394 高等数学重点难点100讲 第90讲线面积分概念题选讲 例1下面的解法哪些是正确的?为什么? (1)设D由x2+y2=1围成,求I1= +x2+y 由于x2+y2=1所以 于是 「l D 2)由x2+y2+x2=1圄成求l2=(x2+y2+z2)dv 因为x2+y+2=1,所以12=「(x2+y2+x2)d=1d=2x 3)设曲线L为:x2+y2=1,求l=中(x2+y2)ds L 由于x2+y2=1,所以l3=中(x2+y2)ds=中lds=2丌 (4)设曲面∑为:x2+y2+x2=1,求I4=(x2+y2+z)dS. 因为x2+y2+x2=1,所以I=(x2+y2+x2)ds=‖lds=4x (5)设L是x2+y2+2x=1的正向一周,D是L所围成的区域,求 In(x'+y)dr +e>dy x2+y2+2x In(x'+ y)dr+e dy n(1-2x)da=‖loda=0 解I1与I2的解法是错误的,I3、4与l5的解法是正确的,产生错误的原因是对二重 重、曲线、曲面积分的概念一知半解 对l1来说积分域D是圆周x2+y2=1围成的闭区域,点(x,y)不仅仅在圆周上变动 而是在整个闭区域上变动.当点在圆周L上时,x,y满足x2+y2=1;当点(x,y)在上述区 域D的内部时,x,y就不满足x2+y2=1了,所以将x2+y2=1代入被积函数中进行化简 是不对的正确的解法是:因为积分区域关于x轴及y轴都对称同时被积函数关于x与y都 是偶函数设D在第一象限的部分为D1,由对称性得 d1vitrardrdo- 、千d d(r2) r[ arcsin2+1-]|=2(x-2) I2错误与l1错误的性质相同:x2+y2+z2=1仅为积分域边界曲面上的点的特征,而 三重积分的积分变量在球域:x2+y2+z2≤1上变化 正确的解法是
第90讲线面积分概念题选讲 395 I,= singdrdgde=. de sinop,rdr=5T I正确是因为曲线积分的积分变量只是在曲线x2+y2=1上取值因此,可将被积函数 f(x,y)=x2+y2用1作整体代换 14正确的理由与l3类同.因为被积函数为f(x,y,z)=x2+y2+z2,积分曲面2的方 程为x2+y2+x2=1,这样,在Σ上被积函数为常数1,又因Σ为特殊形状曲面一球面,它 的面积易求,所以先化简再计算就简单了 I5的解法很巧妙!此题直接用计算公式求解几乎不可能.也不能直接用格林公式因为 分母在原点为零但在L上有x2+y2+2x=1,故l=n(1-2x)dx+edy,此时便 可用格林公式求得结果. 小结曲线积分曲面积分与二重积分、三重积分在计算上有一个不同之处,就是:计算 曲线积分或曲面积分时,可以将积分曲线或积分曲面的方程代入被积函数中进行化简,这是 因为曲线积分或曲面积分中积分变量在积分曲线或积分曲面上取值它们满足积分曲线或 积分曲面的方程;而二重积分、三重积分就没有类似的性质.重积分中的积分变量是在整个 积分区域上取值,所以不能将积分区域的边界方程代入被积函数中化简. 例2下面一个题目给出多种解法,请指出哪些解法是错误的,为什么? 求=x+dx+x+ydy其中L为从点A(一a,0)经上半椭圆+=1(0 <b<a,y≥0)到达点B(a,0)的弧段,见图90-1 解法1如图902,补下半圆L1:x2+y2=a2(y≤0),则L+L1围成一封闭区域D. 由于P= 且 a f(-a.0) B(a,0) 图90-1 图90-2 2xy aP (x2+y2)2 由格林公式得 dx 令x=acos,y=asin,得 L(- asin)(-@)+(acos+ D asin@)acos ]do=- do=r (-a,0)OB(a.0)x 解法2见图90-3,补上线段BOA:y=0(-a≤x≤a), 记为L1,则L+L1围成闭域D,由格林公式得 图903
396 高等数学重点难点100讲 此为发散的广义积分(x=0是被积出数的无穷间断点)所以Ⅰ不存在 解法3见图90-4,补上L1:x2+y2=a2(y≥0),方向如图90-4,则L+L1围成闭域 D,由格林公式得 =「oda-「.x2dx+x+2dy L a 2d0 d6=π 解法4补上半圆L1:x2+y2=a2,y≥0,方向见图90-5,由格林公式得 Odo dr+tody D D A(-a,0)O B(a0) 图90-4 图90-5 解在计算I=P(x,y)dx+Q(x,y)dy时,当曲线L不封闭时,常常采用补上一条 曲线L1使其成为封闭的再用格林公式计算同时要减去Pdx+Qdy.这样常能简化计 算,这种方法称为补割法.补割法之所以能简化计算,主要是补上的L1一般是较简单的曲 线,特别,当正-=a(常数)时,则更为简挺 但在使用补割法时,也常常产生错误,其原因是对定理(格林公式)的内容及其推导过 程没有完全掌握.使用公式时,要检查是否满足定理的两个条件:一是连续性条件,即四个 函数P(x,y),a(x,y),d在域D的内部及其边界曲线L+L上连续,二是方向性条件, 即L+L1构成域D的边界的同一方向—正向或负向,则I=士 ao aP Pdx +Qdy.由此可知: 解法1是错误的因为在区域D内点(0,0)处,PQ,y,正没定义,不满足连续性条件 解法2是错的,因为P,Q在区域D的边界点(0,0)处不连续 解法3不满足方向性条件(L与L1构成的边界不是同一方向),所以也是不对的 解法4是正确的 例3(问答题)在格林公式中,不要求区域D是单连通的条件,在讨论对坐标的曲线积 分与路径无关时,为什么要加上“在单连通区域内”的条件? 答:要回答这个问题,让我们重新研读两个定理(一是格林公式另一是积分Pdx+
第90讲线面积分概念题选讲 397 Qdx与路径无关的充要条件)的证明过程就会注意到在格林公式中,只强调了况aP在D dr dy 内是连续的,而不要求D是单连通的这是因为若D是多连通的,则D的边界可由几条闭曲 线共同组成.但是,曲线积分I=Pdx+Qdy与路径无关是由“在任意一条闭路曲线上的 曲线积分为零即中Pdx+Qdy=0”推导出来的,而后者是由在单连通区域上的格林公式 推导出来的 即 -)do=0台中Pdx+Qdy=0台Pdx+Qdy与路径无关 由于上式中的L曲线是指区域D中的任何一条环路,当然要求,在D内任何简单 闭曲线L所围的区域D4内连续,否则上式中的重积分可能无意义,故在一般情况下,为了 使空,在D内任何闭曲线L所围成的区域D内连续,就必须保证区域D是单连通区域 小结使用曲线积分与路径无关计算时要注意条件:“在单连通域D内及连续 且 ay =恒成立的“单”、“连续”和“恒”字 例4计算=「8 ryd ydz+2(1-y)dzdx-4ydy 其中Σ为x2+z2=y-1位于1≤y≤3间的部分,且Σ的法向量与y轴正向夹角成 锐角,如图90-6. 解在计算J=P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,)dxdy时,若∑不封 闭,也常补上使x+封闭,然后采用高斯公式计算,再减去「Pdyd:+addr Randy,也常能使计算简化.但也要注意满足两个条件,一是连续性条件即P(x,y,z),Q(x y,x),R(x,y,x)及其偏导数x·b’读在+所围的空间区 域a内部及其边界曲面Σ+∑1上连续,另一是方向性条件即S 与Σ1共同构成』的边界曲面的同一侧—外侧或内侧,则 J=士m(2+盈x2)d-rd+ Drdr aR Dad 对本题,如果补上∑1右侧(如图90-6),由高斯公式得 I=‖odv 8ryd ydz +2(1-y)dedr -4yedxd 图90-6 那就错了,因为违背了关于方向性的要求,应该补上1的左侧,这时,+构成的内 侧 8. yd ydz +2(1-y2)dzdr-4yedrdy 8ryd ydz +2(1-y?)dzdx -4yzdxdy, 由于1在zOx面上的投影为Dx,x2+x2≤2,在xOy及yO:平面上的投影面积为
398 高等数学重点难点100讲 零(从形式上看因为在习1上,y等于常数3,所以dy=0,dydz=0,ddy=0),从而 r=‖2(1-y)dzdx=2(1-32)dzdx=-16 dzdx=-16×2r=-2r 例5请读者验证下列各题, (1)e+' arctan√z+yd=4m,其中L:x+y=1,y≥0 (2)(x2+y2+x2-x-y-z)ds=2丌R,其中L是球面x2+y2+x2=R2与平 面x+y+z=0的交线; (3) 9x2 xe-2y)d=0,其中L是椭圆x+3=1沿顺时 针一周 (4) 2y2+zd=2πa2,其中L为球面x2+y2+x2=a2与平面x=y相交的圆 周(其中a>0) 与二重积分类似,利用对称性也可以简化对弧长的曲线积分的计算 (1)若积分弧段L关于x轴对称,而L1是L上对应于y≥0的部分,则 当 0 当f( (2)若积分弧段L关于y轴对称,而L1是L上对应于x≥0的部分,则 2.f(x,y)ds,当f )=f(x,y) 0 当f(-x,y)=-f(x,y) (3)若积分弧段L关于x轴和y轴均对称,而L1是L上对应于x≥0,y≥0的部分,则 4 f(,y)ds, f(-r, y)=f(r,-y)=f(r, y) f(x, y)ds 当f(-x,y)=-f(x,y)或f(x,-y)=-f(x,y) 例6计算=9(x+y+xy+y),其中L为星形线x+y2=da>0) 解L的图形关于x轴与y轴均对称,又因为xy2关于x为奇函数,y2关于y为奇函数, 所以∮xy=0,yd=0.从而=(x+y)由于x+关于,y均为偶 函数,L关于x轴与y轴均对称,故=4.(x+y3)ds(L1为L在第一象限的部分),令 x= acos't,y= asin,则d=√x2+yd=3 a costain dr=3aosi(0≤≤2), 于是 ai(cost+ sin't).3acostsintdt=12a3'(cos tsint sint cost )dr 2a3(-cos6t sint 例7下面的解法是否正确?若有错,请指出错误,并给出正确解法 求[zdy,L;从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x2+y2=R
第90讲线面积分概念题选讲 399 因为被积函数是x的偶函数,且积分曲线关于y轴对称,故 r?d 飞cy=2(-y)yR其中是对应于L的x≥0的部分 解上述解法是不对的.因为对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关,所以计算对 坐标的曲线积分时,不仅要考虑被积函数,还要考虑积分曲线的方向.正确的解法应是:先 将对坐标的曲线积分化成定积分,再考虑利用定积分的对称性化简计算 xdy+|xly,其中L,:x=-√R-y是L位于x≤0的部分其起点 为A(-R,0),终点为C(O,R);L2:x=√R一y是L位于x≥0的部分,其起点为C(0, R),终点为B(R,0).于是 rody=(R2-y2)dy+(r2-y2)dy=0 与三重积分类似,也可以利用对称性简化对面积的曲面积分的计算(空间对弧长的曲线 积分也有类似的化简规律) (1)若积分曲面∑关于xOy面对称,而Σ是Σ上对应于z≥0的部分,则 2(x,y,z)dS,,当∫(x,y,z)关于z为偶函数; f(r,y, z)ds 0 当∫(x,y,z)关于z为奇函数 若积分曲面Σ关于xOz,面或yOz面对称,则也有类似结论 (2)若积分曲面Σ关于xOy面和xOz面均对称,而E1是Σ上对应于z≥0,y≥0的部 分,则 4‖当f(x,y,z)dS,当∫关于y,x均为偶函数 f(r, y, e)ds 当∫关于y或z为奇函数 若积分曲面∑关于xOz面和yOz面均对称,或关于xOy面和yOx面均对称时,也有类 似的结论 (3)若积分曲面∑关于三个坐标面均对称,而Σ是∑上位于第一卦限的部分,则 8f(x,y,x)dsS,当∫关于x,y,z均为偶函数 )ds= 当∫关于x或y或z为奇函数 例8计算r=「(x+y+z)dS,其中∑为上半球面;x=R-x-y 解由于∑关于yOz面对称函数f1(x,y,z)=x是关于x的奇函数,所以‖xdS= 0同理,由于∑关于Ox面对称函数f(x,y,2)=y是关于y的奇函数,所以yds=0 从而r=「ds,从方程x=√R=x-y得dS=√1++=Ed,故I R 例9计算=(x2+3xy2-2y+ds,其中x为圆柱面:x+y=4介于==0
400 高等数学重点难点100讲 和z=6之间的部分曲面, 解因为x关于yOz面对称,3xy是关于x的奇函数,所以‖3xydS=0;又因为E关 于xOx面对称,y是关于y的奇函数所以yds=0; ∑关于yOz面对称,x2+1关于x为偶函数故r=2(x2+1ds,E1为上x≥0的 部分. 由x:x=√4-y得S=小1+(在y2+()y =d ydz ∴I=4 dydz =8 d z2+1 /4- d=8{+|y=232元 4 例10计算Ⅰ=中[(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2]ds,其中, +y2+ R 解由于曲线厂关于yOz面对称,2x是关于x的奇函数,所以中。2xds=0,曲线F关 于zOx面对称,2y是关于y的奇函数故中2yds=0,于是 I=(x2+y2+x2-2x-2y-2x+3)d (R2+3)d 2yds (R2+3)φds-φRds (R2+3)·2 R·r-R·2 R:丌 3丌R(R2-R+3) 在上面计算过程中到了x2+y2+x2=R及x=5,且注意到r是半径为∽R的圆 例11下面的计算是否正确?若有错,请指出,并给出正确解法 求Ⅰ= dady,Σ:球面x2+y2+z2=R2的外侧 因被积函数z是z的奇函数且积分曲面关于xOy面对称,故仲ddy=0 解注意:利用对称性简化定积分和重积分运算的规律完全适用于对弧长的曲线积分 和对面积的曲面积分的计算;而对于对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分则不能生搬硬 套,这是因为对坐标的曲面积分(关于对坐标的曲线积分有类似的解释,见例7)与积分曲面 的侧有关,所以计算对坐标的曲面积分时,不仅要考虑被积函数的奇偶性与积分曲面的对称 性,还要考虑曲面的侧,故上述解法是不对的.其正确解法是
第90讲线面积分概念题选讲 401 √R2-x2-yda=3R 计算对坐标的曲面积分时可以利用轮换对称性简化计算,对坐标的曲面积分的轮换对 称性是指:①被积表达式具有轮换对称性;②积分曲面及其侧具有轮换对称性(积分曲面 在坐标面上的投影区域相同且配给的符号也相同) 例12计算Ⅰ=42dydz+yddx+ddy,其中r=yx+y+z,2:x2+y +z2=a2,取球面外侧 解由轮换对称性知 6ydzdr=if 2drd 从而=3dxdy,记x为上半球面x=a-x-y,取上侧;x为下半球面z= √a-x-y2,取下侧在xOy面上的投影域均为D,:x2+y2≤a2 I=3(+)=3 do) √a2-x2-y2do d"√a2-rrdr=4x 例13计算曲线积分:=中xds,其中厂为球面x:x2+y2+x2=R与平面r:x+ y+z=0的交线 解在曲线方程中,x,y,处于完全对称的地位,所以中xd5=中yds=中zds 从而I3驴(x2+y2+z2)ds,又因为F在球面Σ上,所以r=1 R2d R2 d 平面x与球面Σ的截痕P x+y+z=0, 恰好是球面上的一个大圆其周长为2xR,于 R3 例14设S:x2+y2+x2=a2(z≥0),S1为S在第一卦限的部分,则有() (A)‖xds=4‖lrdS; (B)‖yds=4lxds (C)‖zds=4lds; (D)ryzds= 4 ryzds 解由对称性zds=41zds,而在S上有dS=yds=zdS,因此应选C
