第43讲曲线的渐近线 137 第43讲曲线的渐近线 曲线的渐近线有三类:水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线. (1)如果imf(x)=A,或limf(x)=A,则水平直线y=A是曲线y=f(x)的水平 + 渐近线 (2)如果imf(x)=∞,limf(x)=∞,则铅直直线x=x0是曲线y=f(x)的铅直渐 近线 (3)如果im(x)=a(a≠0),且lim[f(x)-ax]=b,或linf(x)=a(a≠0), x-+∞x 且lim[f(x)-ax]=b,则直线y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线 由上述定义可以看到:渐近线是对当x趋近一间断点x或趋近于土∞时函数f(x)的 性态的研究.如果间断点x是无穷间断点,则x=x。一定是铅直渐近线;如果没有间断点, 则不存在铅直渐近线.当x趋近于-∞或+∞时,(x)趋于常数A,则y=A是水平渐近 线如果当x趋于∞时f(x)也趋近于∞,则不存在水平渐近线;需进一步考察()是否趋 于非零常数a,且f(x)-ax趋于常数b,若a≠0,b存在且有限,则y=ax+b是曲线的斜 渐近线 例1求曲线y=c+(x-b)=的渐近线 解由limy=c知,y=c是曲线的水平渐近线,由lmy=知,x=b是曲线的铅直 渐近线 例2求y= rarctanT的渐近线 解y= arctan在(一∞,十∞)连续,没有间断点,故没有铅直渐近线,又 lim arctan=土∞,所以没有水平渐近线 .a- y= lim arctan 又∵b=lim[f(x)-ax]=limx( arc tanr arc tanr lim 1 7包)=m1+=|mn(-1+x)=-1 类似地可以求出:limy o, lim [f(r) ∴曲线y= rarc tanx有两条斜渐近线,分别为:y=2x-1;y 例3求曲线y=x+Inx的渐近线 解y的定义域为(0,+∞).由limy=+∞知,曲线没有水平渐近线 由limy=-∞知,x=0,即y轴是曲线的铅直渐近线 由Im2=m(1+1)=1及lm[f(x)-x]=lmnx=+∞知,曲线y没
138 高等数学重点难点100讲 有斜渐近线 注意在求斜渐近线时,如果两个极限a=lmf(,b=lm[(x)-ax]中任意一个 不存在,则函数无斜渐近线 例4求曲线y=x(x>0)的渐近线 解、由imx=lime=0知,曲线没有铅直渐近线 re0 由imx=lime=e=1知,曲线有水平渐近线y=1 由Iim卫=lim1·e==0·=0,及Iim(y-0.x)=1,知,曲线没有斜渐近线 x+∞ 例5求笛卡儿叶形线x +1+的渐近线 解注意到t→-1,对应着x→∞,y→∞. lim y= limt=-1 lim[ -(-x)]=lim( 3at 3at +t31+ lim jat (l+t) 图43-1 lin at t 故曲线有斜渐近线x+y+a=0 例6求曲线y=xe2+1的渐近线 解(1)函数y在x≠0时连续,x=0是其惟一的间断点 lim f(x)=lim(re+1=1 lim f(x)=lim (zei+I/ 1+ lim 1+lim 2 rO 所以x=0是函数的铅直渐近线, (2)由于lim(xe+1)=±∞,所以曲线没有水平渐近线 (3)a= lim =lim rei+I= lim/ei+I b= lim[f(x)-ax]= lim(rei+1-x =i 2 lin +1=3. 所以曲线的斜渐近线为y=x+3. 注意在求曲线铅直渐近线时,要分别考虑无穷间断点左右两侧(如果两侧都有定义的 话)的极限,以确定函数在该点是趋于+∞还是趋于-∞ 例7求曲线y=|x+2|e-÷的渐近线 解(1)y存在惟一的间断点x=0,limy=lm lim y= lir 所以曲线有铅直渐近线x=0
第43讲曲线的渐近线 139 2)因ly=lm士2l=+∞,所以曲线没有水平渐近线 x II lIm lim 士1 b1= lim [f(x)-ax]= lim [(x+2)e-i-I] imn[2÷+x(e--1)]=im+ 2+ lim b2= lim [f(r)-ax]= lim[-(x +2)e-i + x] lit e-÷-1)] lim 2e li 所以曲线有两条斜渐近线,分别是y=x+1,y=-x-1. 注意函数图象可能当x→+∞和x→-∞时有两条不同的水平渐近线(如y= arctan→士丌,当x→±∞时)或不同的斜渐近线(如本例),故应分别考虑x→+∞和x ∞的极限状态若x→∞时极限存在则只有一条水平渐近线或斜渐近线但趋近于同 方向时不可能同时有水平渐近线和斜渐近线存在. 例8作出曲线y=(1=x)2的渐近线 解limf(x)=-∞,limf(x)=+∞,所以x=±1是函 上-1 数的铅直渐近线 当x→∞时,y→0,故函数有水平渐近线y=0 因为a=limf2=0,所以函数无斜渐近线函数图形如 图43-2所示 图432