第95讲幂级数(2) 425 第95讲幂级数(2) 、幂级数的和函数 求幂级数的和函数的一般步骤是:①求出所给级数的收敛域;②通过逐项积分或微分 将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式(如-x=1+x+x2+…+x+…= x(-1(-1) 解(1)由于P=lm#=1,所以R==1,在x<1内,级数收敛.设和函 数为(x),即(x)=∑nx”(x|<1).两边积分得: s(r)dx 与已知展开式比较:1+x+…+x+…=Sx=,1(1x<1):得 s(x)dx=∑x(注意下标n从1开始!)=x+x2…+x2+ (1+x+…+x”+…) 对得到的(5(x)z的)和函数(1-x-1)作相反的运算求导数,得 s(x)= s(t)dt 即 n (|x|<1) (2)易求得R=1,收敛域为(-1,1,设和函数为x(x),即(x)=二(-1),两 边求导得 s'(x)=∑(-1) (-1)”-x 注意下标n的变化∑(-1)=1+(-1<x≤1) 再作相反的运算:两边积分,得 (x) s'(t)dt dt=ln(1+x)(-1<x≤1)
426 高等数学重点难点100讲 注意上两例均为幂级数求和函数的最基本的方法.所得结论∑nx1= |x|<1), x=ln(1+x)(-1<x≤1),可作为公式来记忆并灵活使用 在记忆公式时,不仅要记住x=a-x,尤其要同时记住等式成立的范圆:-1< x<1 例2求下列幂级数的和函数 (2)∑n(n+1)x;(3) 解(1)容易求出所给级数的收敛域为(一1,1).设和函数为s(x),即 5(x)= (|x|<1), 将它变形为)=x∑动1(x)其中(1)=∑G对(x)=∑ 在(-1,1) 内逐项求导得: (x)=另=以矿= x(1+x2+x4+…(x2)+…)= (|x|<1) 作逆运算,得f(x)=」1-=-2n(1-x 将∫(x)代人(x)的表达式得(x)=-n(1-x)(-1<x<1 (2)求出所给级数的收敛域为(-1,1)设和函数为s(x).即 (n+1) 下面对所给级数先两次积分,后两次求导求和函数s(x) d=∑|n(n+1cd=∑nr1=xSn(-1<x<1), 再对f(x)=∑nx在(-1,1)内逐项积分得 ∫/od=∫nr-d= (-1<x<1) 对上式求导得∫(x)=a22,把(1)代人)山的表达式,得 s(t)dt= rife 两边求导得 s(x)= (-1<x<1) (1-x) 3)本题只需恒等变形变量替换利用已得公式∑n=在 (|x|<1)即可 求解
第95讲幂级数(2) 427 ∑ 12,x2-(2) [|=∑x=11 作逆运算,得 [rs(r)]'d dr ln(1-x)|6, xS(x)=-1n(1-x),s(x)=-1ln(1-x) 于是 1 3ln(1 )=3lm (2)考虑幂级数∑+1)x,设其和函数为S(x)易见其收敛半径为+∞ (n+1)2 S(1). 由S1x=e,两边乘以x,得∑x*1=xe,两边求导,得yn+1x2=(xe") n x+1),两边再乘以,得∑+1x…=(x+x),两边求导得∑+:1x (x+3x+1e,即S(x)=(x2+3x+1故∑+12=(1)=5e 二、函数的幂级数展开 将给定的函数f(x)在某点x。处展开成幂级数,也就是展开成泰勒级数,通常有 两种方 法:直接法和间接法 1.直接展开法 我们通过对具体例题的讨论来说明按直接展开法把已给的函数∫(x)展开成x的幂级
428 高等数学重点难点100讲 数的一般过程 例4将函数f(x)=2展开为x的幂级数 解第一步,求出∫(x)的各阶导数f(x)、m"(x),…f"(x),…;这里, f(x)=2ln2,f"(x)=2n2,…,f(x)=2lh 第二步,求出f(x)及其各阶导数在x=0处的值f(0),f(0),(0),…f(0),…这 里,f(0)=1,(0)=ln2,m"(0)=ln2,…f"(0)=ln"2, 第三步,写出∫(x)的麦克劳林级数f()+f(0)x+"(0)x+…+(/+… 2! 并求其收敛半径R;这里,f(x)=2的麦克劳林级数为: +In2·x+ In22 In"2 2! 由于2=mn=0故收放半径R=+∞ f+)() 第四步,考察当n→∞时余项R、(x)≠(+1)1x+是否趋于零,其中x∈(-R,R), 令在0与x之间如果limR,(x)=0,那么在区间(-R,十R)上就得f(x)的幂级数展开式 为:f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)21∴+"(0x+…x∈(-R,R) n 2ln+12 这里,+1(x)=2n2,Rn(x)= (n+1) x(在0与x之间) 对任指定的x∈(-c,+∞),总有M>0,使|x|≤M,于是, R,(x)≤ +1):·M+1=2,Mn2)”+1 2M·(n2) (n+1)! (Mln2)” (Mn2)+1 易知数项级数2(n+1)!收敛,所以im(n+1W0,从而limR,(x)=0,进而得 2=1+1n2.x+ln2x2+….+m2x+…(-∞<x 有些初学者往往认为上述四步中,前三步是必要的,第四步是多余的.这种认识是错误 的.错误的原因是没有搞清楚“泰勒级数(也就是幂级数)”与“泰勒屦式(也就是幂级数展 式)”是两个不同的概念,下面我们对此概念进行讨论: (1)如果函数f(x)在点x。的某邻域内有各阶导数,那么,如下形式的幂级数 n!(x-x1) 就称为函数f(x)在点x。处的泰勒级数(f(x)在0点处的泰勒级数,称为麦克劳林级数) 它不涉及幂级数(x)是否收敛,在什么域内收敛等问题只要函数f(x)在点x的某邻 域内有各阶导数,我们就可形式地写出它的泰勒级数.显然而见,泰勒级数(“)无论其收敛 域如何,它在x=x都是收敛的,且收敛于f(x。) (2)如果函数f(x)在点x处的泰勒级数(*),在x的某一邻域U(x。)内收敛,而且收 敛于f(x),即等式f(x)= (x-x0)在x。的某一邻域U(x。)内恒成立这时 我们称函数f(x)在点x处“能展开成泰勒级数"并称∑(x2x-x)”为函数f(x)在 点x。处的“泰勒级数展开式”,通常又简称为“泰勒展式 从例4的解答过程可以看出:函数f(x)在点x处“能展开成泰勒级数”的充分必要条件
第95讲幂级数(2) 429 是 (i)f(x)在点x的某一邻域U(x。)内有各阶导数; (i)f(x)按(x-x)的幂展开后的n阶泰勒公式 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+ 21(x-)2+…+(x。) n (x-x0)"+R(x) 中的余项R,(x)=(n+11(x-x0)+!(其中,介于x与x之间) 当n→∞时的极限为0,即当x∈U(x)时,有 limr(x)=0 综上所述,可见函数f(x)在点x处存在“泰勒级数”及“能展开成泰勒级数”是完全不 同的两个概念 事实上,的确存在这种函数f(x),它在x=x处“存在泰勒级数”但是,它在点x处却 不能“展开成泰勒级数”比如函数 f(x)= ≠0 0 0. 可以证明,f(x)在点x=0的邻域内有各阶导数,且f(0)=0(n=0,1,2……),从 而f(x)在x=0处存在泰勒级数,且 fn)(0) n I 可见,此泰勒级数除x=0点外,并不收敛于f(x).故f(x)在x=0点不能展开成泰勒级数 2问间接展开法 这种方法是根据一些已知的展开式,再利用幂级数的四则运算及逐项微分与逐项积分 等性质,来求所给函数的展开式.利用间接法的关键是要熟记下面的五个展开式: (1)e′=1+x++…++…(-∞<x<+∞); (2) sinx 3!5 (2n-1+…(-∞<x<+∞) (3)cosx =1 2!4! +(-1)1 (2n-2)! (4)ln(1+x)=x-2134+…+(-1)y-x+……(-1<x≤1); (5)(1+x)"=1+ax+ (a-1) a(a-1)…( 2! (-1<x<1) 对例4,利用间接法求解.由于2=e2,由上述展开式(1)得 (xln2)” In"2 7! 由|xn2|<+∞,得上述展开式的收敛域为(-∞,+∞), 两种解法比较可知:用直接法将函数展开时,一般来说,求∫(x)的各阶导数的通式 (x)比较麻烦,而研究余项在某个区间(一R,R)内趋于零常常也很困难,因此在可能的 条件下,一般总是避免用直接法而采用间接法 例5将函数∫(x)=9+x2展开成关于x的幂级数 解我们已知(也可由上述展开式(5)得到)
430 高等数学重点难点100讲 +x21-x2+x-x+…=∑(-1)"x2(其中,-1<x<1) 从而f(x)=g+x= (-1)"(÷)2 1+( 32+2 其中,-1<<1,即-3<x<3 例6将函数f(x)=ln(1+x-2x2)展开成关于x的幂级数 解我们已知(上述公式(4)ln(1+1=∑(-1)-(-1<t≤1),而 f(x)=ln(1+x-2x2)=ln[(1+2x)(1-x)]=ln(1+2x)+ln(1-x) n+2)=∑(-1)(2(-1<x≤1即-2<x≤) n(1-x)=∑(-1)…(-x) (-1≤x < 故f(x) 2(-1)-122-S8(-),2-1 2x≤2 例7将函数(x)=4n1-x+2 arctan-x展开成关于x的幂级数 M f(r)=CIn(1 +r)-In(1-x)]'+-(arctan)'-(r) 41+x+1+21+2-1=1=+1+x]-1 12-1=∑x-1=∑x 上式两边积分得f(x)dx=∑!x“dr,即f(x)-f(o 习 4n+1,而由f(x)的 n+1 表达式易见f()=0,故f(x)=∑折+1(-1<x<1) 例8把下列函数在指定点展开成幂级数 (1)f(x)=1nx,在x=1处;(2)(x)=x+1,在x=-4处 公式(4) 解(1)f(x)=lnx=ln[1+(x-1)]= (-1) (x-1) 1<x-1≤1,即0<x≤2) (2) f(x) 1=(-1 x+4 x+4 由等比级数求和公式 (-1<x<1)知 +4 <1,即-7<x<-1), 于是 --(14-3=-3S (x+4) 23+(-7<x<-1)
