336 高等数学重点难点100讲 第81讲重积分的计算法(1) 第81讲至第83讲集中讨论二重积分和三重积分的基本计算方法 一、利用直角坐标计算二重积分 二重积分通常是化为两次积分(即两次定积分)进行计算.如何化成两次积分与积分区 域的类型密切相关 1.x一型区域上二量积分的计算方法 在直角坐标系中,用不等式:9(x)≤y≤%(x),a≤x≤b表示的闭区域D,称为X 型区域.其特点是穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域的边界曲线的交点不多于两 点,如图81-1及图81-2所示 φ2(x) 中:( 中1(x) 中1(x) 图81-1 图81-2 D为x一型域二量积分计算公式 y)andy f(r, y)dy (81.1) 注意X一型域上的积分顺序是:先y后x,即里层积分对y,外层积分对x 2.y一型区域上二量积分计算法 (1)用不等式:y1(y)≤x≤虫(y),c≤y≤d表示的闭区域D称为Y—型区域.其特 点是穿过区域D内部且平行于x轴的直线与区域D的边界曲线的交点不多于两点.如图 81-3及图81-4所示.计算公式为 f(r, y) d f(r, y)d (81.2) V,O) w,C) 图81-3 图81-1 注意Y一型区域的积分顺序是:先x后y,即里层对x积分,外层对y积分 3.一般区域上二量积分的计算
第81讲重积分的计算法(1) 337 若穿过闭区域D的内部,平行于y轴或平行于x轴的直线与D的边界曲线的交点多于 两点则D既不是X一型也不是￥一型区域。要计算该区域D上的二重积分,只能把D分 成几个部分区域,每个部分是X一型或Y一型区域.在其中的X一型区域上用公式(81.1) 化为二次积分,在其中的Y一型区域上应用公式(81.2)化为二次积分,各部分上的二重积 分求出后,根据二重积分对区域具有可加性的性质,它们的和就是所求的函数f(x,y)在D 上的二重积分 4.利用直角坐标计算二量积分举例 例1在直角坐标系中,将二重积分f(x,y)ddy化成两次积分,其中D为闭区域:x2 +y2≤1,y≥0,有人将它化为下述的两次积分,即 f(x,y)dxdy=dx f(,y)dy, 试问这种作法是否正确?说明理由 解上述作法不正确.根据此积分区域D是上半圆域的特 点,若先对y积分,积分上限应是x的函数,而不是常数,二次积 分d(x,9)y的积分区域是矩形域-1≤z≤1,0≤y≤ 1,这与所给的积分域不符,积分区域D如图81-5,是X一型区 域,按先对y后对x的积分次序,把D投影在x轴上得到变量x 的变化区间为[-1,1].先对y积分时,其积分限应按下述方法 确定:由区间[-1,1]任一点x作平行于y轴的直线自下而上穿 过D,它与D的下边界x轴的交点(即穿入点)的纵坐标y=0作 图81-5 为积分下限,它与D的上边界的交点(即穿出点)的纵坐标y=√1-x2作为积分上限,即 得里层积分为f(x,y)dy;对x积分时,积分下限与上限分别是变量x的变化区间匚 1,1]的左端点x=-1与右端点x=1.因此,正确的作法是 f(r, y)dxdy dx f(r, y)dy D 显然,D也是Y一型区域,也可以选取先对x后对y的积分次序把区域D向y轴投影 得变量y的变化区间[0,1],在[0,1内任一点y作平行x轴的直线自左到右穿过D内,穿入 点的横坐标为x=-√1-y2,穿出点的横坐标为x=√1-y2,依次是第一次积分的下限 与上限因而D可表示成:-√1-y2≤x≤√1-y2,0≤y≤1.故此二重积分又可化为 下述二次积分: f(r,y)dxdy=d f(x, y)d D 例2将二重积分f(x,y)ddy化为二次积分(两种积分次序都要求)其中D为闭区 域,由x+y=1,y 1及 围成 解画出积分区域D的草图如图81-6所示 若化为先对y后对x的积分次序,则必须选取D为X一型区域但由草图可知D的上边 界9(x)由y=x+1与y=1-x两个不同的函数组成,因此在变量x的变化区间[-1
338 高等数学重点难点100讲 1]上的子区间[-1,0]内由任一点x所作的平行于y轴的直线 与在子区间[0,1内任一点x所作的平行于y轴的直线,由下而 上穿过D内,穿出点的纵坐标不同,分别为y=x+1,与 x+y=1 x,因而第一次积分的上限随着x在不同的子区间而不同,故 D,D2 应把D分成两块:D1:0≤y≤x+1,-1≤x≤0;D2:0≤y≤ 1-x;0≤x≤1.再由二重积分对积分区域的可加性,有 f(x,y)dzdy=‖f(x,y)dzdy+‖f(x,y)dzdy 图816 d f(r, y)dy+d ,y)dy 若化为先对x后对y的积分次序则必须选D为Y一型区域此时,变量y的变化区间 [0,1](一般是把D投影到y轴上得到或直接由草图看出),其第一次积分的积分限按下述 方法确定:过[0,1]内任一点y作平行于x轴的直线自左到右穿过D内,穿入点(即该直线与 D的左边界的交点)的横坐标x=y-1作为下限,穿出点(即该直线与D的右边界的交 点)的横坐标x=1-y作为上限;第二次积分的下、上限即y的变化区间[0,1]的左右端点 这时,D由不等式表示为:y-1≤x≤1-y,0≤y≤1.故 f(r, y)dxdy=dy f(r, y) 显然,本题选取先对x后对y的积分次序,可以避免将D分块由此可见,在直角坐标系 中将二重积分f(x,y)dzdy化成二次积分的方法与步骤是:①画出积分区域D的草图;② 选择积分次序 注意计算二重积分的关键是:正确地确定里外层定积分的上下限,二次积分(不论何 种次序)共同的特征是:除矩形区域外,第一次积分的上、下限至少有一个应是第二次积分 的积分变量的函数,第二次积分的上下限总是常数;若D的左右边界或上下边界至少有 个是由两个方程(或多个方程)表示的,则应将D分成两块(或几块)从而把二重积分化成 两个(或几个)二次积分的和 例3计算二重积分 4=-nd,其中,D是由y=x,y=1,x=2围成的闭区域 解(1)积分区域D的草图如图81-7所示.若选取先对x 后对y的积分次序D必须是Y一型区域,其边界曲线的交点(1,4 (2,4) 1),(2,1),(2,4)将D投影在y轴上,则y的变化区间[1,4]任 x=y 指定y∈(1,4),过y作x轴的平行线该直线从A穿入,从B穿 出D里层积分的积分变量x从√变到2故里层积分为 (x=2 2,1) Inr dz,外层积分即对y的积分区间为[1,4],从而 d d 图81-7 但第一次积分难以求出故应考虑用另一个积分次序,即先对y后对x积分的次序.这 时,D应是x一型区域,且x的变化区间为[1,2],任指定x∈(1,2),过该x作y轴的平行线 穿过D它从y=1穿人,从y=x2穿出D,由此得y的变化区间为[1,x2]则
第81讲重积分的计算法(1) 339 21-y= Inzdx=[xlnx]i-[x]= 2ln2-1. 例4计算(x-1) dady,其中D是由曲线y=(x-1)2,直线y=x-1及y=1 围成的闭区域 解积分区域D的草图如图81-8所示,由于D的下边界由 y=(x-1)2及y=x-1两部分构成,若选先对y后对x的积 (2,1) 分次序,D必须分成两块,计算量大若选取先对x后对y的积分 x=y+1 次序则不分块此时,D应为Y一型区域,按二重积分化为二次积 分的方法步骤D可表示为:1-√y≤x≤1+y,0≤y≤1 故 1+y (x-1)yard -1)ydx 图81-8 (x-1)2 (4-y)dy 1 (yu-y2)dy 24 注意从该例可以看到:积分次序的选择是颇有讲究的,“先x后y”还是“先y后x”不 仅仅由积分域D的形状来定,还要考虑到被积函数的特点,一般原则是应使里层积分较易 积出来. 例5计算下列被积函数中含有绝对值符号的二重积分 lsin(y-x)|dzdy,其中,D是由y=x,y=2π及y轴围成闭区域. 解对被积函数中含有绝对值符号的二重积分(类似于定积分处理这类问题的方法) 一般将被积函数分块表示,以便去掉绝对值符号,再利用积分对区域的可加性,分块进行计 算,然后相加本题当y-x=丌时,sin(y-x)=0;y-x>r时,sin(y-x)<0,0≤y x≤r,in(y-x)≥0故用直线y-x=r,将D分成D,D2,如图81-9所示这时sin(y x)可分块表示为: sin(y -x), Isin(y-x)I= (x,y)∈D1; sin (y )∈D2 则|sin(y-x)|drd ‖lsin(y-x)dxd 两个子区域上的积分分别计算如下: 2丌 图81-9 无论选D为Y一型还是x一型区域都要分成两块,现选D1 为X一型,且分成: 1:x≤y≤x+π,0≤x≤r;D1:x≤y≤2x,r≤x≤2x; 则 sin(y-x)dsdy=( -x)dxdy+sin(y-x)dzdy
340 高等数学重点难点100讲 sin(y-x)dy+ de sin(y-x)dy 2dx +I(-cosr t 1)dx=3 而D2:x+丌≤y≤27,0≤x≤丌,则 sin(y-x) sin (y -)dy 1)dx 故 sin(y-r)ldrdy= sin(y-x)dxdy-sin(y-x)dxdy=4. 1≤x≤1 例6计算I=|y-x21d,其中D 0≤y≤1 解如图81-10,D=D1UD2,在抛物线 上, v=r y-x2l|=0;在D1上,y-x2≥0;在D2上,y-x2≤0,故 x2)do )do D .d(y-)+」d,(x-yy= 图81-10 二、利用极坐标计算二重积分 般而言极坐标系中二重积分的积分次序是“先r后8” f(x,y)do= de f(coso, rsin)rdr 积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定 (1)当极点0在域D的边界曲线之外时,=df(rcos6,rsin6)dr. r,(6) () (2)当极点0在域D的边界线上时,=d0,f(rcos,i)rdr r=r(0) a (b) (c) 图81-11 (3)当极点0在积分域D的边界线之内时,分别化为下述二次积分: r(o I=f(a,y)do fGrcos0, sino)rd f(rose, rsing)rd
第81讲重积分的计算法(1) 341 例7画出积分区域把二重积分f(x,y)ddy表示为极坐标形式的二次积分,其中 区域D是:(1)x2+y2≤2x;(2)0≤y≤1-x,0≤x≤1 解(1)其积分区域D的草图如81-12所示.其边界为半径 为1,圆心在(1,0)点的圆周,它的极坐标方程为r=2cos6, =2cos e 5≤0≤元则D可表示为:0≤r≤28,-≤0≤ 任意取定∈(-22),作极角为的射线,在这条(被暂时固定 的)射线上,运动变化着的r从r=0穿入从r=2cos6穿出积分 域,所以[0,2cos6为里层积分即对r的积分区间 Ak I(, y drdy= deja f (rose sino)rdr 图81-12 (2)D的草图如图81-13D的边界y=1-x的极坐标方程 为r=cos6+sib,y=0,x=0的极坐标分别为0=0,0=7 这时D可以表示为 0≤r≤c0s9+sin60≤8≤2 图81-13 故f(x,y)dxdy=「d(mor(reos, rsing)rdr 例8计算下列二重积分: (1)I=‖ xydxdy,其中D为:x2+y2≤2ax,x2+y2≥a2,y≥0; (2)(x+y)cy其中D为≤y≤√4一2 D 解(1)积分区域D的草图如图81-14所示.由于D的边界 特点,用极坐标比较方便(若选用直角坐标,则无论选取D为 X-型还是Y一型域都要分块).D的边界x2+y2=a2与x2+ y2=2ax极坐标方程分别为r=a,r=2acos6,它们交点的极坐 标为(a).D夹在0=0(即y=0与6=3之间即的变如①。 化范围为[0,],由极点0引射线(其极角θ∈(0,)穿过D 内,它由r=a穿人由r=2acos穿出,则D可表示为:a≤r≤ 图81-14 2acs0,0≤0≤3,故 zeros 。 de rcost· sine·rdr=| cosesinod|rldr cossing(16cos -10=-499 (2)积分区域D草图如图815所示根据积分区域D边界曲线及被积函数是x2+y 的特点,选取极坐标比较方便,D的边界曲线y=√4-x,y=√2x-x,极坐标方程分
342 高等数学重点难点100讲 别为r=2,r=2c096,D夹在y=0及x=0之间,即D在射线0= 0,0=矿之间.由极点引射线(极角6∈(0,石),它由边界r= 2c0s0 2cos6穿人D,由边界r=2穿出D,即D用极坐标可表示为2co6 ≤r≤2,0≤6≤7.故 (24-2cos0)d0 图8115 =41(1-0d8=z-3.l= 例9计算下列二重积分 )ln(x+y)dy其D为闭区域e≤x+y≤cy≥0 (2) x2+ dxdy,其中D为闭区域:x2+y2≤1,x≥0. 解(1)积分区域D为上半圆域且被积函数中含(x2+y2),用极坐标较简便,D的极坐 标表录式为:e≤r≤e2,0≤0≤兀故 In(x2+y2)dxdy= de Inr.rdr=T Inr2dr2 [r2ln2-r2]:="e2(3e2 (2)积分区域D为半径为1的右半圆域被积函数是属于f(x2+y2)类型的函数,用极 坐标计算救方便又(+y)-√关于y是佩函数积分区D关于轴对 称,故原积分是D的第一象限部分D1上积分的2倍,其中D1的极坐标表示为0≤r≤1,0 ≤8≤丌.故 2 dxdy=2d dr 2[C]-2[m=]=m-2 由上述例题可见:选用极坐标计算二重积分时,一般应同时考虑积分区域和被积函数的 特点若积分区域为圆域环形域或扇形域且被积函数是f(x2+y)、f( arctan)类型时, 适合选用极坐标计算二重积分,否则选直角坐标.而极坐标积分次序一般是先对r后对积 分 三、更换积分次序 例10计算 drlsinyody 解由于nydy不能用有限形式表示出其结果所以yy不能先计算为了改变 积分次序先要写出积分域所对应的不等式组,D:x-1≤y≤2,1≤x≤3,作出D的草图
第81讲重积分的计算法(1) 343 81-16.所以 注意凡遇到形如∫sa,mndr,odx,ehdn,/下 sindy sInya y+】 sIndy dr=lysiny'dy=2 (1_cos4) da」hmxd,一定要将其放在后面积分,由此例看到, 更换积分次序的一般步骤是:①由所给累次积分的上下限写出表 图81-16 示积分域D的不等式组②依据不等式组画出积分域D的草图;③重新确定积分限写出新 的累次积分. 例11把|dy f(x,y)dx化为极坐标系中的二次积分 解由所给二次积分得积分域为D√0≤x≤√2y-y,(图81.自极点0引人 射线(任意固定0)穿入D把此射线与直线段y=1的交点的极径 x=yr表成的函数,因为y=rsin0,所以y=1变为rsin6=1,解得 r- sino csc,这就是对r积分时的下限;把射线与圆弧x= 2y-y2即x2+y2=2y(x≥0)的交点的极径表成6的函数, 将x2+y2=2y化为极坐标方程得r2=2rsin6,即r=2sinb,这 就是对r积分时的上限.而8从x变到于是 图81-17 f(r,y)dx= de. f(rcos8, rsin)rdr 0
