第56讲定积分性质 185 第56讲定积分性质 这一讲着重讨论定积分的四条重要性质及其应用 、定积分比较定理 定理设∫(x)≤g(),x∈[a小则∫(x)dx≤(xx 推论(1)当f(x)≥0,x∈[ab]时,f(x)dx≥0; (2)f(x)dx≤f(x)ldx 例1比较定积分(不计算积分值)的大小 (1)nzdx与(nx)2dx;(2)lndx与(nx)2dx; (3) 1 与ln(1+x)dx; (4)若f(x)在[ab]上非负连续且[c,d]c[a,b],试比较f(x)dx与f(x)dr 解(1)因1≤x≤2e,所以lnx>1,故有lnx≤(lnx)2(x∈[3,4]),与(1)题同样理由,有 Inrdx≤|(lnx)2dx. (3)由于两个被积函数直接不易比较,可考虑引入辅助函数∫(x)=ln(1+x) 1 ,利用单调性判别f(x)≥0(或≤0),由此可得出在给定的区间上两个被积函数的大 小,由于 +x)2=a1+x2>0(x∈(0,1) 因此,f(x)在[0,1]上单调增,且∫(0)=0,所以,x≥0时, f(x)=l(+x)-1千x>0即m(1+x)≥1+z 故 dx≤hn(1+x)dx (4)因为在[ab]上f(x)≥0,所以f(x)dx≥0,f(x)dx≥0,Jf(x)dx≥0, f(x)dx≥0,因而有 ∫(x)dr=f(x)dx+「f(x)dx+f(x)dx≥f(x)dx 例2证明不等式ln(1)<dx<(应)(m=34)
186 高等数学重点难点100讲 证ln(Ⅱ)=ln(11·22·3…n-1)-1)=2ln2+3ln3+…+(n-1)ln(n-1); ln(Ⅱ)=ln(22·3·44…n)=2ln+3ln3+…nlnn; i=2 又 TInCal +| rlnxdx+…+| zIncex 设f(x)=xlnx,由f(x)=lnx+1>0(x≥2时)知:f(x)在[2,n]内单调增,于是, 在(2,3)内,2n2<xlnx<3n3,ndx< rindr<3n3dx,即2n2<| cnidr< 2 3n3;在(3,4)内,3n3<xlnx<4n4,3n3dx< zlnxdx<|4hn4dx,即3n3<| rIndr <4n4,……;在(n-1,n)内,(n-1)n(n-1)<xnx<nn,(n-1)n(n-1)dx xlnzdx< nInndx, Bp(n-1)In(n-1)<rInrdx<nInn 上述各式相加得ln2+ln3+…+ln(n-1)<| rindr+| xIngdi+ rIndr<ln33+ln4+…+lnn?(并注意ln12=0). 即 n(Ⅱ;)<lndx<ln(Ⅱ 定积分估值定理 定理设m≤f(x)≤M,x∈[a,b],其中m,M为常数,则 m(b-a)≤|f(x)dx≤M(b-a) 例3试估计下列各积分值 (1) (1++ sin'x)dx (2) rarctanrdx dx d (4) o√2x 解()令f(x)=1+sin2x,先求出f(x)在[兀,5x]上的最大值与最小值 f(x)=2 sinrcosx,令f(x)=0,解出驻点x=,及x=x,而f ,f(n)= 2,f(x)=1,f(9)3 4)=z,故在[ ,号]上,M=mxf(x)=2,m=mimf(x)=1,于是, 1≤∫(x)≤2,而b-a= 所以由估值定理可得丌≤:(1+sin2x)dx≤2x (2)因 arctan是x的增函数,所以≤ arctan≤a,又 ≤x≤√3,于是 2 ≤ rarctan.t≤ 丌,而b3√3,由估值定理可得≤ rarctanxdr≤丌 (3)令∫(x) 先求∫(x)在[0,2]上的最大值与最小值
第56讲定积分性质 187 f(x)=(2x-1)e’-,令P(x)=0,解出驻点x=1,而∫(0)=1,f(1)=e-+,f(2) =e2显然,M=e2,m=e-,(b-a)=2,故由估值定理可得 2e-≤er-dx≤2e 4x-1 (4)令fx)=√2x-x+1,则f(x)=242=x千令(x)=0,解出驻点 x=3,f( ,又f(0)=1,f()=1,于是在[0,]上 ≤f(x)=√2x2-x+1≤ 故 1≤ f(x)√2x2-x+1V7 又b-a=÷,则由估值定理可得≤ dr 例4证明下列不等式: (1)2≤√1+xdx≤。;(2)≤ dx ≤(n>2) 0√1 证:(1)适当放缩f(x)=√1+x得 1≤√1+x≤√1+2x2+x=1+x2,(-1≤x≤1) 于是 ∫≤.d≤」a+x)d,故2≤月,+≤ (2)当x∈o2,且n>2时,≤x1-≥1-x>0 所以 √1-x≥√1-x2,1≤ 2=21dz≤ 1dx= arc sin.i。≈ 三、积分中值定理 定理若f(x)在a,b]上连续,则在[a,b]上至少有一点,使f(x)dx=f()(b a),或f()=、1Pf(-)dx 四、推广的积分中值定理 定理设∫(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且不变号,则至少存在一点∈ a,b],t f(x)g(x)dr=f(eg(x)dr 证由于f(x)在[ab]上连续,故可设M,m分别为f(x)在[a,b]上的最大、最小值, 由于g(x)不变号,不妨设g(x)>0,则 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)
188 高等数学重点难点100讲 于是由比较定理得g(d≤∫(2)()d≤M,g( f(rg(x)dx 由g(x)>0知g(x)dx>0,所以m≤ ≤M. g(x)dr f(x)在[a,b上连续,由介值定理知存在∈[a,b,使 f(r)g(x)dx f(E ap f(x)(r)dr=f(e) g(r)d g()a 1.利用中值定理求极限 例5求下列极限 ) lim- a 2adr(>0),(2)m,”2dx(p>0为常数 (3) limIe-dx(k=1,2…) 解(1)f(x)=a与g(x)=a+x在[-1,1]上连续且不变号,由推广的积分中 值定理知有∈[-1,1],使得 2a2 d d ·4 arctan=, 所以原式=lim(a)·4 arctan (2)因f(x)=在[n,n+p上连续,利用积分中值定理,得 +p sinx Sin ,‘p,其中n≤≤n+p 当n→∞时,n→∞,sin5,是有界量,故lm lim pins →⊙0dn 另解由积分比较定理知 ∫”md<mxa≤:ax=h4+)0m) 故lim+ sindo=0 (3)由积分中值定理得 中亡e"dx=5(n≤≤n+1), 因imxc∝x lim li =0,所以 于是 limd'e-dx=0. n-+oo. 2.利用中值定理估计积分值 例6估计积分 。x+1004z的值所在的范围 解用第二中值定理得 d x+100 +10d.e-dx=2+10(-e-1)
第56讲定积分性质 189 其中0≤6≤100,故 200~F+100~100 100 于是 e x+100 dx≤ 200 100 3.利用中值定理证明积分不等式 例7设f(x)在[0,1]上是非负单调减函数,证明:对于(0,1)内任两点a,b(a<b),都 有 a f(x)dx≥f(x)d b 证由积分中值定理有f(x)dx=af(61),0≤6≤a, f(x)dx=(b-a)f(),a≤2≤b 故 b f(x)dx= a(l b )f(52)≤af(2) 又由f(x)的非负单减性可知f(51)≥f(2),于是 bf(x)dx≤af(6)≤afG)=Jf(x)dx, 即 f(x)dx≥2f(x)c d b 4.利用中值定理求方程的根 例8设f(x)在[o,1]上可微,且满足f(1)-2xf(x)dx=0,证明:在(0,1)内至少 有一点6,使f() 证由积分中值定理可知2xf(x)dx=6f(1),0≤≤,题设条件化为f(1) 51f(61)=0,即f(1)=51f(61). 由此可启发去构造一个辅助函数F(x)=xf(x),在区间[1,1]上,满足F(1)=F(1) f(1).由罗尔定理可知,至少有一点∈(1,1)c(0,1),使F()=0,即 F"(4)=f()+f(8)=0, 所以 f(8)
