420 高等数学重点难点100讲 第94讲幂级数(1) 这一讲与下一讲集中讨论幂级数的收敛半径收敛域、和函数的求法及函数展成幂级数 的基本方法,由于幂级数是函数项级数中的一种,所以先讨论函数项级数的有关概念 、函数项级数∑un(x)收敛城的求法 对于一般函数项级数∑(x)敛散性判别往往采用把x看成常数先讨论∑|a(x) 的敛散性,再讨论端点处的敛散性 例1求下列级数的收敛域: (1) (2) n(n+1)(x2+x+1) 解(1)设an=(-1) )” u+1= n 当 0.即当x>0时,原级 数绝对收敛,在端点x=0处,原级数为∑二12,条件收敛,故原级数的收敛域为x≥0 (2)设a(x)=n(n+1(x+x+1) myU|-mn+(2+x+1y=+x+1 当x2+x+1(x)的收效域为[-1.0 小结求函数项级数∑a(x)收敛域的一般步骤是:①用比值法(或根值法)求p(x), 即im|a(x)=P(x)(或lim√n(x)=p(x);②解不等式方程Q(x)<1,求出 a(x)的收敛区间(a,b);③考察x=a(或x=b)时,级数∑(a)(或∑a(b)的敛散 性④写出∑u(x)的收敛域
第94讲幂级数(1) 421 二、幂级数的收敛半径 如果幂级数∑ax不是仅在x=0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个 完全确定的正数R存在使得当|x|R时,幂级 数∑ax发散我们称这个正数R为幂级数∑ax的收敛半径为方便起见,若幂级数 ∑ax仅在x=0点收敛,规定其收敛半径R=0;若它在整个数轴上都收敛,规定其收敛 半径R=+∞ 我们分以下四种情况,分别给出幂级数的收敛半径的求法 (1)对于幂级数∑a而言如果m|2:1=0或者mya|=p则该幂级数的收 敛半径R=(这里规定:当P=0时,R=+;当P=+∞时,R=0) 例2求 的收敛半径 解 p“加m/,+ I= lim (n+1)!〃2(n+1)=0, 故收敛半径R 例3求幂级数∑2=1r的收效半径R 解{|=2+g=/2+c=12=23(-1)/2 ,n为奇数, 故 1)” 6,n为偶数, im不存在但这并不意咪收敛半径R不存在,只是说比值法失效可转而考虑用根值 法因为imva,=my2+(=1,1 2 即 ,所以收敛半径R (2)对于有缺项的幂级数∑ax…(其中,k为某自然数,为某整数)而言只需令 x,转而研究幂级数∑a“的收做半径即可得知幂级数∑a的收敛半径R= 其中P=lm2|或者p= lim vIa 例4求∑21x“的收敛半径 解首先注意到所给级数缺少奇次幂的项,不能用例3,例4中求收敛半径的公式,应 该用比值判别法本身求R 设u(x)2n x, lim| -tI= lim I 当—0<1即|x|< 2
422 高等数学重点难点100讲 √2时,所给级数绝对收敛,当|x|>√2时,所给级数发散所以所给级数的收敛半径R =√2 例5求幂级数∑21x-2的收敛半径R 解该幂级数是有缺项的幂级数,它缺少关于x2,x3,x5,x…各次幂的项.可用本讲 的(2)中所述的方法求R 因为p=lim√a, lim 所以该幂级数的收敛半径R ∨p y2. (3)设任一幂级数∑an(x-x0)”在(a,b)内收敛在(ab)外发散(x=a,x=b发散与 否不考虑),则称R=2为幂级数的收敛半径令x-x0=4则∑a"与∑ax-x 有相同的收敛半径 例6求∑sin·(x+1)的收敛半径 解设un(x)=si 1 (x+1) lim a+1(x) sIn .0o u(x) I = lim x+1|=|x+1 sIn 当|x-(-1)|=|x+11时,级 数发散,故收敛半径R=1 (4)如果幂级数∑ax与∑b,x的收敛半径分别为R及R2一般来说幂级数∑(a 士b)x”的收敛半径R=min{R1,R2}. 例7求幂级数∑ [2+(-1)”] x”的收敛半径R 解易见im2及lim√a,均不存在,因此比值法或根值法对本题均失效.可分 别考虑由该幂级数中的偶次幂及奇次幂组成的两个幂级数 易见幂级数∑x=∑x的收敛半径R1=1 再求幂级数 2 +x2m的收敛半径R2,因为P=lim 4-= 32*+7= lim 所以 [2+(-1)” R2 -1==3(参见本讲中的例5),从而幂级数∑ x的收效半 22R= min(RI, R2)= min(1, 3)=1. 注意求∑x2xm+的收敛半径R1时,也可以用变量代换的方法,令=3,易见
第94讲幂级数(1) 423 ∑()”=,当1时发散即当13时雪”2散这说明豆如一”的收效半径网 例8若幂级数∑ax在x=-2处条件收敛求该幂级数的收敛半径R 解由阿贝尔定理若幂级数∑ax在一点x处收敛则当|x12时,该幂级数必发散.否则该幂级数在x=-2处就 不是条件收敛,而应为绝对收敛这与题设矛盾,故该幂级数的收敛半径R=2. 小结幂级数∑a,x”敛散性的特点:当|xR时发散仅 在x=士R处,可能收敛也可能发散.如果幂级数在某一点处条件收敛则这一点必为收敛 区间的端点,由此可确定收敛半径R. 、幂级数的收敛城 求幂级数∑ax”的收敛域,一般来说是先求收敛半径R得知级数在(-RR)内收敛, 再讨论在端点x=士R处的敛散性 例9求幂级数∑x的收敛域 解 lir antl=lim (n+ (n+ lir m 所以收敛半径R=e,即当|x|1,因此n→+∞时,un+0,所以级数发散,同理可得在x=-e 时,级数也发散.因此,原级数的收敛域为(-e,e). 例10求∑(-1)x2x-3的收敛域 解 lim Vlu. c: = lim 当x<1,即1x|<√2,亦即-√2<x<√2时,∑(x)收敛; 当x=√2时,原级数为∑(-1)n(2)=1=∑(-1)1,收敛;
424 高等数学重点难点100讲 当x=-√2时,原级数为∑(-1y2n(-√2) ∑(-1)+,收敛; 故级数的收敛域为[一√2,√2]收敛半径为R 2 例11分别求(1)∑4(2)∑红π1的收敛半径及收敛区域 解易知两级数的收敛半径相同,都是R=1,但收敛域不同,前者是[-1,1),后者是 1≤x-1<1,即区间[0,2)
