第89讲通量与散度、环流量与旋度 391 第89讲通量与散度、环流量与旋度 、通量与散度 1.通 设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,沿场中某一有向曲 面Σ的第二类曲面积分 φ=A.nds=‖ Prydz+dzdx+ Randy 称为向量场A(x,y,z)向正侧穿过曲面Σ的通量,其中n= cOsaL+cosj+cosk为曲面2 在点(x,y,z)处外法线的单位向量 对于流速场中的闭区面,用φ表示流出Σ的流量减去流入Σ的流量,则①中>0时,表 示流出多于流入,这表明曲面Σ内部必有源;②φ0,则称该点是散发通量的 源”;若dvA<0,则该点是吸收通量的“洞”;而divA=0,则表示该点既不散发也不吸收通 量,或说既不是“源”,也不是“洞” 3.高斯公式的物理意义 需++要灿1=%如++kdy=乎 A·dS 高斯公式表示单位时间内离开闭区域』的流体的总质量等于分布在Q内的源头在单位 时间内所产生的流体的总质量. 例1求向量场A的散度:A=(x2+yz)+(y2+xx)j+(x2+xy)k 解这里P=x2+y,Q=y2+xz,R=z2+xy,所以2n, aR dy 于是有dA=m+2+=2(x+y+x). 例2求向量场A=yzj+xxj+xyk穿过曲面S:圆柱x2+y2≤a2(0≤x≤h)的 全表面,流向外侧的通量 解这里P=y,Q=xz,R=xy,于是2= R0,由高斯公式有
392 高等数学重点难点100讲 ydz rzdzdx rydrdy 0 例3求向量场A=(2x-z)i+x2yj-x2k穿过曲面2:立方体0≤x≤a,0≤y ≤a,0≤z≤a的全表面流向外侧的通量 解这里P=2x-xQ=xy,R=x2,于是.m=2,=x a 由高斯公式得φ=4(2x-x)dydz+x2 yazd- xz'dzdy=‖(2+x2-2xz)d dr dyl(2+r2-2xz)dz a(2a+ax2-a2x)dx=(2-2)a2 二、环流量与旋度 1环流量 设有向量场A=Pi+Qj+Rk,则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分r A·dS=中Pdx+Qdy+Rdz称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 环流量是表示质点在向量场A(x,y,z)作用下沿曲线C回转速度的一种量度,当向量 场A的方向越接近切线的方向时,回转的速度就越快 2.旋度 在直角坐标系中,若向量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,x)k的分量P、Q、 R有一阶连续的偏导数,则在任一点M处的向量 太+(+(况 aR 称为向量场A在点M处的旋度. 旋度的意义.以向量A表示的流体在某点M(x,y,x)是否旋转,需要看A的旋度 aR ao aP aR tA 在M点是否为零向量,若rotA=0,则流体在M处不旋转,旋度向量的模|rotA越大,说明 流体在M点的旋转强度越大 3.斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式 ar d2 ) t(a )dex + ar dy )d. y Pdr+Qdy+ Rd 表示向量场A沿有向闭曲线C的环流量等于向量场A的旋度场通过C所张成的曲面S的通 量(r的正向与∑的侧符合右手规则) 例4求向量场A=(z+siny)i-(z- cosy)j的旋度 解这里P=z+siny,Q=-(x- rcos y),R=0,所以
第89讲通量与散度、环流量与旋度 393 tA ar dy az =i+j z+ siny -(z -cosy 例5求向量场A=(x-x)+(x2+yz)-3xyk沿闭曲线F:z=2-√x+y2, 0的环流量,从z轴正向看,厂为逆时针方向 解法1闭曲线是xOy面上的圆周x2+y2=4(逆时针方向),它的参数方程为 2cos0,y=2sin0,z=0(0≤6≤2x),故 Pdr +Qdy+Rdz= (r-z)dx+(r'+yz)dy-3ry'dz =2os(-2i0)+8os92x 4 sinecosed8+16 cos'8de=12. 故所求的环流量为12x 解法2应用斯托克斯公式,Σ为xOy面上的圆:x2+y2≤4,故 dydz dzdr dzdy (r-z)d+(r3+ yz)dy-3xyodz ar dy 3Iy. (-6ry -y)dydz -(-3y2+1)dzd x+ 3x'dz 3xdxdy=3 de r'cos6rdr=3 cos28d8 rdr=12. 例6已知A=yi+xyj+xk,∑为上半球面z=√1-x2-y2的上侧,n是的 单位法向量利用斯托克斯公式把曲面积分A·ndS化为曲线积分,并计算积分值 解设Σ的边界r为xOy面上逆时针方向的圆x2+y2=1,它的参数方程为x=cos6, y=sin0,z=0(0≤6≤2x),则由斯托克斯公式,有 rotA·nds=φPdx+Qdy+Rd J [sin 0(-sin0)+ cos Bsin ]de=.(1-2cos 0 )dcos=0 梯度、散度、旋度的关系 (1)旋度的散度为零,即dv(rotA)=0. div (rota)=a aR a ap aR dy )+(x2-苏 FR Q aP孑R 子Q aray ard+沙 ya aray arde 它表明旋度是流体仅旋转而没有流体流出或流入 (2)梯度的旋度向量为零向量.即rot( gradu)=0 证rot(grad)= rotar’y’a )+( uau j+( andy dydz dyar aa)k=0.它表明梯度向量指向函数a变化率最大的方向而无旋转
