414 高等数学重点难点100讲 第93讲判别常教项级数斂散性方法小结 我们在判定一个级数的敛散性时,有时感到难以下手,其原因除了对一些基本级数不熟 悉,再就是对各种敛散性判定法没有一个系统的认识,因而不能灵活运用 判别常数项级数∑u,敛散性的思路:一般是先看通项n当n→∞时是否趋于零.若 u,不趋于零(n→∞时),则立即就能肯定级数发散 例1已知∑收敛,判别∑(n+1)的敛散性 解∵∑a收敛…Im,=0,从而lm(+1)≠0∑(xn+1)发散 如果 Limu=0,则用级数敛散性的判别法进行判别这时要看级数的类型.如果是正 项级数,那么如上一讲所述,可用比值判别法、根值判别法、比较判别法的极限形式比较判 别法、积分判别法,或用级数的性质,lms是否存在,正项级数收敛的充要条件来判别.其 中比值判别法比较方便,根值判别法次之,但后者较前者使用范围广,比较判别法或其极限 形式,需要找比较级数,往往比较困难,但它是基础.当比值判别法或根值判别法失效或不 方便时可考虑比较判别法的极限形式或比较判别法.对于积分判别法,当广义积分的敛散 性容易判别时,才有使用价值 例2判别级数F dx的敛散性 解先求定积分 o1+ x=2m(1+x3)=1n(+n)>0(n=1,2,…) 故所给级数是正项级数 因为1m(1+1)0)满足条件:(1)u,≥,+,(m=1,2…),(2)ima,=0,则该交错 级数收敛 例4判断下列交错级数的敛散性:
第93讲判别常数项级数敛散性方法小结 415 (1)∑(-1)(v+1-n);(2)∑(-1) n-In(3)∑(-1)"; (2+±)° Inn (4)∑(-1) (5)(-1) 解(1)un=√n+1-√n ,易见当n增大时,un之值单调减小, 丌+1+√n 且lmM,=0,从而∑(-1)xn收敛 1-ln(1+ (2)令4=n-mn,则a,-a…+=(n-1mnn+1-1n(n+1)>0 且 limu=lim n(7lmn““1-=0×1=0(这里,imm=0), 从而 (-1) 收敛 (3)令un=,则 n1) 1n=,而由ln li In2 2(n2) 知imn=lim2=+∞,故limn,=+∞,im(-1)n,≠0,于是级数∑(-1)m,发 散 (5)令=mn,设f(x)= In.x ,则f(x) 2-Inx e2时,f(x)单调下降.当n≥9时,,=f(n)单调下降.即tn+≤a,(n= 1 9,10,……),又因为lim Inr 2 Inn m 0,所以lim,=lim=0 于是级数∑(-1)收敛 小结当使用莱布尼兹判别法时,需要比较4n与u,1的大小,通常可考虑如下方法: (1)观察法:由u,的表达式,观察。是否随n的增加而减少; (2)比值法;考虑一+是否小于1; (3)差值法:考察un-un+是否大于0 (4)求导法:由n的表达式,找出一个函数∫(x),使un=f(n),考察函数f(x)的导数 尸(x)(x>0)是否小于0
416 高等数学重点难点100讲 例5判定∑(-1)(n-1)的敛散性 解设un=n÷-1,显然u,>0(n=2,3,…) 设∫(x)=x x∈(e,+∞),则 由f(x)=(e-1)=x2,x2e)知f(x)在(e,+∞)内单调减少, 所以f(n)>f(n+1),即an+10(n=1,2,…)故,{un}有下界,从而limu。存在,设 im,=a,则n≥0,再由∑(-1),发散可知x≠0;否则,由莱布尼兹判别法知∑( 1)"u,收敛,与已知条件矛盾,故a>0.由此可得: +1a+1 1 而>(+1是公比为十工0)中的,不具备单调减少性,则不 可用莱布尼兹判别法判别,需另用它法.请看下例 (-1) 例8判定 的敛散性 a=√n+(-1) 解所给级数是交错级数,虽然它的通项(-1)·a,=(-1)→0(n→∞)
第93讲判别常数项级数敛散性方法小结 417 但an的单调性却不存在,因为从u2n-1到u2n 2n+1 +1 2n+1 所以2-1>Mm可是从u2到l2x+1时递减性被破坏,即 L √2n+1 v2n+1 2n+1 (√2n+1)(√2n+1+1)(√2n) 所以u2n<a2n+1 可见级数不满足莱布尼兹判别法的条件,它的敛散性作如下考虑: 2 (-1)"[√n-(-1) √n+(-1)”[√n+(-1)j√n-(-1) n (-1)”+√n+ (-1)+1 由于级数∑(-1y+y+满足莱布尼兹判别法的两个条件,所以收敛;而∑正发 散,从而知所给级数发散 如果是任意项级数,则一般均用绝对收敛判别法来判别 例9讨论级数∑an10的敛散性 解这是任意项级数.因为 sinn≤1,所以 sinn (ln10)”(ln10)° (n10)是收 而∑ 敛的等比级数公比q=m0<1)故由比教判别法知∑:m0收于是所给级数绝 对收敛 例10研究级数∑sin(m+mn)的绝对或条件收敛性 解令a,=sn(mx+mn)=(-1)~nmn,并令=sinm7,易见,当刀≥2时,x 0,故级数∑a -1)"an是一交错级数 因为m,= limin n=0,且,…<n(n≥2),所以习a=(-1x,收敛 再考察∑|a,的敛散性.由比较审敛法的极限形式 SIn Inn lim m s lim Inn 可知∑|a,发散故级数∑a条件收敛 例11判别级数∑(-1)=22,的敛散性
418 高等数学重点难点100讲 解先正项级数|(-02斜-2的散性 +1) 2 因为lm (n +1) n/slime+1 ,把n换成连续变量x(x≥1),使用罗比塔法则得 li =lim(2ln2·22+1)=+∞, 所以mn+1=+∞,故由比值判别法知级数∑(-1)“m发散因此所给级 n 效发散 务必充分注意如果用比值判别法或根值判别法判定∑|an为发散时,则可肯定 ∑u发散,这是由于用这两种方法判定正项级数∑a,为发散时,这个正项级数的一般项 1.当n→∞时不趋向于零的缘故(根据lmx1=p>1或lmn√x,|=p>1知|x 逐渐增大或|n|>1,从而必有lim|un≠0,于是iman≠0)但用正项级数的其他判别法判 定∑|an为发散时则不能肯定∑a发散请研究下例 例12讨论级数∑(-1)n+(-1)的敛散性,如果收敛,是绝对收敛还是条 件收敛? 解设un=(-1)1 n+(-1),首先讨论∑|an的敛散性.由an= n+(-1y≥n+1,2+1发散,故依比较判别法知∑a,}发散 下面讨论∑的敛散性 (-1)[n-(-1 ,=[n+(-1)”n-(-1)n=(-1)”1-n )-1 容易判定级数(-11n”1条件收效级数习1绝对收效所以原级数条件收 敛 对于任意项级数,在判别其敛散性时,常常要用到级数的敛散性定义及泰勒公式 例13判定级数∑(-1)”1(1-a)(a>0)是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解当a=1时,原级数绝对收敛;当a≠1时(不妨设a>1,当0<a<1,同理讨 论), lim (-1)”1(1 =lima1= lim alna=lna≠0 由∑1的发散性知原级数不绝对收敛
第93讲判别常数项级数敛散性方法小结 419 由泰勒公式e=1+x+1en.x(00,且a≠1时,原级数条件收敛 在本讲最后,我们提请读者注意:条件收敛级数与绝对收敛级数有着深刻的差异.绝对 收敛级数保持了有限和的一些代数运算性质.如有限项相加,其和与相加次序无关,即“可 交换性”;两个有限项之和相乘,只要用一个和中的每一项去遍乘另一个和的各项,然后把全 部得到的乘积相加就行了,即“可分配性”.可以证明,绝对收敛级数具有这种“可交换性”及 可分配性”但是,条件收敛级数则丧失了这些很好的代数运算性质.例如,交错调和级数 1-1+1-1+…+(-1)…-1+…是条件收敛的根据ln(1+x)的幂级数居开 式易知,其和为ln2. 根据收敛级数的项任意加括号后仍收敛,且其和不变的性质.可见 )+( )+…+( )+…=ln2 现将交错调和级数的项按下述方式重排,在每个正项之后接连排两个负项,得到级数: (1-2-4 (萧 7 由于 1 2n-14n-24n4n-24n 故上述级数(*)又可写为 2. 4n-24 这个例子说明,当我们改变一个条件收敛级数的求和次序时,其和数也发生了改变.不 仅如此,进一步还可以证明:对于任一条件收敛级数,总可以通过改变求和次序,使其发散, 亦可使其收敛于事先指定的任一实数 为什么条件收敛级数与绝对收敛级数在性质上有如此重大的差异呢?粗略地说,绝对收 敛级数之所以收敛,是因为它的通项趋于零的速度相当快.而条件收敛级数通项趋于零的 速度不够快,其收敛还有赖于相邻项的正负相消
