 们的图形,记住它们的特性,对于整个高等数学的学习都是很有 好处的 图45-4