第98讲可降阶的高阶方程 445 第98讲可降阶的高阶方程 解高阶微分方程的基本思路就是把微分方程的阶数降低,通常的二阶微分方程F(x,y, y’,y")=0有四个变数,仅当缺少x或y时一定可以降阶求解.下面表98-1介绍了三种可降 阶的方程类型,凡是符合这种类型的方程都可用表中给出的解法求解 衰98-1 可降阶的高阶方程解法一览表 方程类型 解法及解的表达式 y)= f(r) 通解为…∫(x)(dx)”+C1x-1+C2x-2+…+C.x+C n状 不显含y的二阶方程令y-P则y-p原方程化为=f(xP)—-阶方程设其解为 y=f(r, y) 户=x,C1),即y=叭x,C1)则原程的通解为y-|x,C1)dx+C 令y=p把P看作y的函数则y-#,出一P3把yy的 不显含x的二阶方程 y= f(y,y) 表达式代人原方程,得5=f(yP)—一阶方程设其解为p= (y,C1),即2=(y,C1),则原方程的通解为 +C 例1求方程y-2=0的通解 解令y=x,则y=(y”)y=x,于是所给方程化为的步奖 通解为z=Cx,即y=Cx.此为y"=f(x)型,再积分三次得所给方程的通解:y=C1x C2r2+CuI+Cu 例2求方程(1-2x)y-y=0的通解. 解所给方程缺少y,是y=f(x,y)型.令y=p,则y aP,代入所给方程 得:(1-2x)-p=0.分离变量得 dp dx 2x-1积分得lnp 1ln(2x-1)+ InC1. 即p=y=C1(2x-1)-,积分得通解:y=C1(2x-1)+C2 例3求方程yy"+y2=0的通解 解所给方程是y=f(y,y)型,令y=p,则y=P,代入所给方程得 yP+p2=0,即p(y2+P)=0,所以P=0或y:P=0 由P=y=0,得y=C,它是所给方程的解由y:十P=0得P=y=S则yy
446 高等数学重点难点100讲 Cdx,积分得:y2=C1x+C2(C1=2C),即为所给方程的通解 例4求下列方程的解 (1)y (2) 1 (3)y 解(1) f(x)型 dx=e(x-1)+C (r-1e'dr +Cox=e(r-2)+C2+cox C (x-2)dx+ + C2 (x-3)+C1x2+C2x+C3(C1=7). 2 2)是 f(x,y)型 令y=py"=p d 2 dx 1+x2 p,解得 1+ dr,Inp =In(1+r2)+InCI 即=p=C(1+x2),积分得y=C(x+3)+C2 (3)是y"=f(y,y)型. 令 dp P 得到p pdp d 积分得p2=2√y+2C1 y 解得 力=士2 +C1 C2=± dy √y+C1-C y+C √y+C1 du+ du]=± ±(+C)-x√y+C 故9(x+C2)2=(√y+C1)(2√y-4C1)2为通解 例5求方程 的解 解设 √y,pdp=3√ydy,积分得 由y|x-=1,p|x=y|-0=2,得C1=0,y=p=土2y,又因为y|x-0=2满足初始 条件的解,应取y=2y2,即y-dy=2dx,积分得4y}=2x+C2,由yl-0=1,C2=4, 特解为4y=2x+4,即y=(x+1) 注意本题若不先定C1=0,后面积分将很困难,而且由于y=±√4y}+2C1,还需 求出两个解但事实上特解只有一个,要舍去另一个解,因此求特解时常数应及早确定.所以 在求解初值问题时,往往在求解过程中每出现一个常数就用初始条件去确定,直至最后一个 常数确定即得特解
