402 高等数学重点难点100讲 第91讲级数敛散的定义与性质 、利用级数敛散的定义研究级数的敛散性 设级数∑u,的前n项的部分和S,=∑x,若极限lmS存在则称级数∑"收敛并 称S=lmS,为级数∑un的和;否则称级数∑a发散.根据此定义来研究级数的敛散性 就要先求出部分和S,的表达式.为此往往要采用一些技巧,如裂项相消、分母有理化、分项 组合等,将通项un作适当的变形 例1研究级数∑an+1):的敛散性若收敛,并求其和 解我们可把通项an分裂成前后项之差的形式,以便在求和时,前后项相消,从而得到 Sn的表达式 (n+1)! +12--可 Sn=u1+u2+…+t, (n+1)! 易见S=imS=1,故级数∑an+1):收敛,且其和为1 例2研究级数S √n(n+1)(√n+1+√n) 的敛散性.若收敛,并求其和 解先将通项n的分母有理化再裂项然后求和即可 n(n+1)(n+1-n)=√n√n+1 )+( )+…+ 例3研 的+了-1(当刀→∞),故此级数收敛,其和八 级数 ∴(m+2-2√m+1+√n)的敛散性若收敛,并求其和 解先将通项拆分,并适当组合,使其化为前后项之差的形式 n.=n+2-2n+1+√n=(√n+2-√m+1)-(√n+1 若令vn=√n+1-√n,则通项t,=vn+1-vn,从而 (√n+2-√m+1)-(√2-1) (n+2) n+2+√n+1
第91讲级数敛散的定义与性质 403 √n+2+√mn+1 +1-√2→1-√2(当n→∞时) 故此级数收敛,其和为1-√2. 例4判别级数si+snz+…+sin丌+…的敛散性 解设a=in6,,=2 sIn 12In6,由公式 2sinasinB= cos(a + B)-cos(a-B), 得么=c1-2 n7 2n 2n+ cos o+ cOS COS 612 12 从而 S,=b1+b2+…+b=c0s1-cos?n+)不 12 由于c0s2+2x当n→+∞时其值在1与-1之间振荡,无极限,所以∑发散,又 因级数∑an与∑k(k≠0)敛散性相同,所以由∑b发散知所给级数∑a发散 例5证明:调和级数习1=1+1+…+1+…发散 证当n≤x<n+1时,1,<1≤1,所以 +1 n+1 n dx≤ dx,即 从而S,= ∑是≥∑n2=ln 2.3.+1=1n(n+1)→+ ∞o(n→∞), n 故∑发散 、利用收敛级数的性质判断级数的敛散性 (1)若级数∑n收敛,则对该级数的项,任意加括号后所组成的级数仍收敛,且其和不 变.根据收敛级数的这一性质,可知:若加括号后所成的级数发散,则原来的级数必定发散 例6判断级数 2-1 2 n ·的敛散性 +1 解研究加括号后所成的新级数∑( 1)的敛散性其通项如下 √n+1 (√n+1) (n≥2), 1 1)·(√n+1) 由调和级数的发散性易见级数∑=2∑n1=21++3+…++…)发 散.从而,原级数必发散 注意若级数∑a加括号后所成的新级数发散则原级数发散但须注意反之不然,即
404 高等数学重点难点100讲 加括号后所成的级数收敛则无法判定原级数的敛散性如∑(-1)=1-1+1-1+ 发散,而(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…收敛 (2)若级数∑u收敛则其通项→0(当n→∞时)根据收敛级数的这一性质,可 知:若级数的通项an￥0(当n→∞时),则该级数必定发散 例7判别 ∑ 2n=1/的敛散性 解由于2-(m1)→,(+)不满足级数收敛的必要条件故原级数发散 例8判断级数∑(-1))5,而 m lim 2'ln2 lim 2:(In2)2 2x 2 =+∞(这里,两次使用罗比塔法则 于是 lima ,un=(-1)2an￥0(当n→∞时),故级数∑u,发散 (2+sin") 例9判断级数∑—3的敛散性 (2 +sin 2.易见1=(2+1)…=10(当k→∞)既然数 列{un}的一个子序列{u4+t}的极限不为零,所以数列{un}的极限也必定不为零,故级数 ∑u,必发散 0,则需用其他判别法来判定级数是否收敛特别注意避免犯这样的错误因为.→01 判别一个级数收敛与否往往第一步考虑通项a是否趋于零若以0,则级数发散;若u ∞),所以∑un收敛 注意利用收敛级数的通项的极限为零的性质,也可以求极限比如欲求极限im 2n,可令,=2m研究正项级数∑的敛散性由比值审敛法,m,=:m m <1,易见级数∑收敛,从而lm2= (n+ 2"n! (3)若级数∑u及∑v都收敛则级数∑(x±)亦收敛,根据此性质可知:若级 数∑a收敛而级数∑发散则级数∑(an士b)必发散 例10判断级数∑2+912的敛散性
第91讲级数敛散的定义与性质 405 解可将此级数拆分成两个收敛级数 2+212=2 2+∑(-1)n,从 而,该级数收敛 例11判断级数∑4+(-2)的敛散性 解 2y+(,易见分3”发散分(己”收敛 从而,该级数发散 注意若∑a∑b均发散时,∑(a土b)可能收敛,也可能发散