252 高等数学重点难点100讲 第68讲定积分应用(3) 、求变力所作的功 设物体(或质点)在变力F(x)的作用下,沿直线(一般选为x轴)运动,则物体(或质点) 从x=a移至x=b(a<b)的一段距离上变力F(x)所作的功为 F(x)dx 其中F(x)dx是[a,b]上相应于任一小区间[x,x+dx]上的功元素,即dW=F(x)dx 例1设物体按规律x=cr3作直线运动,媒体阻力与物体运动的速度成正比,试求物体 从x=0移至x=a时克服媒质阻力所作的功 解选物体运动的直线为x轴因v=正=3,故阻力F=-ky2=-9kc(为比 例系数)当x=a时=√8,dx=3tdt故物体由x=0移至x=a时阻力F所作的 功 W Fdx= 9kc2t4·3ctdt=-27kc kato (注意上式右端前为负号,只说明力的方向与运动方向相反) 例2用铁锤将一铁钉钉入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉钉入木板的深度成正比 在第一次锤击铁钉时,将铁钉打入木板lcm如果每次铁锤打击铁钉所作的功相等,问第二 次锤击铁钉时,铁钉又被钉入多少? 解取铁钉钉入点为原点铁钉进入木板的方向为x轴正方向,则阻力F=-kx第 次锤击铁钉使铁钉由x=0进入到木板内x=1处,此时F所作的功为 W krdx= k [-2x] 2(阻力方向与x轴方向相反) 由题意第二次打击时,阻力所作的功仍为-2,设此时铁钉由x=1进人到木板内x =a处,故 k=一kx=-2(a3-1),即a2=2a=√2 k 故第二次锤击铁钉时,铁钉又被钉入木板√2-1(cm) 例3长80cm的圆柱形容器,一端封闭,一端装有直径为20cm的活塞,容器内充满压 强为10N/cm2的蒸汽,若保持温度不变,使蒸汽体积缩小一半,试问需要作多少功? 解选坐标系如图68-1,假定活塞在圆柱体左端,设话塞移到x处时,蒸汽压强为 p(N/cm2),这时蒸汽体积为r·102(80-x)(cm3),由恒温条件下,一定量的气体满足方程 pV=RT,即压强与体积乘积保持不变,故有 丌·102(80-x)p=丌·102·80·10. 即此时蒸汽压强P=80 800 而作用在活塞上的压力 F(x)=$p=丌×10X、800 80-x 选x为积分变量,其变化区间为[0,40],相应于[0,40]上任一小区间[x,x+dx]的压
第68讲定积分应用(3) 253 缩蒸汽的功元素dW= 丌80000 dx,故 80000 40 lx=-·8000o[ln(80-x)] 80 丌·80000(ln40-ln80) r80000ln 80 =80000rln2(N·cm) 40 800rln2(J)(100N·cm=1Nm=1·J). rr+dr 若坐标系选取如图682所示,假定活塞仍在左端,设活塞移 动到x处时,蒸汽压强为户此时蒸汽体积为x:102(-x),则在 图68-1 等温条件下由气态方程可知 r1032(-x)p=丌·102·80·10. 即此时蒸汽压强p= 800 此时,作用在活塞上的压力 F(x)=×102X(~800 丌80000 xx+d 取x为积分变量,则x变化区间为[一80,-40],相应于[ 80,-40]上任一小区间[x,x+dx]压缩蒸汽的功元素dw 图68-2 丌·80000 F(xdx= dx,故 80000丌 W F(xdx 80000[ln|x]-=60=80000n2(N·cm)=800xln2(J) 例4设半径为Rm的半球形水池充满了水,现将池内的水抽出,试问: (1)将池内的水全部抽完需要作功多少? (2)若抽出水所作的功等于将水全部抽完所作的功的一半时,水面下降的高度h等于 多少 解该题虽不属于变量作功,但也能由元素法化为定积分计算.过水池中心作铅直剖 面并选取坐标系如图68-3所示池面与剖面的交线为x2+ R (1)考虑由y到y+dy的一层水,其底面是半径为x的圆,厚 a度为其体积近似于d=xdy设水的比重=9.8kN/m3 则这层水的重力为98x2dy=9.87(R2-y2)dy,要把这层水抽 出,需要把它升高(-y),故抽出这一层水所作的功即功元素dW 9.8π(R2-y2)ydy,所以把池水全部抽出需作功为: 图68-3 8: 4.9 W 9.8丌(R2 y R(kJ) R(k]). (2)设作功一半时水面下降高度为一h,此时所作的功 w 9.8丌y(R2-y2)dy L(R )2]° 4 9.8 4 [R一(R [2R2h2-h] 由题意 W W,即4x[23h2- R 亦即 h4一2R2h2+ R4 0
254 高等数学重点难点100讲 解出2=2√4R=2=2+’2k=(1±2)R 因0<h<R,故舍去h2=(1+-2)R2,则有h )R(m)(0<h<R) 即抽出池中水作功等于抽出全部水所作功之半时水面下降了h=√(-√R(m) 例5半径为a的球沉入水中,它与水面相接,设球的比重为 1,现将球从水中取出,要作多少功(设水的比重y=1)? 解过球心作铅直剖面,并选坐标系如图684所示,剖面的 方程为x2+y2=a2把球提出水平面,上提的距离为2a,设想把 zuzzizzizA(x,y) 球切成许多水平薄片,则每一薄片上提的距离都为2a,考虑从y 到y+dy这一薄片,它在水中的行程为a-y,在水面上的行程为 2a-(a-y)=a+y.又因此薄片体积近似于d=x2dy π(a2-y2)dy.而球的比重为1,故上提此薄片在水中并不费力, 仅在水面上才用力故相应于[y,y+dy]这一薄片上提a+y所 图68-4 作的功即功元素dW=(a+y)dV=x(a+y)(a2-y2)dy,于是 w= (a+y)(a2-y2)dy y)dy= Zala y 例6半径为R,比重为0(大于1)的球沉入深为H(大于2R)的水池底,现将其从水中 取出,需作多少功? 解建立坐标系如图68-5所示,将球从池底捞出所需作的功分为两部分: (1)将球从池底提升到球顶面与水平面相切时所需作的功W1; (2)将球进一步提离水平面所作的功W2 先求W1,在水中所用外力:F外=球重一浮力=4兀R-4兀R,于是W1=Fn(H 2R) 丌R3(a-1)(H-2R) 再求W2,球从水平面提出高度为x单位时所用外力 F外=球重一浮为4水下部分球缺浮力 丌R3-mh2(R h ro-x(2R -r)2 R-1(2R-r [4R(-1-x3+3Rx2](其中h为球缺的高 图68-5 故所需作的功W2=3[4R(a-1)-x3+3Rx2dr 3 4R3(σ-1) Rx3 TR(20-1 于是将球从池底捞出外力需作的功为 W=W,+W2 4 πR(a-1)(H-2R)+4πR(2-1)=4xR[R+(a-1)H]
第68讲定积分应用(3) 255 例7为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口·已知井深 30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,污泥以 20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦 耳的功? 解如图68-6所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 W=W1(克服抓斗自重所作的功)+W2(克服缆绳重力所作的 功)+W3(提出污泥所作的功) 依题意知:W1=400×30=12000 x+dx 将抓斗由x处提升到x+dx处,克服缆绳重力所作的功约 为dW2=50(30-x)dx从而W2=.50(30-x)dx=22500 在时间间隔[t,t+dt]内提升污泥需作功为dW3=3(2000 20c)dt,将污泥从井底提升至井口共需时间望=10(s) 图68-6 从而 W3=3(2000-20)dt=57000, 因此共需作功W=W1+W2+W3=12000+22500+57000=91500( 、液体的侧压力 物理学上已知,水深h处的压强与深度h成正比,即p=Yh(为水的比重)若一平板铅 直放入水中,由于深度不同处压强也不相等,因而不同深度点处压力也不同,故平板一侧所 受压力随深度不同而变化,平板一侧所受到的总压力也能用元素法化为定积分来计算.一般 地,由曲线y=f1(x),y=f2(x)(f1(x)≤f2(x))及直线x=a,x=b(ab),此薄板的 半铅直沉入水中,且短轴与水面相平齐,试求水对此薄板一侧 的压力(水的比重为Y) 解坐标系选取如图68-7所示,y轴与水面相平齐,椭圆方 程为+ 6 取x为积分变量,则其变化区间为[0,a],相应于[0,a]上任 -小区间[x,x+dr]的薄板窄条的面积近似于dA=a 图687 √a-x2dx而水深x处其压强为p=yx,相应的压力元素dP A √a2-x2dx,所以 2)2]8=2a2b). 例9设有一等腰梯形水闸门,两底长分别为10m和5m,高为20m,且较长的底边与水 面平齐,试计算该闸门的一侧所受的压力
256 高等数学重点难点100讲 坐标分别为(2.5),(,5),故BC的斜率k=0-25的你 解闸门草图及坐标系选取如图688所示,其中B、C gBC的方程为y-5=x选z为积分变量x的变化 maIM 区间为[0,20],相应于[0,20]上任一小区间[x,x+dx]的闸门 窄条面积近似于dA=2ydx=2(5-1x)dx,x处的压强为p= B 7x,故相应压力元素aP=dA=2x(5-8x)dx,所以 图68-8 .2025-3)dx=2 4000 y=13066.63(为水的比重:7= 9.8kN/m3) 例10一底为8cm,高为6m的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶点在上、底在下 且与水面平行,而顶离水面3cm,试求此薄片所受的压力 解薄片草图及坐标系选取如图68-9所示,腰AB的方程(斜率kAB=4-02 )为 y=2(x-3),取x为积分变量,则x的变化区间为3,9],相应 A(3,0) 于[3,9]上任一小区间[x,x+dx]的薄片窄条面积近似于 dA=2ydx=2·(x-3)dx 4 (x-3)dx, x处压强为p=Yx,相应的压力元素dP=pdA B(9,4) 3)dx.等腰三角形薄片两侧所受压力相等,故等腰三角形薄片所 图68-9 受的压力 Yx(x -3)dx (x2 -3x)dx 3x2]3 8 243 )-(9-4)]=3367 3 [(243 ≈3.3(N)(Y=9.8kN/m3) 例11边长为a和b(a>b)的矩形薄片,与液面成a角斜沉于某种液体中,长边平行液 面且位于深h处,此液体比重为p,试求此薄片每面上所受的压力 解选取坐标系如图68-10所示,A点坐标xo= hcca.选x 为积分变量,则x的变化区间为[x0,x+b],相应于[x0,x。+b O 上任一小区间[x,x+dx]的薄片窄条面积为dA=adx,坐标x 处液体深为 sina,压强为p= atsina,相应的压力元素dP pdA= pIsina:a·dx= pasinazdx,故薄片各面压力为 SIl d pasI 2pasinaL(xo+b)2-x2]=pasina(2xob+b2) 图68-10 +=2pabsina(2hcsca +b)=pab(2h+ sina) 例12某闸门的形状与大小如图68-11(a)所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为
第68讲定积分应用(3) 257 矩形ABCD下部由二次抛物线与线段AB所围成·当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门 矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4闸门矩形部分的高h,应为多 少(m)? C h+1 图68-11 解如图68-11(b)建立坐标系,则抛物线的方程为y=x2,闸门矩形部分承受的水压 力 =2"M+1-9)=2-2-mh 其中P为水的密度,g为重力加速度,闸门下部承受的水压力: P2=2g(h+1-y)√ydy=4g(1h+2, 由题意知,2=4,即12T=4,得h=2,h=一3(舍去) 故h=2,即闸门矩形部分的高应为2m. 三、引力 ①当引力△F的方向不随小区间[x,x+dx]的改变而变化时,直接用引力公式作为元 素法中的f(x);②当引力△F的方向随小区间[x,x+dx]的改变而变化时,将引力分解为 横向、纵向两个分力分别用其元素法得出定积分表示式 例13设有一长度为2,线密度为P的均匀细直棒,在它的中垂线上距细直棒为a处有 一质量为m的质点A,求该棒对质点A的引力 解坐标系选取如图68-12,使棒位于x轴上,y轴位于棒的 中垂线上,棒的中点即原点,质点A在y轴上,OA=a,取x为积 B 分变量,它的变化区间为[-l,],把[一l,幻]上任一小区间[x,x dx]的一小段细棒近似看作质点,其质量为dx.它与A点相 距r=√a2+x2,按两质点间万有引力公式,这小段细棒(质量 可看成集中在x点处)与质点A的引力△F为 △F≈Gmx,(米 从而可得到该引力在y轴方向的分力元素 图68-12 dFy=Gmat,cosp=-G (a2+ 故 d (a2+x2)
258 高等数学重点难点100讲 dx 2Gm gmpa 2Gmpl +x2 +l2 由对称性可知引力在x轴方向分力F2=0,故引力大小为 F 2mp2⊥ √a2+22 (F) 2gmpl +l2 方向沿y轴负方向 注意若以(*)式为引力元素,得引力为 mode ,这是错误的,因为随着x的改变 棒上各小段对质点A的引力不但大小不同,而且方向也不同,它们不能用数量加法,只有当 力的方向平行时,才有数量的可加性,才能用定积分计算因此,今后在分析解决引力电磁 场等方面的问题时,一定要注意到它们是向量,只有确定其坐标,并把合力投影到沿坐标轴 的分力后才能分别进行计算 例14设有一半径为R,中心角为9的圆弧形细棒,其线密 度为常数p,圆心处有一质量为m的质点M,试求该圆弧形细棒 对质点M的引力 解坐标系选取如图68-13所示,圆心为原点,x轴通过圆 心及圆弧中点取6为积分变量,它的变化区间为[-只,里1,相、 中 应于[一2,2]上任一小区间[0+d]的小圆弧段的质量为 ods=pRd,它与原点处的质点M的引力 图68-13 4F≈ G mprd0 G modo R 则它沿x轴方向的分力元素dF2=G"d0·cos=m2cosd0,故 F ! R 0S8do mersin求 7 - sIn R 2 R 由对称性可知F,=0,故引力F={2m号,0其方向由质点M指向圆弧细棒的 中点