第96讲傅里叶级数 431 第96讲傳里叶级教 、函数f(x)的里叶级数 一般来说,对于一个定义在(-∞,+∞)上的任一周期函数f(x)(不妨设其周期为 2r),总可得到f(x)相应的一个傅里叶级数 这只要先按公式 f(x)cosnxdx (n =0,1, 2, 3.) b。=1fx) sInned(n=1,2,3…) 计算出傅里叶系数ao,a1;a2…;b1,b2…(当然,要求公式中的积分是有意义的),然后,据 此从形式上构造出三角级数 +∑( aconi+b,sinx) (96.1) 无论此级数是否收敛,以及是否收敛于∫(x),我们都称此级数为函数f(x)的傅里叶级 数;这时往往表示为 f(x)-o+>(a, cosn.x +b,sinn) (注意,这里使用符号~,而不是=) 函数f(x)的傅里叶级数展开式 如果函数f(x)的傅里叶级数(96.1)不仅收敛,而且收敛于∫(x)(可能除去个别一些特 殊点外),则称函数∫(x)可以展开成傅里叶级数,并且称(96.1)式为函数∫(x)的傅里叶级 数展开式.这时,记 f(r)=n+>(a, cosnx+b, sinn) (96.2) 并注明,应除去的那些个别的特殊点 三、博里叶级数的和函数 在函数f(x)的傅里叶级数展开式(962)的所有收敛点组成的集合上,可定义傅里叶 级数的和函数 +∑(a, cOSnT+ bsinn) (96.3) 当∫(x)满足狄利克雷收敛定理的条件时,s(x)与∫(x)的差异仅在f(x)的间断点上 当x是f(x)的间断点时,这时s(x)≠∫(x). 而有 (x)=[f(x-0)+f(x+0) 四、非周期函数的傳里叶级数展开式 个周期函数∫(x),只要它在一个周期上满足狄利克雷收敛定理的条件,就可将它展
432 高等数学重点难点100讲 开成傅里叶级数.那么,一个非周期函数∫(x)可以展开成傅里叶级数吗? 如果∫(x)是一个定义在[ab上的非周期函数,我们可以先将∫(x)延拓成定义域为 (-∞,+∞),周期为b-a的周期函数f(x),而f(x)在(a,b)上的表达式与f(x)完全 相同.然后我们再将∫(x)展开成傅里叶级数这样以来,当我们把此展式局限于区间[a, b]时,即可得到非周期函数f(x)的傅里叶级数展开式 五、求傅里叶级数和函数在给定点的值 如果已知一个函数∫(x)(不一定是周期函数)在[一L,门]上的表达式,如何求出f(x)的 傅里叶级数的和函数s(x)在任意一点x。处的值? 解决这一类问题,无需将f(x)展开成傅里叶级数.因为无论f(x)是否为周期函数,它 的傅里叶级数的和函数s(x)均是一个周期为2l的周期函数.所以,对于给定的点x而言, 必定可在[一l,以]内找到一点x1,使x。=x1+2kl(其中,k为某一整数) (1)当x1是区间[-4,]的内点,且为f(x)的连续点时,则5(x0)=f(x1); (2)当x1是区间[-l,]的内点,且为f(x)的间断点时,则 s(x0)=2[f(x1-0)+f(x;+0)] (3)当x1是区间[-l]的左端点时,即x1=-时,则 (x)=[f(-l+0)+f(-0) x,-2≤x≤0; 例1已知函数f(x)=11,0<x≤1;设f(x)的傅里叶级数的和函数为 0,1<x<2 s(x).试求:(-3.5),s(5.8),s(8),s(6)之值 解在本题中,=2;-3.5=0.5-4=0.5-24;5.8=1.8+4=1.8+2l;而 0.5及18均为f(x)的连续点.故 s(-3.5)=f(0.5)=1,(5.8)=f(1.8) 由于8=0+2×4=0+2×2l,而0是f(x)的不连续点,故 5(8)=[f(0-0)+f(+0)]=5[0+1]= 由于6=-2+2×4=-2+2×24,而一2是区间[-2,2]的左端点,故 s(6)=4[f(-2+0)+f(2-0)] +0 六、余弦级数与正弦级数 设∫(x)是一个只定义在[0,1]上的非周期函数,要将它展开成傅里叶级数时,我们用不 同的方法,就可将它展开成不同的傅里叶级数,比如在[一l,0]上可任意补充一个函数 (x),再将x(x)=x),-≤x<0 f(x),0≤x<t以2为周期,延拓成(-∞,∞)上的周期函数 然后将其展开成傅里叶级数,就可得到∫(x)的一个傅里叶级数展开式.选取不同的q(x), 就可得f(x)的不同的傅里叶级数展开式 但是,我们最常用的方法是将∫(x)偶延拓或奇延拓即令 l≤x<0 f(x),0≤x<l;
第96讲傅里叶级数 433 l≤x<0 或 g(x)= 0 然后将偶延拓或奇延拓后的函数展开成傅里叶级数.那么,利用偶延拓的方法得到的 f(x)的傅里叶级数必定是余弦级数,而利用奇延拓的方法得到的f(x)的傅里叶级数,必定 是正弦级数 求定义在[0,]上的函数f(x)的正弦(余弦)级数时,不必写出奇(偶)延拓后的函数 g(x)的具体表达式这是因为计算傅里叶系数时,只要在区间[0,门上对f(x)cos"(或 f(x)sin")进行积分即可 t、周期与非周期函数傅里叶级数一览表(见表96-1) 八、例题选讲 例2将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展成以2为周期 的傅里叶级数,并由此求级数∑的和 解f(x)=2+|x|为偶函数,只能展成余弦级数,即 aIo ix 0 (2+x)dx=5 2 T.(2+r)cos(ntI )dr= 2 .rcosnnxdr 图96-1 2(cosnTT-1 (n=1,2,…), n 因为所给函数在[-1,1]上满足狄氏收敛定理 故2+{x1=5+∑ 2(cosn丌-1) cos(nx)[-1,1] n 54、cos(2k+1)x (2k+1) 号一a 当x=0时,上式为2=2 即 (2k+1) 又 (2k+1) (2k+1) 图96-2 5n=3(2k+1)=了×=x 故∑ 6 例3将函数f(x)=x-1,(0≤x≤2)展成周期为4的余弦函数(见图96-2) 解既然是将f(x)展成余弦函数所以就必须对f(x)进行偶延拓 a
434 高等数学重点难点100讲 cos 2 0 sin x+ Cos 2k; (k=1,2…) n'x (2k-1)x2,n=2k-1 (2k-1)7 故f(x)= x,x∈[0,2] 衰96-1 周期与非周期函數傅里叶级数一览衰 以2r为周期的函数∫(x) 以2为周期的函数∫(x) f(r)-2+>a,cosnt +b, sinr),/()-2+ 2(a,cos 2I+binTz 般 函 ,, f(r)cosnrdr(n =0.1, 2.) f(r)cos rdr(n=0,1,2--) f(r)sinned(n =1, 2 b=I/()sin [rdr(n=1, 2 .) 周 以2r为周期,且∫(x)=f(-x), 以2l为周期,且f(x)=f(-x) 的偶f(x)~a 2+∑4(余弦级数),|f(x)~+2x余弦级数 傅函 数 b=0 (n=1,2,…) b。=0 1,2,…) 以2x为周期,且∫(x)=-f(-x), 以22周期,且f(x)=-f(-x), 奇∫(x)~∑bnx(正弦级数), f(x)~∑b,sin"x(正弦级数) 数a,=0 f(r)sinnar(n =1, 2,.) fCr)sin f(x)为[0,r]上的非周期函数 f(x)为[0,]上的非周期函数, 令F(x)={(x),0≤x≤丌 令F(x) f(x),0≤x≤l ∫(-x),-r≤x≤0, f(-x),-l≤x<0, 则F(x)除x=0外在[一r,x]上为偶函数 非拓9+∑ a cosn.(余弦级数), 则f(x-2+Sa.。7x(余弦级 周 数), 函 数 以-3(2)=0,2…)4.-(07(m=012,) f(x)为[0,上的非周期函数, 傅 里 f(x)为[0,r]上的非周期函数 f(x),0≤x≤l (x) 0≤x≤ 令F(x)= 级 令F(x) f(-x),-r≤x<0, f(-x),-l≤x<0, 数 则F(x)除x=0外在一x]上为奇函数,则F(x)除x=0外在[-11]上为奇函数, 拓f(x)~∑b,inx(正弦级数) f(r) 5mx(正弦级数), ∫(x) sinnar(n=1,2,… 么-2八=)m(=,2…)
第96讲傅里叶级数 435 例4把f(x)= Sinx|,-r≤x≤丌展成傅里叶级数 解由图96-3可看出f(x)在[一丌,丌]上连续,且只有三个 极值点,故狄氏条件满足 ∵f(x)为偶函数,b=0(n=1,2…) r.sinzcosnzdx [sin(n+1)r+ sin (1 -n)r]dr cos(n n+1)+1一n coS n+1 [(-1)”1-1] 图96-3 丌(n2-1 (-1)”-1-1] n=2k-1 n= 2k k2 ∵在推演中当n=1时,an没有意义,∴a,a1要重新求 2∫mdx=3(-o),=∫ sin acord z-m2x=0 24 cosER 故 Isin.xI (一丌≤x≤丌). 例5把f(x)=10-x,5≤x≤15展成以10为周期的傅里叶级数 1 n (10 Ca. 2 cos rdr 5, rcos sin sin cOS n 推演an过程中n=0没有意义,所以a要重新求 (10 10 (10 )sin dx=(-1)”(n=1,2,…) 图96-4 故f(x)=10-x=10(-1sins(5<x<15)