124 高等数学重点难点100讲 第39讲极值与录值(1) 第39讲至第41讲首先讨论函数的极值与最值的基本概念及它们的联系与区别,然后 讨论极值与最值的求法,最后举例说明极值判别法的一些简单应用 极值与最值的基本概念 1.极值与最值的定义 若函数f(x)在x的某个邻域内对任意不等于x的x,均有∫(x)∫(x),则称f(x0)为函数∫(x)的一个极小值; xo称为极值点 就整个讨论区间而言,函数一切值中最大的称为该函数的最大值;函数一切值中最小的 称为该函数的最小值 例1利用极值定义研究∫(x)=(x-x0)"g(x)在x。处的极值.其中g(x)在x处连 续,且g(x)≠0,n为正整数 解因g(x)在x连续,且g(x)≠0,所以由极限的保号定理知:g(x)与g(x)在x 的某一充分小的邻域(x0-0,x。+a)内同号.于是f(x)的符号与n的奇偶性有关 (1)若n为偶数,且x≠x时,有(x-x0)>0,并且当g(x)>0时,f(x)=(x x0)g(x)>f(x0)=0,f(x)在x处有极小值;当g(x0)0,而g(x)在(x0-,x+8)内不变号,因此∫(x)=(x-xn)”g(x)当x在x 的左右两侧时必然变号,故f(x)在x处不取得极值 2.驻点与极值点的关系 首先它们的定义不同:驻点是导数为零的点,而极值点表明该点对应的函数值大于(或 小于)其某邻域内任何其他点所对应的函数值.如果函数在极值点处可导,则它一定是驻 点,然而即使函数在某点处不可导,它仍然可能是极值点如y=|x,在x=0处不可导,但 x=0仍是函数的极小值点.另外,驻点仅是可导函数取得极值的必要条件,如y=x3,在x 0处y=0,x=0是y=x3的驻点却不是极值点.为了求得函数在某区间上的极值点, 般需求出函数在该区间上的全体驻点和导数不存在的点逐一考察它是否是它的某邻域上 的极值点 3.极值与最值的区别与联系 (1)极值是局部性概念.若f(x0)是极值,是与x。点附近的函数值比较而言的,而与离 x稍远地方的函数值无关;最值是就整个区间而言的,是整体性概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各只有一个,最大值一定 大于最小值(常函数除外),但可能没有极值例如∫(x)=x在[0,1]上就没有极值;如有极 值时,也可能不止一个.极小值可能大于极大值,如f(x)=x+,极小值f(1)=2,极大值
第39讲极值与最值(1) 125 f(-1) 2. (3)闭区间[ab]上连续函数的最值可能在该区间内部取得,也可能在区间端点处取 得;但极值(如果存在的话)只能在区间内部取得因此,若区间端点的值f(a)(或∫(b))是 函数∫(x)的最值,则f(a)(或f(b))不可能是极值;若区间某内点x0(x∈(a,b))处的值 f(x0)是函数f(x0)的最值,则f(x)一定是极值可见,闭区间上连续函数的最值不一定是 极值;反之,函数f(x)在(a,b)内取得的极值也不一定是最值,因为极值可能有多个若函 数f(x)在(a,b)内只有一个极值,则这个极值就是最值 二、极值与最值的求法 例2求函数f(x)=2x+3yx2的极值 解f(x)的定义域为(-∞,+∞)导数为尸(x)=2+2 (√x+1) 解方程f(x)=0,得驻点x=-1,又x=0是导数f(x)不存在的点 1是f(x)的可能的极值点 在驻点x=-1处,由f(x)=-2=得 0时,f(x)>0.导数符号由负变正,由 第一种充分条件知,f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0 从上例的解题过程可以得出:求函数f(x)的极值主要是找f(x)的极值点,而极值点是 从驻点和导数不存在的点里找 对于驻点x判别其是否是极值点,方法有二 (1)利用f(x)在x点左右附近的符号判别:若f(x)的符号由正变负,则点x。为极大 值点;若尸(x)的符号由负变正,则点x。为极小值点; (2)当f"(x0)存在且不为零时,用∫(x)的符号判别,一般来说此法比较简便.当 P"(x0)=0或門"(x0)不存在时,用方法(1)判别 对于不可导点x1,则利用f(x)在x1点左右附近的符号判别x1是否为极值点 例3已知f(x)=/x+1,x≤0; 求∫(x)的极值 x>0. 解对于分段函数求极值要在各分段上分别求极值并要注意分段点也可能是函数的 极1 值点 这里,首先要考察f(x)在分段点x=0处的连续性 f(o+o)= lim x2r= lim edin=e2 lim lnr=e=1=f(0-0) 上0 可见f(x)在x=0处连续(其中 lim rlnx=0,参看第36讲) 当x0时,(x)=2x(1+lnx),令f(x)=0, 得点x-÷在0内,厂()0数/2)在x一处 取得极小值f(1
126 高等数学重点难点100讲 在分段点x=0处,当x0,当00, 所以x=1对应y=1,对一阶导数表达式再两边求导得 (3y2-2y+x)y+2(3y-1)y2+2y-1=0. 将(1,1)代入,得y"|x=1 >0,故x=1是y=y(x)的极小值点 例5在椭圆x= acost,y= bint(0≤t≤2π)内嵌入一内接矩形,使其边平行于椭圆 的轴,问矩形的边长分别为多少时,其面积最大 解设点A(x,y)是所求矩形与椭圆在第一象限的交点,则x,y为矩形边长的一半,从 而矩形面积 S=4ry=4absintcost=2absin2t(00. (1)因为門(x)连续,所以由连续函数的保号定理知在x=0的某个邻域(一0,0)内, 門"(x)>0,所以f(x)在(一δ,δ)内单调增加 (2)又f(x)=f(-x),因为f(x)=-f(-x),特别有f(0)=-f(0).所以f(0) 0,x=0是驻点 综上(1)、(2)知,在(一8,0)内”(x)0,导数符号由负变正, 所以x=0是f(x)的极小值点 同理可证:若"(0)<0时,则x=0是f(x)的极大值点 例7设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有四阶连续导数,且f(x0)=f(x0)= f"(x0)=0,f(x0)≠0,试证:f(x)在x=x处取得极值
第39讲极值与最值(1) 127 证不妨设f(x。)>0,又因为f(x)在x=x的某邻域内连续,所以必存在x的 个邻域(xo-8,x0+8),使对一切x∈(x0-8,x0+δ),有f((x)>0 由泰勒公式得 f(x)=f(x)+f(x)(x-x0)+1P(x2)(x-x2)2 +afm(x0)(x-x0)3+f4()(x-x0) f(x)+(x-x)·f(),∈(x0-8,x1+6) 因f∫4)()>0,故f(x)>f(x),x∈(xo-0,x0)∪(x0,x0+0),故f(x)在x=x0处取 得极小值. 同理可证:若f“(x)0求f(x)=1+1x+1+1x-a的最大值 解去掉绝对值符号,把∫(x)改写成 十 1+x+1+ 0≤x≤ 1+x+1+x 由此可得 (s-m+1 00,f(x)单调增加;当x∈(a,+∞)时,(x)<0,f(x) 单调减少故∫(x)在[0,a]上的最大值就是f(x)在(-∞,+∞)上的最大值 在0,2)内,令r()=0,解得x=2,又因为(2-2+< =f(0) f(a)故∫(x)在(-∞,+∞)上的最大值为